DEFI 120 : L'octaedre.

Posté par minkus minkus

Bonjour a tous et bienvenue dans ce premier challenge de 2007. Un challenge plein de rebondissements, de suspense, de victoire au finish sur la derniere ligne droite. Un challenge debordant d'enigmes originales, droles et passionnantes pour animer les longues soirees d'hiver a venir.

Et vous vous avez fait vos resolutions ?



Voici donc ce premier defi de Janvier.

Sur chaque sommet d'un octaedre est inscrit un nombre entier positif ou nul. Sur chaque face, on ecrit le produit des trois nombres figurant sur chacun des sommets de cette face. On remarque alors que la somme des huit nombres ecrits sur ces faces est egal a 2006. (Oui je suis pour les transitions douces, n'oublions pas trop vite 2006, sujet de plusieurs enigmes )

Quelle est la somme des 6 nombres ecrits sur les sommets de l'octaedre ?

On indiquera toutes les solutions.

Et deux images pour ces dames...





"Diamonds are a girl's best friend."

Bonne reflexion.

minkus

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Soit a et f les nombres inscrits aux extremités haut et bas de l'octaèdre et b,c,d,e les nombres inscrits sur la carré médian.
On trouve facilement que le produit des faces est égal à P= (a+f)*(b+d)*(c+e)=2006.
Il suffit donc de décomposer 2006 en 3 facteurs , soit 5 solutions :
-(2,17,59) S= 78
-(1,34,59) S= 94
-(1,17,118) S= 136
-(1,2,1003)   S= 1006
-(1,1,2006)   S= 2008

Posté par geo3 geo3

Bonjour
D'abord je souhaite une excellente année à tous.
Pour la 1ère de cette nouvelle année ça me paraît si simple ( 1* au plus) mais je me lance quand même au risque d'être poissonné.
Une seule solution = 78
Soient a, b, c , d et e et f  les nombres affectés aux 6 sommets de l'octaèdre  ( 8 faces)
e et f étant les nombres affectés aux 2 sommets "supérieur et inférieur "
on a ade + bce + abe + dce) + (adf + bcf + abf + dcf) = 2006  =>
( ad + bc+ ab + dc)e + (ad + bc + ab + dc)f = 59.17.2   =>
( ad + ab + bc + dc).(e + f) = 59.17.2   =>
(a+c)(b+d).(e+f) = 59.17.2
*
que l'on fasse a+c = 59 , b+d= 17 , e+f = 2 ou 1 autre combinaison
on a
a + b + c + d + e + f = 59 + 17 + 2 =  78 => 1 solution
A+

Posté par jacques1313 jacques1313

Je nomme les sommets de l'octaèdre de A à F tel que A est l'opposé de B, C l'opposé de D et E celui de F.
Alors la somme des nombres écrits sur les faces vaut : (A+B)×(C+D)×(E+F).
On sait que 2006=2×17×59. Donc il suffit d'associer trois entiers (avec éventuellement 1) dont le produit vaut 2006 aux trois termes ci-dessus.

Je trouve donc cinq sommes différentes : 78, 94, 136, 1006 et 2008

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Deux solutions: 78 et 94.

A+,
gloubi
-

Posté par manpower manpower

Bonjour,

partant de 2006=2x17x59

il y a 5 "décompositions" différentes possibles:
a=1x1x2006
b=1x2x1003
c=1x17x118
d=1x34x59
e=2x17x59

les sommes de ces décompositions sont:
pour a:1+1+2006=2008
pour b:1+2+1003=1006
pour c:1+17+118=136
pour d:1+34+59=94
pour e:2+17+59=78
et sont exactement les sommes des 6 nombres écrits sur les sommets.
(heureusement que les solutions ne sont pas exigées, car elles sont légions!)

Les 5 sommes possibles sont donc .

Merci pour l'énigme.

Posté par infophile infophile

Bonjour

Je trouve sommes différentes des 6 nombres écrits sur les sommets de l'octaèdre.



Merci pour l'énigme

_{Ma résolution à moi c'est de reprendre les énigmes officielles}

Posté par Fractal Fractal

Bonjour, la somme des 6 nombres inscrits sur l'octaèdre peut-être égale à 2008, 1006, 136, 94 ou encore 78.

Sauf erreur...

