Géométrie

Posté par Scarfox (invité)

Voilà, j'ai ce DM à rendre pour lundi, et je bloque...

1) ABC est un triangle tel que AC>AB.
     Prouver qu'on a l'angle B est supérieur à l'angle
C.
     (Donner deux solutions)
2) ABC est un triangle rectangle en A.
     M est un point du segment [BC].
     Prouver qu'on a soit MB<AM<MC, soit MC<AM<MB.

Je pense que les deux exercices sont liés, mais je ne sais comment prendre
le problème.
Merci à quiconque pourra m'aider.

Posté par Stéph (invité)

J'ai cherché ces exos, et pour le premier je pensais avec Al-Kashi
et le thérorème des sinus.
En ayant  cosB<cosC est-ce qu'on peut affirmer que l'angle
B>C dans une triangle.
De même avec sinB>sinC, peut on aussi affirmer B>C?

Posté par Scarfox/Stéph (invité)

Personne?

Posté par J-P J-P

2) Par exemple par la géométrie analytique (pas très joli mais efficace)

On choisit AC comme axe des abscisses et AB comme axe des ordonnées
d'un repère orthonormé.

On a alors:
A(0 ; 0)
B(0 ; b)
C(a ; 0)

Equation de la droite(BC): y = -(b/a)x + b
Comme est sur [BC], on a M(X ; (-b/a)X+b) avec X dans [0 ; a]

|AM|² = X² + (b-((b/a)X)²
|MC|² = (X-a)² + (b-((b/a)X)²
|MB|² = X² + [(b/a)X]²


|AM|² - |MC|² = X² - (X-a)² = 2aX - a² = a(2X - a)
|AM|² - |MB|² = (b-((b/a)X)² - [(b/a)X]² = b² - (2b²/a)X
|AM|² - |MB|² = (ab² - 2b²X)/a = b².(a - 2X)/a


avec b² > 0, on a donc que |AM|² - |MC|² et |AM|² - |MB|² sont de signes
opposés (dépendent tous 2 de signe de a et de (2X-a))

Or |AM|² - |MC|² = (|AM| + |MC|).(|AM| - |MC|)
et comme (|AM| + |MC|) > 0, on a que |AM|² - |MC|² et (|AM| - |MC|)
sont de même signe.

On a aussi de le même manière: |AM|² - |MB|² et (|AM| - |MB|) sont de
même signe.

On conclut donc que: (|AM| - |MC|) et (|AM| - |MB|) sont de signes
opposés.

a) Si |AM| - |MC| > 0, alors on a |AM| - |MB| < 0
et donc |MB| > |AM| > |MC|

b) Si |AM| - |MC| < 0, alors on a |AM| - |MB| > 0
et donc |MB| < |AM| < |MC|

(Il y a aussi le cas particulier ou |MB| = |AM| = |MC|)
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Sauf distraction.

Posté par J-P J-P

1)
ABC est scalaine ? Je suppose que oui.

Loi des sinus dans un triangle est:
AB/sin(C) = AC/sin(B) = BC/sin(A)

AB/AC = sin(C)/sin(B)
et par hypothèse AB/AC < 1

On a donc sin(C)/sin(B) < 1
et sin(C) < sin(B)

a) si B et C <= 90°
comme f(x) = sin(x) est croissante pour x dans [0 ; Pi/2],

sin(C) < sin(B) <==> C < B
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b) Si un des angles B ou C > 90° (rien qu'un car les 2 c'est
impossible puisque somme des angles d'un triangle = 180°)

... Pas le courage de continuer.
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Sauf distraction.

Posté par Scarfox (invité)

Merci beaucoup!!!