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[Electricité] Résolution équation différentielle second ordre

   
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terminale[Electricité] Résolution équation différentielle second ordre

#msg874211 Posté le 24-01-07 à 17:42
Posté par Profilinfophile infophile

Bonjour

En électricité on étudie l'équation différentielle du second ordre suivante :

4$ \frac{q}{C}+(R+r)q'+Lq''=0 avec C, R, r et L des constantes.

Sauf qu'on se place dans les conditions idéales c'est à dire qu'on impose \red (R+r)=0.

Si on ne fait pas cette hypothèse comment doit-on s'y prendre pour résoudre cette équation ?

Merci
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg874285 Posté le 24-01-07 à 18:04
Posté par ProfilJ-P J-P Correcteur

Appelons R+r = R' pour faciliter l'écriture.

p²L + R'p + 1/c = 0
p²LC + R'C.p + 1 = 0

p = (-R'C +/- V(R'²C²-4LC))/(2LC)

1°) si (R'²C²-4LC) < 0

p = -(R'/(2L)) +/- i.(V(4LC - R'²C²))/(2LC)

q = e^(-(R'/(2L))t) * [A(sin(((V(4LC - R'²C²))/(2LC)).t) + B.cos(((V(4LC - R'²C²))/(2LC)).t)]

A et B étant des constantes réelles dépendant des conditions initiales.
-----
2°)
Si (R'²C²-4LC) > 0

q = A.e^(((-R'C + V(R'²C²-4LC))/(2LC)).t) + B.A.e^(((-R'C - V(R'²C²-4LC))/(2LC)).t)
A et B étant des constantes réelles dépendant des conditions initiales.
-----
3°)

Si (R'²C²-4LC) = 0

q = A.e^(-(R'/(2L))t) + B.t.e^(-(R'/(2L))t)
A et B étant des constantes réelles dépendant des conditions initiales.
-----
Sauf distraction.
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg874317 Posté le 24-01-07 à 18:10
Posté par Profilalexc alexc

bonjour
la résolution de ce type d'équation différentielle n'est plus au programme de terminale!!
néanmoins voici la méthode:
soit une équation différentielle de 2ème ordre du type y''+ay'+by=o qui a pour équation caractéristique r²+ar+b=0 de discriminant
* si >0: f(x)= e(r1.x)+e(r2.x)  ou r1 et r2 sont les racines de l'équation caractéristique
* si =0: f(x)=(x+)e(r.x)  où r est la racine double de l'équation caractéristique
* si <0: f(x)= (cosx+sinx)e(x)  où r1=+i et r2=-i


et sont des constantes à déterminer a l'aide des conditions de l'exercice

J'espère avoir répondu à ta question
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg874326 Posté le 24-01-07 à 18:13
Posté par Profilinfophile infophile

Bonsoir J-P

On introduit p mais que représente-t-il ? Je ne vois pas d'où il vient.

Merci encore une fois de te soucier de mes problèmes
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg874331 Posté le 24-01-07 à 18:14
Posté par Profilinfophile infophile

Ok donc le p viendrait de l'équation caractéristique d'après alexc, mais je relance ma question : elle sort d'où ?
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg874617 Posté le 24-01-07 à 19:35
Posté par Profilinfophile infophile

Up
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg874806 Posté le 24-01-07 à 20:42
Posté par Profilinfophile infophile

Up
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg875334 Posté le 25-01-07 à 09:56
Posté par ProfilJ-P J-P Correcteur

alexc a appelé "r" ce que j'ai appelé "p"

Peut-être une modification des conventions ?

Pour moi, et dans de nombreux ouvrages on note p, mais c'est sans importance.

re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg875476 Posté le 25-01-07 à 12:55
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

L'équation caractéristique c'est ce qu'on utilise pour résoudre les équadiffs d'ordre 2 (ou plus) quand il n'y a pas de second membre et que les coefficients sont constants( ce qui est le cas ici)
Voici la méthode générale :

On considère l'équation différentielle du second ordre suivante :
\textrm \large y''+ay'+by=0 (E).
Soit (e) l'équation caractéristique de (E):
\textrm \large x^2+ax+b=0 (e).

Démontrons la propriété suivante.
Soit f une fonction définie sur \textrm \large \mathbb{R}, mais à valeur dans \textrm \large \mathbb{C}, de la forme \textrm \large f(x)=e^{\lambda x}, avec \textrm \large \lambda \in \mathbb{C}.
\textrm \large f solution de (E) \Longleftrightarrow \lambda \hspace ssolution de (e).
En effet, on a :
\textrm \large f solution de (E) \Longleftrightarrow f''(x)+af'(x)+bf(x)=0
\textrm \large \Longleftrightarrow \lambda^2e^{\lambda x}+a\lambda e^{\lambda x}+be^{\lambda x}=0
\textrm \large \Longleftrightarrow e^{\lambda x}(\lambda^2+ a\lambda+b)=0
\textrm \large \Longleftrightarrow (\lambda^2+ a\lambda+b)=0 car \textrm \large e^{\lambda x}\neq 0
\textrm \large \Longleftrightarrow \lambda \hspace ssolution de (e).