Fractal

Posté par infophile infophile

Je joins ma démonstration pour ceux que ça intéresse

-----

On note les valeurs figurants aux sommets de l'octoèdre comme indiqué sur l'image ci-dessous :



Ensuite on traduit l'énoncé mathématiquement :



L'octoèdre possède 8 faces, les produits figurants sur chacune de ces faces sont donc :

.



On a donc :

.

Là on va transformer cette expression en factorisant étape par étape :

Première étape

On remarque que le et le interviennent chacun dans 4 produits donc on peut factoriser comme ceci :



Deuxième étape

A l'intérieur des parenthèses on remarque d'une part que les produits sont égaux et d'autre part que l'on peut encore mettre en facteur le et le :



Troisième étape

Toujours dans les deux parenthèses (les crochets) on peut mettre en facteur ce qui donne alors :



Dernière étape

Comme est un facteur commun à et on aboutit finalement à :



Or

Ainsi on a par exemple pour et une somme de :

.

En testant toutes les combinaisons possibles on trouve sommes répondant à l'énoncé :



En espérant ne pas en avoir oubliés .

-----

Posté par lo5707 lo5707

Bonjour,
après moulte chipotages je me lance:

D'après mes recherches _{(à la main, donc pas des plus sûres!)} j'en arrive à ceci:
Je ne trouve de solutions que

1°) dans le cas "trivial" _{si j'ose dire}  où une face a 2006 et toutes les autres ont 0
Là j'ai 5 manières de décomposer 2006 en trois facteurs:
2006x1x1
1003x2x1
118x17x1
59x34x1
59x17x2
ce qui fait 5 totaux de: 2008, 1006, 136, 94 et 78

2°) dans le cas où j'ai 2 faces non nulles et les autres nulles
et là toutes les possibilités me conduisent à 2008 et 1006

Je ne vois pas d'autres possibilités.

Ma réponse est donc:
Il y a 5 solutions: 2008,  1006,  136,  94  et  78

merci pour l'énigme

Posté par smil smil

je propose 78, 94, 136, 1006 et 2008

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour et Meilleurs Voeux pour cette nouvelle année,

La somme des 6 nombres ecrits sur les sommets de l'octaedre est

Je ne pense pas qu'il faille donner toutes les solutions mais juste le nombre de solutions car j'en trouve 1350 !!!
(j'en avais trouvé déjà 232 sans le zéro...)

Je tiens à disposition mon tableau de valeurs si nécessaire !

Merci et A+, KiKo21.

Posté par caylus caylus

Bonjour Minkus et bonne année (il faut tjs mettre le correcteur de son côté ),

(Sauf oubli habituel,) je crois qu'il y a 5 solutions:

Sol={78,94,136,1006,2008}

Posté par nobody (invité)

Bonjour,
les différentes sommes possibles sont :
78, 94, 136, 1006 et 2008

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonne année, Minkus
la réponse est 78 = 59+17+2
la somme des huit produits est le développement du produit des trois sommes de deux sommets opposés
2006 est le produit de trois nombres premiers, 59, 17, 2 correspondant à ces trois sommes
autres réponses possibles (puisqu'il peut y avoir des nombres nuls)
94 = 59+34+1
136 = 118+17+1
1006 = 1003+2+1
2008 = 2006+1+1

Posté par borneo borneo

Bonsoir,

78 94 136 1006 et 2008

Posté par Youpi Youpi

Bonsoir

Je trouve exactement 5 solutions possibles (j'éspère ne pas passer à côté d'une solution moins évidente):

78  94   136   1006  2008

merci pour l'énigme.

Posté par matthieu73 matthieu73

Bonsoir
Soient a, b, c, d, e, f désignant respectivement les naturels des somets A, B, C, D, E, F et S=a+b+c+d+e+f
On a (a+f)(b+d)(c+e)=2006
Or 2006=2*17*59
Soient M=(a+f), N=(b+d) et P=(c+e)
On a alors:
M=2, N=17, et P=59 d'ou S=78;
M=1, N=34, et P=59 d'ou S=94;
M=1, N=17, et P=118 d'ou S=136;
M=2, N=1, et P=1003 d'ou S=1006;
M=1, N=1, et P=2006 d'ou S=2008;

la somme des 6 nombres ecrits sur les sommets de l'octaedre sont donc:
78, 94, 136, 1006, 2008.

