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Les matrices à la puissance n


autreLes matrices à la puissance n

#msg788739#msg788739 Posté le 11-12-06 à 09:18
Posté par ProfilTheMax TheMax

Bonjour,

Je comprends pas bien cet exercice. On l'a pourtant corrigé en classe, mais je n'ai pas bien saisi la correction.

Soit

3$ A=\(110\\021\\003\) (matrice carrée)

Calculer A^n pour n = 10000

On a utilisé la méthode par récurrence. j'aimerais savoir s'il existe des méthodes plus simples.

Merci beaucoup pour vos explications.
re : Les matrices à la puissance n#msg788745#msg788745 Posté le 11-12-06 à 09:23
Posté par ProfilEric1 Eric1

Il ne faut pas la transormer en une matrice diagonale, d'abord, puis la mettre à la puissance n.
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re : Les matrices à la puissance n#msg788748#msg788748 Posté le 11-12-06 à 09:24
Posté par ProfilTheMax TheMax

euhhh c'est à dire? je ne comprends pas.
re : Les matrices à la puissance n#msg788752#msg788752 Posté le 11-12-06 à 09:28
Posté par ProfilEric1 Eric1

Je n'ai pas cherché à calculer mais si tu peux transformer ta matrice en une matrice diagonale, ou un produit de matrices diagonales:
a00
0b0
00c


Alors la matrice An=

an 0 0
0 bn 0
0 0 cn

Mais je ne suis pas sur que c'est plus simple.
Reprends la methode vue en cours, montre moi ce que tu ne comprends pas...
re : Les matrices à la puissance n#msg788755#msg788755 Posté le 11-12-06 à 09:30
Posté par ProfilTheMax TheMax

ok, eh bien je noterai toute la méthode (qui est assez longue) un peu plus tard, je dois aller en cours.

Merci en tout cas de me donner un peutit coup de main.

bonne journée.
Les matrices à la puissance n#msg788767#msg788767 Posté le 11-12-06 à 09:43
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Bonjour.

Connais-tu le polynôme caractéristique et le théorème de Cayley Hamilton ?

A plus RR.
re : Les matrices à la puissance n#msg788905#msg788905 Posté le 11-12-06 à 12:00
Posté par Profilgeo3 geo3

Bonjour
même par récurrence je voudrais bien la voir car avec A = [ 1,1,0 ; 0,2,1 ; 0,0,3 ] qui est donnée ligne par ligne on a
A² = [ 1,3,1 ; 0,2²,5 ; 0,0,3² ]
A³ = [ 1,7,2.3 ; 0,2³,19 ; 0,0,3³ ]
A^4 = [ 1,3.5,5² ; 0,2^4,5.13 ; 0,0,3^4 ]
A^5 = [ 1,31,2.45 ; 0,2^5,211 ; 0,0,3^5 ]
A^6 = [ 1,63,7.43 ; 0,2^6,2.133 ; 0,0,3^6 ]
*
Par Cayley-Hamilton on a de proche en proche les puissances successives de A en fonction de A² et A
A³  =  6.A²  - 11.A  +  6
A^4 = 25.A²  - 60.A  + 36
A^5 = 90.A²  -239.A  +150
A^6 =301.A²  -840.A  +540
mais alors pour A^(10000) bonne chance
en espérant que A = bien [ 1,1,0 ; 0,2,1 ; 0,0,3 ] et qu'il n'y a pas d'erreur dans ce A sinon j'ai fait cela pour rien .

A+
re : Les matrices à la puissance n#msg788965#msg788965 Posté le 11-12-06 à 12:31
Posté par Profillafol lafol Moderateur

Bonjour à tous.
Pas besoin de diagonalisation ici: A = diag(1;2;3) + J, où J est une matrice qui ne contient que des 0 sauf sur la diagonale au dessus de la diagonale principale.
On calcule J², on observe qu'elle ne contient que des 0 sauf un 1 tout en haut à droite. et à partir de J^3, toutes les J^n sont nulles.
(c'est général avec les matrices qui ne contiennent qu'une ligne oblique de 1 au dessus de la diagonale principale :
quand on les élève au carré, la ligne de 1 "glisse" vers le haut à droite, et encore un peu au cube, ... jusqu'à quitter la matrice.)

