vecteur dans un rectangle

Posté par flo (invité)

EFGH est un rectangle avec EH=a et EF=2a
M est le milieu du segment FG et K fénie par vecteur HK=1/3HG(vecteur)
L est le projeté orthogonal de K sur (EM)
en calculant de plusieurs facons le produit scalaire :
EK(vecteur).EM(vecteur)  déterminez

1)la valeur de EL en fonction de a
2) Une mesure de l'angle KEM


voilà l'énoncé de l'exo et franchement j'suis en misére
ca fait depuis 10h ce matin que je suis dessus alors si vous pouvez
m'aidez ou au moins me donner des pistes pour avancer ca serait
vraiment trés sympa

merci d'avance flo

Posté par J-P J-P

vect(EK).vect(EM) = (vect(EH)+vect(HK)).(vect(EF)+vect(FM))
vect(EK).vect(EM) = (vect(EH)+(1/3).vect(EF)).(vect(EF)+(1/2).vect(EH))

vect(EK).vect(EM) = vect(EH).vect(EF) + (1/2).EH² + (1/3).EF² + (1/6).vect(EH).vect(EF)


Et comme EH et EF sont perpendiculaires -> vect(EH).vect(EF) = 0

vect(EK).vect(EM) = (1/2).EH² + (1/3).EF²

vect(EK).vect(EM) = (a²/2) + (4/3).a² = 11a²/6 (1)
----
on aurait pû avoir ce résultat plus vite en considérant le repère orthonormé
ayant EF et EH comme directions des axes.

On aurait alors:
E(0 ; 0)
M(2a ; a/2)
K(2a/3;a)
vect(EM) = (2a;a/2)
vect(EK) = (2a/3;a)
vect(EK).vect(EM) = 2a.(2a/3) + (a/2).a = 11a²/6 (1 bis)
-----
Pythagore dans triangle EHK:
EK² = HK² + HE² = (2a/3)² + a² = (13/9)a²
|EK| = (a/3).V(13) avec V pour racine carrée.

Pythagore dans triangle EMF:
EM² = EF² + FM² = 4a² + (a²/4) = (17/4)a²
|EM| = (a/2).V(17)

vect(EK).vect(EM) = |EK|.|EM|.cos(KEM)
vect(EK).vect(EM) = (a/3).V(13).(a/2).V(17).cos(KEM)
vect(EK).vect(EM) = (a²/6).V(221).cos(KEM) (2)
-----
(1) et (2) ->
11a²/6 = (a²/6).V(221).cos(KEM)
cos(KEM) = 11/V(221)
angle(KEM) = 42,273689006...°
-----
Dans le triangle EKL:
EL = EK.cos(KEM)
EL = (a/3).V(13).11/V(221)
EL = (11/3).a/V(17)
-----
Sauf distraction.

Posté par gaa gaa

bonjour
tout ce que je vais écrire type AB signifie vecteur AB
EK=EH+HK   (Chasles)
EM=EF+FM  (itou)
donc EK.EM=(EH+HK)(EF+FM)
=EH.EF.+EH.FM+HK.EF+HK.FM
EH.EF=HK.FM=0 car les vecteurs sont perpendiculaires entre eux
et comme EH et FM sont // entre eux ainsi que HK et EF
EH.FM=[EH]*[FM]=a*a/2=a²/2
HK.EF=[HK]*[EF]=2a/3*2a=4a²/3
et la somme donne a²/2+4a²/3=11a²/6
c'est la valeur du prodit scalaire. EK.EM
Par ailleurs tu sais que c'est = au produit de la longueur d'un
vecteur par la longueur de la projection du 2ème vecteur sur le 1er
Ici
EK.EM=[EM]*[EL]
donc tu as [EL]=11a²/6[EM]
or pythagore te pemet de calculer [EM] dans le triangle EFM
EM²=EF²+FM²=4a²+a²/4=17a²/4
[EM]=aV17/2
je te laisse finir le calcul.
pour le cosinus (que tu vas calculer seul) tu as 2 méthodes.
tu peux écrire que EK.EM=[EK]*[EM]cosEK,EM
et te servir de la valeur trouvée pour le produit scalaire
ou tu peux te servir de la longueur de EL que l'on vient de calculer
et écrire que cos EK,EM=[EL]/[EK]
avec EK²=a²+4a²/9=13a²/9
Bon travail (et vérifie mes calculs)

Posté par flo (invité)

merci bcp vous assurez comme ce site d'ailleurs

@+ FLO