Merci pour ce défi
++

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Encore posté trop vite...

Il suffisait de remarquer que la somme des nombres figurant sur les six faces peut s'exprimer sous la forme (a+b)*(c+d)*(e+f) = 2006.
Les nombres dans chaques parenthèses étant les valeurs inscrites sur des sommets opposés.

Or 2006 = 2*17*59*1, ce qui nous donne comme sommes possibles des six sommets:

2*17 + 59 + 1 = 94
2*59 + 17 + 1 = 126
17*59 + 2 + 1 = 416
2 + 17 + 59 = 78

Quatre solutions: 78, 94, 126 et 416.

_{En éspérant que 2007 commence mieux pour moi que 2006 ne se termine...}

^{Merci pour le}

A+,
gloubi
-

Posté par gloubi gloubi

Re-posté trop vite!

Je me rends compte à l'instant que ce défi est le premier de l'année 2007...

Posté par ptitjean (invité)

salut,

en appelant a, b, c, d, e et f les 6 nombres, on a très rapidement :
(a+c)(b+d)(e+f)=2006 avec a non joint par une arète à c, de même avec b et d, et e et f
Or 2006=2*17*59 (décomposition en facteur premier)

on en déduit pour les sommes possibles les valeurs suivantes :
78 (2+17+59)
1006 (1+2+17*59)
94 (1+2*17+59)
136 (1+2*59+17)
2008 (1+1+2*17*59)

Ptitjean

Posté par turbulencier (invité)

on note a,b,c,d,e,f les sommets de l'octaèdre avec c,d,e,f la base carré et a et b les deux "pointes". Alors :

On factorise tout ça :

On décompose 2006 en facteurs premiers :
Donc, à la permutation circulaire près : , et .
Donc :
L'unique solution est 78

Posté par chaudrack chaudrack

Bonjour et merci pour cette énigme

Si on nomme a,b,c,d,e, et f les six sommets de l'octaèdre, on remarque que sur les faces sont inscrits

les nombres aed,adc,adf,dcf,aeb,ebc,abf et bcf.

Par simplification, la somme de ces huits nombres donne (e+f).(a+c).(b+d).

L'exercice revient donc à déterminer a+b+c+d+e+f tel que (e+f).(a+c).(b+d)=2006.

On remarque alors, vu le peu de nombre de diviseurs de 2006, que les solutions sont peu nombreuses, et reviennent à déterminer 3 entiers non nuls a,b et c tel que abc = 2006

On trouve alors 4 solutions distinctes

2006 = 1 x 2 x 1003
2006 = 1 x 17 x 118
2006 = 1 x 34 x 59
2006 = 2 x 17 x 59.

La somme des six nombres est donc tout simplement 1006,136,94 et 78.

Merci pour cette énigme.

en esperant le smiley,

@ plus, Chaudrack

Posté par franz franz

en notant les sommets a,b,c,d,e et f cela revient (les sommets opposés étant respectivenet (a,f), (b,e) et (c,d), cela revient à écrire
2006 = abc + ace + aed + adb + fbc + fce + fed + fdb = (a+f) (b+e) (c+d)

soit 2006=2*17*59=(a+f) (b+e) (c+d)

comme les valeurs nulles sont permises on trouve



Les sommes possibles des 6 sommets sont ainsi 2008 , 1006 , 136 , 94 et 78

Posté par carflex (invité)

5 solutions:
2+17+59=78
1+34+59=94
1+17+118=136
1+2+1003=1006
1+1+2006=2008

Posté par evariste evariste

5 solutions : 78,94,136,1006,2008

Posté par piepalm piepalm

Si a,a', b,b' , c,c' désignent les nombres inscrits sur les couples de sommets opposés, la somme des nombres inscrits sur les faces vaut:
(a+a')(b+b')(c+c') . Or 2006=2*17*59. Puisque tous les nombres sont entiers positifs, a+a'+b+b'+c+c'=2+17+59=78

Posté par picolo picolo

une solution :

0 + 1 + 2 + 5 + 7 + 9 = 24

Posté par atomium atomium

Bonjour à tous,

Cette somme, unique solution trouvée, pourrait être .

Posté par tbecker (invité)

1°/ On peut montrer que la somme des huit faces peut s'écrire:

   (S1+S6)*(S2+S4)*(S3+S5)

   où les S_i lié par la somme sont en fait deux sommets opposés.