De plus, J commute avec D = diag (1;2;3), donc on peut utiliser le développement du binôme de Newton, la somme ne contenant que les termes pour k=0, 1 et 2 puisqu'à partir de 3 J^n=[0]. On obtient ainsi une formule générale.

Sinon, sans le binôme de Newton, on peut y aller de proche en proche (récurrence) en gardant en tête A=D+J :
A² = (D+J)(D+J) = D² + DJ+JD + J² : la diagonale principale est donnée par D², la diagonale supérieure par DJ+JD=2DJ, et le terme en haut à droite par J²
Et la récurrence va être du type A^n=D^n+a_n DJ + b_nJ².
re : Les matrices à la puissance n#msg788967#msg788967 Posté le 11-12-06 à 12:32
Posté par Profillafol lafol Moderateur

Pour geo3 : pour voir ta récurrence, écris tes matrices en décomposant en somme de trois matrices : une diagonale, une avec le terme du coin en haut à droite, et une dernière avec les deux termes restants.
re : Les matrices à la puissance n#msg788977#msg788977 Posté le 11-12-06 à 12:45
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Bonjour.

¤ lafol : dans ta décomposition A = D + J, D et J ne commutent pas.

Mon idée est la suivante.
Considérons P(X) = (X - 1)(X - 2)(X - 3). D'après le théorème de Cayley Hamilton, P(A) = 0.
Cela étant, divisons Xn par P(X) :

3$\textrm X^n = P(X).Q(X) + a_n.X^2 + b_n.X + c_n (I)

On remplace successivement X par 1,2,3. Cela donne un système :

3$\textrm\{{a_n + b_n + c_n = 1\\4a_n + 2b_n + c_n = 2^n\\9a_n + 3b_n + c_n = 3^n

Ceci permet de trouver an, bn, cn.

Enfin, en remplaçant X par A dans (I) :

3$\textrm A^n = a_n.A^2 + b_n.A + c_n.I_3.

Cordialement RR.
re : Les matrices à la puissance n#msg788993#msg788993 Posté le 11-12-06 à 13:06
Posté par Profillafol lafol Moderateur

Exact ! JD = DJ + J...
re : Les matrices à la puissance n#msg789016#msg789016 Posté le 11-12-06 à 13:22
Posté par Profillafol lafol Moderateur

Toujours à la recherche d'une solution "élémentaire" (au cas où notre ami TheMax n'aurait pas Cayley Hamilton en magasin)
On calcule comme l'a fait geo3 les premières puissances.
On conjecture A^n=\left[ \array{1&a_n&b_n\\0&2^n&c_n\\0&0&3^n}\right].
La récurrence prouve que c'est OK, avec a_{n+1}=2a_n+1, b_{n+1}=a_n+3b_n et c_{n+1}=2^n+3c_n.
La première suite est arithméticogéométrique n sait faire
La deuxième s'étudie grâce à u_n=a_n+b_n qui vérifie u_{n+1}=3u_n+1 : encore une arithméticogéométrique.
La dernière... je vais manger, et j'y réfléchis !
re : Les matrices à la puissance n#msg789105#msg789105 Posté le 11-12-06 à 14:45
Posté par Profilgeo3 geo3

rebonjour

Considérons P(X) = (X - 1)(X - 2)(X - 3). D'après le théorème de Cayley Hamilton, P(A) = 0. P(X) est le polynôme caractéristique et P(A) = 0  jusque là OK

