suites

Posté par momo (invité)

Soit (Un) la suite defini par Uo=-2 et Un+1=(-Un+n)/4 pour tout entier
n.
1/Calculer les premiers termes de la suite (Un) et emttre une conjecture de
Un lorsque n tend vers  +l'infini.
2/Soit (Vn) la suite definie par Vn= Un+1-Un pour tout entier n.
a.Montrer que la suite (Vn) verifie la relation de recurrence :
Vn+1=(-1/4)Vn+(1/4).
b.Exprimer Vn en fonction de n.
3/En remarquant que Un=Vn-1+Vn-2+...+Vo+Uo. ,determiner l'expression
de Un en fonction de n.
4/En deduire la limite de la suite (Un).

Posté par J-P J-P

1/
Calculs pour toi.
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2/
a)
V(n) = U(n+1)-U(n)
V(n) = (-U(n) + n)/4 - U(n)
V(n) = (-5.U(n) + n)/4
V(n+1) = (-5.U(n+1) + n+1)/4
V(n+1) = (-5.(-U(n)+n)/4 + n+1)/4
V(n+1) = ((5/4).U(n) - (5/4)n + n+1)/4
V(n+1) = ((5/4).U(n) - (1/4)n +1)/4
V(n+1) = -(1/4)(5.U(n) + n - 4)/4
V(n+1) = -(1/4)[(5.U(n) + n)/4] + (1/4)
V(n+1) = -(1/4).V(n) + (1/4)
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b)
U0 = -2
U1 = (2+0)/4 = 1/2
V(0) = U(1)-U(0) = 5/2

Posons W(n) = -5V(n) + 1
w(n+1) = -5.V(n+1) + 1
w(n+1) = (5/4).V(n) - (5/4) + 1
w(n+1) = -(1/4).(-5V(n) + 1)
w(n+1) = (-1/4).W(n)
W(0) = -5.V(0) + 1 = -23/2

W(n) = -(23/2).(-1/4)^n

V(n) = -(1/5).(w(n)-1)
v(n) = (-1/5).(-(23/2).(-1/4)^n -1)
v(n) = (1/5).((23/2).(-1/4)^n + 1)
v(n) = 2,3.(-1/4)^n + 0,2
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3/
V0 = U1 - U0
V1 = U2 - U1
V2 = U3 - U2
...

V0 + V1 + V2 + ...+ V(n-1) = U1 - U0 + U2 - U1 + U3 - U2 + ... + U(n)
- U(n-1)
V0 + V1 + V2 + ...+ V(n-1) = - U0 + U(n)

U(n) = V0 + V1 + V2 + ...+ V(n-1) + U(0)

U(n) = 0,2.n + 2,3.(1 + (-1/4) + (-1/4)² + (-1/4)³ + ... (1/4)^(n-1))
- 2

U(n) = 0,2.n + 2,3.((-1/4)^n - 1)/((-1/4)-1)) - 2
U(n) = 0,2.n - 1,84.((-1/4)^n - 1) - 2
U(n) = 0,2.n - 0,16 - 1,84(-1/4)^n
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4/
lim(n->oo) Un = oo
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Sauf distraction.

Posté par (invité)

Bonjour tout d'abord,

1)  Premiers termes
U1 = 1/2
U2 = 1/8
U3 = 15/32 ~ 0.47
U4 = 81/128 ~ 0.63
U5 = 431/512 ~ 0.84
U6 = 2129/2048 ~ 1.04

Conjecture : la suite Un tend vers +oo lorsque n tend vers +oo

2) soit Vn= Un+1-Un  
a)montrer que  Vn+1=(-1/4)Vn+(1/4).

Vn+1 = Un+2 - Un+1
          =(-Un+1 + n+1)/4 - (-Un+n)/4
          =(-Un+1 + n+1 - (-Un+n))/4
          =(-Un+1 + Un + n+1 -n)/4
          =(- (Un+1 - Un) +1)/4
          =(-1/4)(Un+1 - Un)+(1/4)
d'où
Vn+1 =(-1/4)Vn+1/4.    

a) Vn fonction de n
-->Posons Wn = Vn - a   a étant un réel
Existe-t-il une valeur de a pour laquelle (Wn) est géométrique?

Exprimons Wn+1 en fonction de de Wn

Wn+1 = Vn+1 - a
           = (-1/4)Vn +1/4 - (4/4)a    
           = -(Vn + 4a)/4 + 1/4
           = -(Vn - a + 5a)/4 +1/4
           = -(Vn - a)/4 - 5a/4 +1/4
Wn+1 = -Wn/4 - 5a/4 + 1/4

on constate que si (-5a/4 + 1/4) = 0 alors (Wn) est géométrique soit
pour a = 1/5

--> Posons alors désormais a=1/5
On a alors
   Wn+1 = -1/4 Wn
   Wo = Vo - 1/5 or Vo= U1 - Uo = 1/2 - (-2) = 5/2
donc Wo = 23/10          
On reconnaît bien une suite géométrique de raison (-1/4) et de premier
terme 23/10

On a alors Wn = 23/10 (-1/4)ⁿ

Or Wn = Vn -a
donc Vn =Wn +a

Expression de Vn en fonction de n :
Vn = 23/10 (-1/4)ⁿ +1/5

3) En remarquant que Un=Vn-1+Vn-2+...+Vo+Uo. ,determiner l'expression
de Un en fonction de n.

On a Vn = Un+1 - Un
Donc
Vn-1=Un - Un-1
Un = Vn-1 + Un-1      or  Un-1 = Vn-2 + Un-2
Un = Vn-1 + (Vn-2 + Un-2)    or  Un-2 = Vn-3 + Un-3
Un = Vn-1 + Vn-2 + (Vn-3 + Un-3)  et ainsi de suite
On obtient
Un = Vn-1+Vn-2+...+V1 + U1  or U1 = Vo + Uo
Un=Vn-1+Vn-2+...+Vo+Uo

Autrement dit
Posons Sn = Somme des termes de (Vn) de 0 à (n-1)
Posons Tn = Somme des termes de (Wn) de 0 à (n-1)
On a :
Un = Sn + Uo
et
Sn = Tn + n/5

Calcul de Tn
Tn est somme des (n-1) premiers termes d'une suite géo de premier
terme Wo= 23/10 et de raison (-1/4) (calcul à faire)

Au final on a donc
Sn = 46/25(1- (-1/4)ⁿ) + n/5

D'où Un = 46/25(1- (-1/4)ⁿ) + n/5 - 2

Lim Un qd Un tend vers +oo est +oo donbc Un diverge

à toi de bien reprendre

dis-moi si tu restes bloqué

à bientôt

Guille64