2°/ On peut aussi décomposer 2006 = 2*59*17 où ces nombres sont premiers

3°/ Ainsi par identification tous les nombres S_i tels que les sommes  
    des opposés font 2, 59 et 17 sont satisafaisant. Je ne sais pas si j'ai été  
    clair !!! là

4°/ Pour conclure puisque les sommes des sommets opposés doivent valoir
    2, 17 et 59 systématiquement:
    
    la réponse à la question est 2+17+59 = 78
                                

Posté par jugo jugo

Bonjour,

Je note les sommets : a  b  c  d  e  f
Sommets opposés :    d  e   f  a  b c

Faces : abc  abf  ace  aef  bcd  bdf  cde  def

La somme des faces donne : (a+d).(b+e).(c+f)

Si on veut que ça donne 2006, on peut avoir les décompositions suivantes pour les trois termes :
( en espérant ne pas en oublier )
2006   1   1
1003   2   1
118   17   1
59   34   1
59   17   2

En additionant chaque ligne on obtient les sommes possibles pour les 6 nombres :
2008
1006
136
94
78

Posté par Teebo (invité)

Bonjour

Les différentes possibilités sont:

78
94
136
1006
2008

je ne pense pas en avoir oublié

Posté par lafol lafol

Bonjour,
j'appelle a,a',b,b',c,c' les nombres inscrits aux sommets (a et a' diamétralement opposés etc.).
Les quatre faces de sommet a sont abc,acb',ab'c'et ac'b, les quatre de sommet a' sont a'bc,a'cb',a'b'c' et a'c'b.
On a abc + acb'+ ab'c'+ ac'b + a'bc + a'cb'+ a'b'c' + a'c'b = 2006 = 2*17*59.
or abc + acb'+ ab'c'+ ac'b + a'bc + a'cb'+ a'b'c' + a'c'b = (a+a')(b+b')(c+c').
Donc la somme des 6 nombres, (a+a')+(b+b')+(c+c'), peut être égale à :
1+1+2006=2008,
1+2+1003=1006,
1+17+118=136,
1+59+34=94,
2+17+59=78.
Sauf erreur de calcul...

Posté par Justin Justin

Je pense que les solutions sont:
2008, 1006, 136, 94 et 78.

Merci!

Posté par DiadoreCronos (invité)

L'octaèdre a six sommets: s1, s2, s3, s4, s5, s6 (s6 n'ayant pas d'arète en commun avec s1)
Les numéros des faces sont:
face 1: s1*s2*s3
face 2: s1*s3*s4
face 3: s1*s4*s5
face 4: s1*s5*s2
face 5: s6*s2*s3
face 6: s6*s3*s4
face 7: s6*s4*s5
face 8: s6*s5*s2

La somme de ces nombres s'écrit:
2006= s1*s2*s3 + s1*s3*s4
+...+ s6*s4*s5 + s6*s5*s2
2006= s1*(s3*(s2+s4)+s5*(s2+s4)) + s6*(s3*(s2+s4)+s5*(s2+s4))
2006= (s1+s6)*(s2+s4)*(s3+s5)

Ce produit n'étant pas nul, remarquons au passage qu'il ne peut pasn y avoir plus de trois sommets à nombre nuls.
Décomposons 2006 en entiers:
2006=2*1003

1003 est-il premier? En testant tous les nombres entiers entre 32 (l'entier le plus proche de 1003) et 0. On s'aperçoit que 17*59=1003
Donc 2006=2*17*59
59 et 17 sont premiers.
les sommes (s1+s6), (s2+s4), (s5+s3) prennent donc chacunes l'une des valeurs suivantes: 2, 17, 59

La somme s1+s6+s2+s4+s3+s5=2+17+59=78
Je ne trouve pour l'instant pas d'autre solutions possibles pour la décomposition de 2006.

Posté par OCARINA OCARINA

Je trouve 78 aprés quelques calculs.

Posté par DiadoreCronos (invité)

Désolé, je poste un correctif de ma précédente réponse, je n'avais pas vu les autres solutions possibles avant ce matin. Ma réponse ne diffère de la première version que par le dernier paragraphe à peu près.