Cela étant, divisons Xn par P(X) :
Xn = P(X).Q(X) +  an.X² + bn.X + cn

là il y a quelque chose qui m'échappe ( malgré 1 certain polynôme annulateur)

solutions du système
an + bn + cn = 1
4an + 2bn + cn = 2n
9an + 3bn + cn = 3n
=>
an = 3n/2 - 2n + 1/2
bn = -3n+1/2 + 2n+2 - 5/2
cn = 3n - 3.2n + 3
*
vérifions pour n=6
a6 = 36/2 - 26 + 1/2
b6 = -36+1/2 + 26+2 - 5/2
c6 = 36 - 3.26 + 3
=>
a6 = 729/2 - 64 + 1/2 = 365 - 64 = 301
bn = -2187/2 + 256 - 5/2 =  -1096 + 256 = - 840
cn = 729 - 192 + 3 = 540
OK
re : Les matrices à la puissance n#msg789124#msg789124 Posté le 11-12-06 à 15:06
Posté par Profillafol lafol Moderateur

me revoilà ! Pour c_n, on a les premiers :
c_1 =1=3-2, c_2 = 5 = 3^2 - 2^2, c_3 = 19 = 27-8 = 3^3 -2^3.
Conjecture : c_n = 3^n - 2^n.
C'est immédiat par récurrence à partir de c_{n+1}=2^n+3c_n
re : Les matrices à la puissance n#msg789148#msg789148 Posté le 11-12-06 à 15:30
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Bonjour geo3

C'est : Xn = P(X).Q(X) + an.X² + bn.X + cn qui te pose problème ?
Il faut te souvenir du reste dans la division euclidienne dont le degré est strictement inférieur à celui du quotient.

A plus RR.
re : Les matrices à la puissance n#msg789224#msg789224 Posté le 11-12-06 à 16:10
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Je trouve par la méthode du pivot :

3$\textrm\{{a_n = \frac{1}{2}(3^n + 1) - 2^n\\b_n = 4.2^n - 1 - \frac{3}{2}(3^n + 1)\\c_n = 3^n - 3.2^n + 3

Ensuite on écrit que :

3$\textrm A^n = a_n.A^2 + b_n.A + c_n.I_3

Je trouve finalement :

3$\textrm A^n = \begin{pmatrix}1&2^{n}-1&\frac{3^{n}+1}{2}-2^n\\0&2^n&3^{n}-2^n\\0&0&3^n\end{pmatrix}.

A plus RR.
re : Les matrices à la puissance n#msg789641#msg789641 Posté le 11-12-06 à 18:55
Posté par Profilgeo3 geo3

Rebonjour
merci raymond
oui je savais que le degré du reste < le degré du quotient mais le théorème de Cayley- Hamilton je ne connaisais pas de même que la méthode du pivot pour chercher les an ,bn, cn  mais je  vais approfondir .

Heureuseument les  solutions  de ton 1er système et celles que tu as trouvés par la méthode pivot sont les mêmes
encore merci
A+
re : Les matrices à la puissance n#msg790306#msg790306 Posté le 11-12-06 à 21:51
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Bonsoir,

le polynome caractéristique est Pcar,A(X)=det(A-XI)=(1-X)(2-X)(3-X). Comme le polynome caractéristique est scindé à racine simple la matrice A est diagonalisable. Les valeurs propres sont les racines de ce polynomes soit =1,2,3;
ensuite on cherche les sous espaces propres correspondant E=Ker(A-I).

Pour =1, on cherche E1=Ker(A-I).
Pour =2, on cherche E2=Ker(A-2I).
Pour =3, on cherche E2=Ker(A-3I).

