TS exercice sur le théorème de l inégalité et les suites

Posté par Manon (invité)

Bonjour.
Je suis coincée sur cet exo sur les suites et le théorème de l'inégalité.
J'aimerai qu'on m'explique au moins la première question.

Voici l'énoncé:

Pour tout entier naturel n, on pose:
I (indice n)=intégrale de 0 à (pi/4) de x^nsin(2x) dx.
Prouvez que o<In<(pi/4)^n+1
Quelle est la limite de la suite In?

Merci d'avance

Posté par Zouz (invité)


Hello !!

Comme x   [0 ;  /4]
alors 0 <= sin 2x <= 1 et xⁿ > 0
donc   xⁿsin2x  dx > 0

De plus, comme 0 sin 2x 1 :

xⁿsin2x xⁿ

Donc  
xⁿsin2x dx xⁿ
dx

Calculons donc xⁿ dx

xⁿ dx = [x ⁿ⁺¹/(n+1)]
(entre 0 et  /4)

xⁿ dx = 1/(n+1)*(/4)ⁿ⁺¹

On a donc

xⁿsin2x dx 1/(n+1)*(/4)ⁿ⁺¹


Comme n > 0 alors  1/(n+1)<1 donc finalement

xⁿsin2x dx (/4)ⁿ⁺¹



Conclusion:

0 xⁿsin2x dx
(/4)ⁿ⁺¹

Soit

0 I_n (/4)ⁿ⁺¹


Quand n tend vers l'infini, (/4)ⁿ⁺¹ tend
vers zéro car /4 <1

A la limite on a alors:

0 I_n   0

Posté par Zouz (invité)

...donc quand n tend vers l'infini, I_n tend vers
zéro.

@+

Zouz

Posté par guille64 (invité)

Bonjour Manon,

Pour démontrer l'inégalité,
"Prouvez que o<In<(pi/4)^n+1"

On a :
₀ ^/4 xⁿ sin(2x)dx

ce qui implique que
0<x</4  (propriété de l'intégrale)

dés lors on peut successivement écrire:
0<xⁿ<(/4)ⁿ
0<sin(2x)<1
soit

0<xⁿsin(2x)<(/4)ⁿ

d'où utilisation de ce que j'ai compris être ce que tu appelles le
théorème de l'inégalité (?)
Pour rappel
si a<b et si   x de [a,b]
pour tt (m,M) de R

m<f(x)<M
alors
m(b-a)<_a^b f(x)dx<M(b-a)

On applique donc le théorême avec
a=0 et b=/4
Pour rappel on a :
0<x</4
et
0<xⁿsin(2x)<(/4)ⁿ

donc

0(/4 - 0) < I_n<(/4)ⁿ*(/4-0)

soit
0<I_n<(/4)ⁿ⁺¹

"Quelle est la limite de la suite In? "
Pour n --> +oo  (/4)ⁿ⁺¹-->0 (c'est immédiat

donc selon théorème des gendarmes ou théorème d'encadrement

I_n -->0  pour n-->+oo

Voilà
Dis moi si pb

à bientôt

Guille64

Posté par guille64 (invité)

Ah oops, et oui, voilà ce qui arrive qd on passe une petite heure
au tel en plein milieu d'un exo...
Mais bon comme on dit deux explications valent mieux qu'une!
à plus

Posté par Manon (invité)

Zouz et guille64 je vous remercie beaucoup.
Il est vrai que deux explications valent mieux qu'une et là, je
crois avoir compris l'exo.
Merci encore.
See you soon...