Application du produit scalaire ! Dm

Posté par solidedelavie solidedelavie

Merci de votre aide, je suis totalement bloqué pour tout l'exercice.

Le plan étant muni d'un repère orthonormé
On considère le cercle C de centre A(1;2) passant par le point B(5;4)

1) determiner une équation du cercle
2) calculer les coordonnées des éventuels points d'intersection de C et des axes
3) calculer les coodonnées des éventules point d'intersection de C et de la droite d:y=0.5x-0.5
4) determiner les équations des parallèles à d tangentes au cercle C ainsi que les coordonnées des points de contact.

Merci d'avance

Posté par Redman Redman

Salut solidedelavie,

1°) alors tu as le centre qui a pour coordonées (1,2)
il faut que tu détermine le rayon de ce cercle r = AB (logique non?)

et ensuite l'équation cartésienne est du type :  M(x,y) est sur le cercle si et seulement si MA^2 = AB^2
Xma^2 + Yma^2  = AB^2 = r^2
car Xma et Yma sont les coordonées de MA (vecteur)
ils valent donc  Xma =  1-x et Yma = 2-y
et remplaçant ca fait :
(x-1)^2 + (y-2)^2 = r^2
où je te laisse calculer r ...

2°) donc pour les intersections avec les axes (i.e. droites d'équations x=0, et y=0)
tu prend dans ton équation de cercle d'abord x=0 (intersection avec Oy :
(0-1)^2 + (y-2)^2 = r^2
tu en déduit les y correspondants (il yen a soit 0; soit 1, soit 2 en fonction de delta)

tu recommence pour l'axe Ox en prenant cette fois y=0
tu as 0,1 ou 2 solutions pour x  soit 0, 1 ou 2 points d'intersections

3°) c'est pratiquement comme la précédente:
M(x,y) est intersection si et seulement si il verifie les 2 équations
donc celle de la droite donne :  y=0,5x - 0,5
il faut donc injecter ton y dans l'équation du cercle :
(x-1)^2 + ((0,5x-0,5) - 2) ^2 = r^2 ce qui te donne un trinome du 2nd degré en x, a résoudre

Remarque : un cercle peut avoir soit 1,2 ou 0 point d'intersection avec une droite car 1 équation de droite te donne y en fonction de x (ou l'inverse) et après on injecte dans l'équation du cercle (A savoir faire) et le nombre de solution dépend du signe du delta (trinome du second degré)

Posté par J-P J-P

1)

AB² = 4² + 2² = 20

(x-1)² + (y-2)² = 20
-----
2)

Intersection avec l'axe des abscisses : y = 0
(x-1)² + (0-2)² = 20
...

Intersection avec l'axe des ordonnées : x = 0
(0-1)² + (y-2)² = 20
...
-----
3)

Intersections de C avec la d:

Résoudre le système:

(x-1)² + (y-2)² = 20
y = 0,5x - 0,5
...
---
4)

Ecrire l'équation du cercle sous la for=e: y = ...

f(x) = ...

f '(x) = ...

f '(x) = 0,5 ...

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Posté par Redman Redman

euh J-P,
pour la dernière question je doute qu'on fasse ça en 1ere

Posté par J-P J-P

Je n'en sais rien Redman, il y a longtemps que j'ai renoncé à commaître les programmes actuels, cela me fout le mouron quand j'essaie.

De mon temps, on faisait cela en fin de 3ème ...

Posté par Redman Redman


moi aussi je suis outré par la simplification des programme au fur et  a mesure des années,

mais je suis en train de chercher une manière de le faire géométriquement, sans poser de fonction...
(c'est parfois un challenge d'essayer de faire les exercices sans utiliser certains outils)

Posté par solidedelavie solidedelavie

j'ai réussi à faire tout l'exercice sauf le 4)

Pour information l'équation du cercle c'est (x-1)²+(x-2)²=20

Je suis bloqué, je ne sais pas trop comment faire ... produit scalaire, droite remarquable ...

Merci de m'expliquer en detaillant svp

En tout cas merci deja pour les 3 premier question, ca m'a bien sauvé

Merci d'avance

Posté par J-P J-P

4)

Soit l'équation d'une droite parallèle à d: y = 0,5x + b

Recherche des points éventuels pour lesquels cette (ou ces) droite(s) coupe(nt) le cercle:

(x-1)² + (y-2)² = 20
y = 0,5x + b

(x-1)² + (0,5x+b-2)² = 20

x²-2x+1 + 0,25x²+b²+4+bx-2x-4b = 20

1,25x²-x(4-b)-4b+b²-15=0 (1)

Si on veut que la droite soit tangente au cercle, il faut que l'équation ci-dessus ait une racine double.
Donc que son discriminant soit nul.

Delta = (4-b)² -5(-4b+b²-15) = 0
16+b²-8b +20b - 5b² + 75 = 0

-4b² + 12b + 91 = 0

b = -3,5 et b = 6,5 conviennent

Les équations des parallèles à d tangentes au cercle C ont pour équations:

y = 0,5x - 3,5
et
y = 0,5x + 6,5
---
Si b = -3,5, (1) devient:

1,25x²- 7,5x +14 + 12,25 - 15 = 0
1,25x² - 7,5x + 11,25
x = 3 (abscisse du point de contact)
y = 0,5*3 - 3,5 = -2
--> P(3 ; -2) est le point de contact de la tangente d'équation y = 0,5x - 3,5 avec le cercle.
---
Si n = 6,5, (1) devient ...

Continue pour trouver le point de contact de la tangente d'équation y = 0,5x + 6,5 avec le cercle.
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Sauf distraction.

Posté par solidedelavie solidedelavie

j'arrive pas avec 6.5 qui peux m'aider ???

Svp c'est trop dur et je ne comprend pas mon erreur, je retombe sur un résultat non conforme à la figure, je trouve P(-1;7) et je suis sur que c'est pas ca !!

Merci de votre aide !

Posté par smil smil

bonsoir
c'est juste une petite erreur de calcul : ta droite à pour équation
y = 0,5 x + 6,5
pour x = -1 y = 0,5 *(-1) + 6,5 = -0,5 + 6,5 = 6
le point a donc pour coordonnées (-1,6), ce qui est conforme à la figure