Pour chacun de ces sous espaces propres on connait la dimension qui égale à l'ordre de multiplicité des valeurs propres : ici toutes les valeurs propres sont d'ordre 1 donc les sous espaces propres sont de dimension 1 (et ceux dans le cas ou A est diagonalisable).
re : Les matrices à la puissance n#msg790333#msg790333 Posté le 11-12-06 à 21:55
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

On trouve donc trois vecteurs engendrant les sous espaces propres :
E1=Vect(v1)
E2=Vect(v2)
E3=Vect(v3)

La famille (v1,v2,v3) forme une base de R^3 : c'est une base de vecteur propre dans laquelle la matrice A est sous forme diagonale.
Si on appelle P la matrice de passe de la base canonique à la base B'=(v1,v2,v3), alors on a la relation :
A=PDP-1

On calcule alors An=(PDP-1)n=PDnP-1.
re : Les matrices à la puissance n#msg790476#msg790476 Posté le 11-12-06 à 22:28
Posté par Profilgeo3 geo3

Bonsoir
Pour moi beaucoup de tout cela n'est que souvenirs mais je crois avoir tout compris sauf le D de la dernière ligne dans
A=PDP-1

On calcule alors An =(PDP-1)n=PDnP-1.
A+
re : Les matrices à la puissance n#msg790502#msg790502 Posté le 11-12-06 à 22:35
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Alors D est la matrice diagonale.
E1=Vect(v1) donc v1E1 d'ou f(v1)=v1 (si l'on note A la matrice associé à l'endomorphisme f)

De même f(v2)=2v2 et f(v3)=3v3; Finalement dans la base (v1,v2,v3), la matrice est :
D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}

Si l'on effectue le produit PDP-1, on retombe bien sur A.

Enfin l'égalité An=(PDP-1)n=PDnP-1 se montre par récurrence.

Pour n=2, cela se voit très bien :
(PDP-1)2=(PDP-1)(PDP-1)=PDP-1PDP-1=PDIDP-1=PD2P-1

etc
re : Les matrices à la puissance n#msg790528#msg790528 Posté le 11-12-06 à 22:42
Posté par Profilgeo3 geo3

OK
Eh bien oui je devais le savoir
Je vais approfondir tout cela demain pour me replonger dans mes souvenirs
Ca fait du bien de temps en temps.
En tout cas merci
A+
re : Les matrices à la puissance n#msg790554#msg790554 Posté le 11-12-06 à 22:51
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

pas de quoi.
bonne soirée.
eclaircicement#msg2129842#msg2129842 Posté le 13-11-08 à 23:49
Posté par Profilseb1122 seb1122

H_aldnoer stp, pourquoi (PDP-1)^n=PD^nP-1 ?
Je vois pas d'où tu passes de l'un à l'autre et j'en ai besoin.
re : Les matrices à la puissance n#msg2129852#msg2129852 Posté le 13-11-08 à 23:53
Posté par Profilseb1122 seb1122

non c'est bon merci, j'avais juste des petites difficultés sur la récurrence; C'est bizarre car j'ai cherché cette propriété très longtemps sans jamais la trouver, or elle est très utile dans ce cas particulier où pour calculer A^n, il suffit de diagonaliser la matrice
re : Les matrices à la puissance n#msg2974946#msg2974946 Posté le 09-04-10 à 04:01
Posté par Profilbigbos bigbos

pour themax tu peu decomposer ton matrice sous la forme AI+B avec A matrice neutre par exemple puis appliquer la puissance a cette tu peu utiliser le binome de newton
re : Les matrices à la puissance n#msg2974965#msg2974965 Posté le 09-04-10 à 09:02
Posté par Profillafol lafol Moderateur

bigbos, ça fait 3 ans et demi que Themax s'est posé cette question, on peut espérer qu'il a eu le temps de lire toutes les réponses apportées depuis ...

et le coup de Newton, si tu avais tout lu, tu aurais vu que je l'avais évoqué avant de réaliser grâce à Raymond que les matrices concernées ne commutant pas, c'était mort pour la formule du binôme !
re : Les matrices à la puissance n#msg2974966#msg2974966 Posté le 09-04-10 à 09:03
Posté par Profillafol lafol Moderateur

mais je vois que tu es nouveau : bienvenue sur l'île !
tu verras, quand on s'est habitués aux autochtones (qu'on appelle des mathîliens) et à leurs manières parfois bourrues (ça c'est pour ma pomme) elle est très agréable

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