logo

question transformation

   
connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... » maths sup » autretopics traitant de autre » [tout]lister tous les topics de mathématiques

re : espace vectoriel bis#msg830277 Posté le 05-01-07 à 11:58
Posté par hermimi (invité)

j'aurai une autre question sur un autre exo

je sais que (j'ai déjà dém que) sur [0.1]
Bn(f) = somme de k=0 à n de (k parmi n) * f(k/n) *x^k * (1-x)^(n-k)

g(x)=xf(x) et Bn(g)=x(1-x)/n (Bn(f))' +xBn(f)

Montrer que  
la somme de k =0 à n des (k parmi n) *(k/n-x)² *x^k *(1-x)^(n-k)
est égale à x(1-x)/n

Je sais que ce n'est pas très lisible mais merci quand meme à ceux qui m'auront aidé

*** message déplacé ***
re : espace vectoriel bis#msg830555 Posté le 05-01-07 à 13:16
Posté par hermimi (invité)

s'il vous plait

*** message déplacé ***

maths supquestion transformation

#msg832667 Posté le 05-01-07 à 20:00
Posté par hermimi (invité)

j'aurai une  question sur un  exo

je sais que (j'ai déjà dém que) sur [0.1]
Bn(f) = somme de k=0 à n de (k parmi n) * f(k/n) *x^k * (1-x)^(n-k)

g(x)=xf(x) et Bn(g)=x(1-x)/n (Bn(f))' +xBn(f)

Montrer que  
la somme de k =0 à n des (k parmi n) *(k/n-x)² *x^k *(1-x)^(n-k)
est égale à x(1-x)/n

Je sais que ce n'est pas très lisible mais merci quand meme à ceux qui m'auront aidé
re : question transformation#msg833723 Posté le 06-01-07 à 05:53
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Bonjour,

C'est un simple calcul de combinaisons.

Développons le carré :
\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac{k}{n}-x\right)^2x^k(1-x)^{n-k}=\frac{1}{n^2}\Bigsum_{k=0}^n\fbox{k^2}{n\choose k}x^k(1-x)^{n-k}-\frac{2x}{n}\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}\fbox{k}x^k(1-x)^{n-k}+x^2\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}x^k(1-x)^{n-k}
Le troisième terme est évident. Transformons les deux premiers :
\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac{k}{n}-x\right)^2x^k(1-x)^{n-k}=\frac{(1-x)^n}{n^2}\Bigsum_{k=0}^nk^2{n\choose k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^k-\frac{2x(1-x)^n}{n}\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}k\left(\frac{x}{1-x}\right)^k+x^2\quad (*)
Le 2ème terme se calcule facilement en reconnaissant une dérivée :
\begin{array}{rcl} \\ \Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}k\left(\frac{x}{1-x}\right)^k &=& \frac{x}{1-x}\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}k\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k-1}\\ \\ &=& \frac{x}{1-x}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\left(\frac{x}{1-x}\right)}\left\{\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^k\right\}\\ \\ &=& \frac{x}{1-x}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\left(\frac{x}{1-x}\right)}\left\{\left(1+\frac{x}{1-x}\right)^n\right\}\\ \\ &=& \frac{x}{1-x}\, n\,\left(1+\frac{x}{1-x}\right)^{n-1}\\ \\ &=& \frac{x\cdot n}{(1-x)^n} \\ \end{array}
On reporte dans (*) :
\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac{k}{n}-x\right)^2x^k(1-x)^{n-k}=\frac{(1-x)^n}{n^2}\Bigsum_{k=0}^nk^2{n\choose k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^k-2x^2+x^2\quad (**)
Pour le premier terme, on procède de même, par dérivation. On part de :
\left(1+\frac{x}{1-x}\right)^n=\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^k
On dérive par rapport à \frac{x}{1-x} :
n\left(1+\frac{x}{1-x}\right)^{n-1}=\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}k\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k-1}
On multiplie chaque membre par \frac{x}{1-x} :
n\frac{x}{1-x}\left(1+\frac{x}{1-x}\right)^{n-1}=\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}k\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k}
On redérive par rapport à \frac{x}{1-x} :
n\left(1+\frac{x}{1-x}\right)^{n-1}+n(n-1)\frac{x}{1-x}\left(1+\frac{x}{1-x}\right)^{n-2}=\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}k^2\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k-1}
On factorise le membre de gauche :
n\left(1+\frac{x}{1-x}\right)^{n-2}\left(1+n\frac{x}{1-x}\right)=\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}k^2\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k-1}
On multiplie chaque membre par \frac{x}{1-x} :
\frac{nx}{(1-x)^n}(1-x+nx)=\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}k^2\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k}
On reporte dans (**) :
\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac{k}{n}-x\right)^2x^k(1-x)^{n-k}=\frac{x}{n}(1-x+nx)-x^2
\fbox{\Bigsum_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac{k}{n}-x\right)^2x^k(1-x)^{n-k}=\frac{x(1-x)}{n}}

Sauf erreur.

Nicolas
re : question transformation#msg834209 Posté le 06-01-07 à 11:48
Posté par hermimi (invité)

merci beaucoup Nicolas car je n'arrivais pas à calculer
re : question transformation#msg834221 Posté le 06-01-07 à 11:50
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Je t'en prie.
re : question transformation#msg834246 Posté le 06-01-07 à 11:53
Posté par hermimi (invité)

Juste une question est-ce qu'il y a un moyen de faire sans les dérivées partielles car on ne les a étudiées qu'en physique et pas en maths??