L'octaèdre a six sommets, et six nombres: s1, s2, s3, s4, s5, s6 (s6 n'ayant pas d'arête en commun avec s1)
Les nombres des faces sont:
face 1: s1*s2*s3
face 2: s1*s3*s4
face 3: s1*s4*s5
face 4: s1*s5*s2
face 5: s6*s2*s3
face 6: s6*s3*s4
face 7: s6*s4*s5
face 8: s6*s5*s2

La somme de ces nombres s'écrit:
2006= s1*s2*s3 + s1*s3*s4
+...+ s6*s4*s5 + s6*s5*s2
2006= s1*(s3*(s2+s4)+s5*(s2+s4)) + s6*(s3*(s2+s4)+s5*(s2+s4))
2006= (s1+s6)*(s2+s4)*(s3+s5)

Ce produit n'étant pas nul, remarquons au passage qu'il ne peut pas y avoir plus de trois sommets à nombre nuls, et aucun des facteurs (s1+s6), (s2+s4), (s3+s5) ne doit être nul.
Décomposons 2006 en entiers:
2006=2*1003

1003 est-il premier? En testant tous les nombres entiers entre 32 (l'entier le plus proche de  1003) et 0, on s'aperçoit que 17*59=1003
Donc 2006=2*17*59
59 et 17 sont premiers.
Les sommes (s1+s6), (s2+s4), (s5+s3) prennent donc chacune l'une des valeurs suivantes: 2, 17, 59, (du moins si on cherche la solution minimale du problème).

La somme des nombres des six sommets s1+s6+s2+s4+s3+s5=2+17+59=78

Les autres solutions (en décomposant «moins » 2006) :

2006= 2006*1*1 --> somme des sommets = 2006+1+1 = 2008
2006= 2*1003*1 --> somme des sommets = 2+1003+1 = 1006
2006= 34*59*1  --> somme des sommets = 34+59+1= 94
2006= 17*118*1 --> somme des sommets = 17+118 +1 = 136

Posté par jamo jamo

En appelant a, b, c, d, e et f les nombres situés sur les 6 sommets, on obtient que le produit des 8 nombres sur les 8 faces est égal à (a+c)*(b+d)*(e+f)

En décomposant 2006 = 1*1*2006 = 1*2*1003 = 1*17*118 = 1*34*59 = 2*17*59, on obtient les 5 sommes possibles :

2008
1006
136
94
78

Ma réponse est donc 5

Posté par elodat57 (invité)

Bonjour à tous !

La somme des 6 chiffres peut etre : 78, 94, 136, 1006 ou 2008.

Merci pour l'énigme.

Posté par chaudrack chaudrack

Re-Bonjour,

Je crois que j'ai oublié une solution: 2008

Je sais que la première réponse compte, mais bon...

@ plus, chaudrack

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bonjour à tous,

Les solutions possibles que je trouve sont :
2008, 1006, 136, 94, et 78.


Ayoub.

Posté par bret (invité)

bonjour,

le problème à résoudre est :
trouver a,b,c,d,e,f tels que
(a+f)(b+c)(e+d)=2006
où (a,f), (b,c), (e,d) sont des couples de sommets opposés.

La décomposition en facteurs premiers de 2006 permet de trouver le résultat :

les sommes possibles sont :
78, 94, 136, 1006, 2008

Merci pour l'énigme

Posté par minkus minkus

Bonjour,

C'est parti pour les premiers et de l'année !

Les nombres étant positifs ou nuls, il y avait bien 5 solutions à ce défi sans doute un peu surévalué.

Merci encore à Kévin pour sa démo toute en images, en couleurs et en encadrés.

>Kiko21 : Il fallait donner le nombre de solutions pour la somme, pas pour la disposition.

>Caylus :



A ce propos, je n'ai toujours pas reçu les chocolats


>DiadoreCronos : Désolé mais ton correctif trop tardif ne peut être pris en compte.

minkus

Posté par Youpi Youpi

Juste une question : Pourquoi Kévin a-t-il était empoissonné ?????

Posté par Youpi Youpi

...a-t-il été ...

Posté par infophile infophile



De rien mais en échange je veux bien un

Posté par jamo jamo

Et moi ??

J'ai ni perdu ni gagné ??

Posté par _Estelle_ _Estelle_

Waow, super ta démo Kévin

Estelle

Posté par Skops Skops

Pas mal

Skops

Posté par infophile infophile

Merci Skopestelle