Equation de fou!

Posté par WanG (invité)

Tout d'abord je dis bonjour à tout le monde. Voici mon problème
:

comment résoudre cette équation : 0=x³-3x+1

merci    

Posté par Victor Victor

Une solution s'il n'y a pas de solutions évidente comme
ici, c'est d'étudier les variations et le signe de la fonction
:
f(x)=x^3-3x+1.
On en déduit le nombre et des valeurs approchées des solutions.

@+

Posté par WanG (invité)

Bin justement, je dois trouver les racines de cette fonction pour
pouvoir calculer une aire. Pour les variations, je suis allé jusqu'à
la dérivé première qui m'a donné un minimum et un maximum.

Posté par Zouz (invité)


Salut !!!

Petite question: quelle est cette aire que tu dois calculer?

@+

Zouz

Posté par J-P J-P

Ce type d'équation peut TOUJOURS être résolu, mais la théorie
n'est en général pas étudiée dans le secondaire.
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Voici un cours résumé des résultats de cette théorie, les équations ne
sont pas faciles à lire car le site ne gère pas l'écriture Latex
qui permettrait une écriture facile des équations.
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Rappel succinct de la théorie permettant de résoudre n'importe quelle
équation du type x³ + ax² +bx + c = 0.

En posant x = y - (a/3), ces équations peuvent être ramenées à la forme
: y³ + py + q = 0.

3 cas peuvent alors se présenter :

1) (q/2)² + (p/3)³ > 0.
Il y a alors une racine réelle R.
R = ((-(q/2)+((q/2)² + (p/3)³)^(1/2))^(1/3)) + ((-(q/2) - ((q/2)²
+(p/3)³)^(1/2))^(1/3)).
Il y a aussi 2 racines complexes conjuguées C1 et C2.
C1 = -(R/2) + i.((3R² + 4p)^(1/2))/2.
C2 = -(R/2) - i.((3R² + 4p)^(1/2))/2.

2) (q/2)² + (p/3)³ = 0.
Il y a alors une racine double R1 = R2 = -3q/(2p).
Il y a aussi une 3ème racine : R3 = 3q/p.

3) (q/2)² + (p/3)³ < 0.
Il y a 3 racines réelles que l'on peut trouver par une méthode

trigonométrique.
R1 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2)))].
R2 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2))) + (2.Pi/3)].
R3 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2))) + (4.Pi/3)].
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Dans le cas de ton exercice, l'application de cette théorie donne:

x = -1,87938524157...
x = 0,347296355334...
x = 1,53208888624...
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Sauf distraction.