MErci
re : question transformation#msg834250 Posté le 06-01-07 à 11:53
Posté par Profilmikayaou mikayaou

Nicolas 05:53 : une référence de latex !
.
re : question transformation#msg834256 Posté le 06-01-07 à 11:55
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

mikayaou >>

hermimi >> je n'ai pas utilisé de dérivée partielle, mais une dérivée "normale".
Pose y = x/(1-x) et dérive par rapport à y : ce sera plus clair et rigoureux.
re : question transformation#msg834273 Posté le 06-01-07 à 11:57
Posté par hermimi (invité)

ok merci je vois dslée de vous embéter
encore merci
re : question transformation#msg834283 Posté le 06-01-07 à 11:58
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Tu ne m'embêtes pas du tout. Sinon, je n'aurais pas fait tout cela.
N'hésite pas à revenir poser des questions si un point de la démonstration te semble obscur.

Je t'en prie.
re : question transformation#msg834315 Posté le 06-01-07 à 12:04
Posté par hermimi (invité)

d'accord
re : question transformation#msg834348 Posté le 06-01-07 à 12:15
Posté par hermimi (invité)

bah c'est bon j'ai tout compris

encore merci
re : question transformation#msg834355 Posté le 06-01-07 à 12:16
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Avec plaisir.
re : question transformation#msg839082 Posté le 07-01-07 à 12:37
Posté par ProfilSkops Skops

Bravo

Skops
re : question transformation#msg839099 Posté le 07-01-07 à 12:39
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Merci à mon club Skopsien de soutien, sans qui je ne serais rien.
re : question transformation#msg839886 Posté le 07-01-07 à 15:04
Posté par Profil_Estelle_ _Estelle_

Waow, bravo

(Je fais évidemment aussi partie du club Skopsien ).

Estelle
re : question transformation#msg839897 Posté le 07-01-07 à 15:06
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Merci de vos encouragements. Je ferai mieux la prochaine fois.
re : question transformation#msg839911 Posté le 07-01-07 à 15:08
Posté par Profilmikayaou mikayaou

où prend on les licences ?
.
re : question transformation#msg839926 Posté le 07-01-07 à 15:10
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

re : question transformation#msg839928 Posté le 07-01-07 à 15:11
Posté par Profil_Estelle_ _Estelle_

Faut demander à Skops

Estelle
re : question transformation#msg840347 Posté le 07-01-07 à 16:22
Posté par Profilinfophile infophile

Réservez moi une licence à moi aussi
re : question transformation#msg840524 Posté le 07-01-07 à 16:47
Posté par ProfilSkops Skops

Bon l'entrée dans mon club est de 500€ mensuel plus un abonnement de 1000€ par an

VOus pouvez évidemment faire des dons à ce club

(Faut me comprendre, les droits d'auteur nécessitent un soutien financier de votre part

Skops
re : question transformation#msg840537 Posté le 07-01-07 à 16:49
Posté par Profilinfophile infophile

Bon finalement je vais attendre avant de me décider
re : question transformation#msg840551 Posté le 07-01-07 à 16:52
Posté par ProfilSkops Skops

Evidemment, Estelle ne paie rien, je lui offre l'entré

Au cas où moomin voudrait entrer, cela serait 2000€ d'abonnement et 1000€ par mois

Merci de votre compréhension

Skops
re : question transformation#msg840561 Posté le 07-01-07 à 16:53
Posté par Profilinfophile infophile

Oh pour moomin tu peux même lui faire payer 3000 € l'abonnement
re : question transformation#msg840629 Posté le 07-01-07 à 17:06
Posté par Profiljeanseb jeanseb

Citation :
Nicolas 05:53 : une référence de latex !


A cette heure-là, c'est même positivement monstrueux!
re : question transformation#msg841026 Posté le 07-01-07 à 17:57
Posté par ProfilSkops Skops

jeanseb >> l'heure n'est pas étonnant

moomin >> 5000€

Skops
re : question transformation#msg841065 Posté le 07-01-07 à 18:02
Posté par Profiljeanseb jeanseb

Citation :
jeanseb >> l'heure n'est pas étonnant


Ok, j'ai regardé le profil!
re : question transformation#msg841074 Posté le 07-01-07 à 18:03
Posté par Profil_Estelle_ _Estelle_

Skops 16:52 >> Merci :)

Par solidarité féminine, j'invite Moomin (désolée Skops et Kévin ).

Estelle
re : question transformation#msg841291 Posté le 07-01-07 à 18:32
Posté par ProfilSkops Skops

Estelle >> 5000€ pour toi aussi alors

Skops
re : question transformation#msg844585 Posté le 09-01-07 à 05:32
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Et moi qui pensais que votre passion des mathématiques était désintéressée...

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

connectez-vousforums forumsliste de tous les forums de mathématiques » SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... » maths sup » autretopics traitant de autre » [tout]lister tous les topics de mathématiques
   

Rechercher loupe

Menu

Espace membre

membre-hors-ligne

Changer d'île



page d'accueil   favoris  imprimer
maths - prof de maths haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2012