Exercice Isométrie et cosinus

Posté par Raven (invité)

Alors voilà j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre,
je vous donne l'énoncé

On désigne par C un cercle orienté de centre O et de rayon 1 dont [AB]
est un diamètre. On considère un point M de C tel que la longueur
de l'arc AM est égale à x, avec x appartient à l'intervalle
[0 ; Py ] et la médiatrice de [AM] coupe l'arc AM en M'.
Le point I est le milieu de [AM] et le point H est le projeté orthogonal
de M' sur (AB).

1) Démontrer que les triangles OHM' et OIA sont isométriques.
2) En calculant de deux manières différentes l'aire d'un triangle,
démontrer que sinx = 2cos(x/2) sin(x/2)

Je pense avoir reussi à trouver le résultat pour la première question,
mais en ce qui concerne la deuxième je ne comprends pas et ne voit
pas trop comment faire. Est-ce que vous pourriez m'aider à résoudre
cet exercice? Merci d'avance.

Raven

Posté par Raven (invité)

Euh, bonjour? Excusez moi si j'ai manqué de politesse! Je n'ai
meme pas pensé à dire "bonjour" ni aurevoir !

Alors je le fais ici  

Bye et merci d'avance!

Posté par siOk siOk


Bonjour Raven,


Décidément la trigo est à la mode en seconde ces temps-ci.


La longeur de l'arc AM est de x (unité de longueur)
Comme le rayon du cercle est 1
L'angle AOM mesure x radians (définition du radian)


Question 1
Le triangle AOM est isocèle en O donc la médiatrice [OI] est aussi bissectrice
donc
angle AOM' = angle M'OM et ils mesurent tous deux x/2  radians

Comme OM = OA = 1 et [OM'] est un côté commun à OMM' et AOM'
les triangles sont isométriques
donc ils ont la même aire



Question 2
Aire OIA = 1/2 * OI * OM' = 1/2 * (1*sin(x/2)) * (1*cos(x/2))
Aire OIA = 1/2 * cos(x/2) * sin(x/2)

d'une part
Aire de OMA = 1/2 * OA * OH = 1/2 * (1 *sin x) * 1 = 1/2 * sin x

d'autre part
Aire de OMA = 2 * aire OIA = cos(x/2) * sin(x/2)

d'où la réponse en égalant les deux formules.

Posté par Raven (invité)

Re bonjour siOk !

J'ai juste une petite question encore... je n'arrive pas à savoir
comment faire pour prouver que sinx = cos(x/2) * sin(x/2)


j'aire Aire AOM = cos(x/2) * sin(x/2)

et je ne vois pas comment aller plus loin.
Merci de répondre.

Au revoir!

Posté par siOk siOk


La relation a prouver est  sinx = 2 * cos(x/2) * sin(x/2)
et non  sinx = cos(x/2) * sin(x/2)

Tu utilises les deux expressions de OMA