On admettra celle qui suit (en fait, c'est démontrable à notre niveau, mais c'est vachement long, et très très technique, donc j'admets, mais si tu veux ...):
Soit \textrm \large f_1 et \textrm \large f_2 deux solutions distinctes et linéairement indépendantes de (E) sur un intervalle (non réduit à un point) I. Alors, les solutions de (E) sur I sont l'ensemble des fonctions de la forme \textrm \large Af_1+Bf_2
avec \textrm \large (A,B)\in\mathbb{R}^2.

Une fois qu'on a fait cela, on peut s'attaquer au reste.


1) (e) admet deux solutions réelles distinctes \textrm \large r_1 et \textrm \large r_2.

D'après la propriété du dessus, on connaît deux solutions de (E).
Ce sont les fonctions \textrm \large h_1 et \textrm \large h_2, avec \textrm \large h_1(x)=e^{r_1 x} et \textrm \large h_2=e^{r_2 x}.
D'après la propriété admise, l'ensemble des fonctions {f} solutions de (E) sur \textrm \large \mathbb{R} sont les fonctions de la forme:


\fbox{\textrm \blue \large f(x)=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}, (A,B)\in\mathbb{R}^2}.

Les constantes A et B étant déterminées grâce aux conditions initiales (tout comme pour les équadiffs du premier ordre)


2) (e) admet une solution double \textrm \large r.

Dans ce cas, on connaît une solution de (E). C'est la fonction définie sur I par \textrm \large h_1(x)=e^{rx}.
C'est déjà bien, sauf que c'est insuffisant pour conclure.
Dans ce cas, deux solutions : soit on fait comme pour les equadiffs du premier ordre, càd qu'on prend une fonction  quelconque solution de (E), et puis on déballe tout.

Soit, on prend la méthode courte.
En effet, on remarque () que la fonction \textrm \large h_2(x)=xe^{rx} est solution aussi de (E).
On a donc bien nos deux solutions \textrm \large h_1 et \textrm \large h_2.

On peut donc conclure que l'ensemble des fonctions {f} solutions de (E) sur I, est l'ensemble des fonctions de la forme : \textrm \large f(x)=Axe^{rx}+Be^{rx}.


\fbox{\textrm \blue \large f(x)=(Ax+B)e^{rx}}.


3) (e) admet deux solutions complexes conjuguées \textrm \large \lambda_1 et \textrm \large \lambda_2=\bar{\lambda_1}.

Là c'est marrant.
D'après la première propriété, on connaît deux fonctions solutions de (E) sur I.
Ce sont les fonctions définies par \textrm \large z_1(x)=e^{\lambda_1x} et \textrm \large z_2=e^{\lambda_2x}.
Ouaip, mais on va pas loin avec ca. Ce sont des fonctions à variables complexes, donc pour l'étude ... bof bof.
Posons \textrm \large \lambda_1=a+ib et \textrm \large \lambda_2=\overline{a+ib}=a-ib avec \textrm \large (a,b)\in\mathbb{R}^2
Par conséquent:
\textrm \large z_1(x)=e^{(a+ib)x} et \textrm \large z_2=e^{(a-ib)x}
Ou encore:
\textrm \large z_1(x)=e^{a}e^{ibx} et \textrm \large z_2=e^{a}e^{-ibx}.

Continuons :
Posons \textrm \large f_1=\frac{z_1+z_2}{2} et \textrm \large f_2=\frac{z_1-z_2}{2i}
Toujours pas le flash ?(regarde au dessous si non)

\white \textrm \large f_1(x)=e^{ax}cos(bx) et \white \textrm \large f_2(x)=e^{ax}sin(bx)

\textrm \large f_1 et \textrm \large f_2 sont bien deux solution linéairement indépendantes sur \textrm \large \mathbb{R}. De plus, ce sont aussi des solutions de (E). On a donc bien nos deux solutions.
On peut donc conclure, en disant que l'ensemble des fonctions {f} solutions de (E) sur I sont toutes les fonctions de la forme :

\fbox{\blue \textrm \large f(x)=e^{ax}(Acos(bx)+Bsin(bx))}


Traitons un exemple.
Pour le premier cas, et le deuxième, je te laisse faire.
Le troisième est plus intéressant.

Soit l'équation différentielle (E) suivante:
\textrm \large y''+y'+y=0 (E)
l'équation caractéristique associée à (E) est :
\textrm \large x^2+x+1=0 (e).

Résolvons (e).
\textrm \large \Delta=1^2-4=-3=(i\sqrt{3})^2
(e) admet donc deux solutions complexes \textrm \large x_1 et \textrm \large x_2=\overline{x_1}.
\textrm \large x_1=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2} et \textrm \large x_2=\overline{x_1}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}.
\textrm \large Re(x_1)=\frac{-1}{2} et \textrm \large Im(x_1)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Par conséquent, l'ensemble des solutions {f} de (E) sur \textrm \large \mathbb{R}, sont l'ensemble des fonctions de la forme:

\textrm \large \textrm \large f(x)=e^{\frac{-1}{2}x}(Acos(\frac{\sqrt{3}}{2}x)+Bsin(\frac{\sqrt{3}}{2})x)


A vérifier.

Ayoub.
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg876208 Posté le 25-01-07 à 19:05
Posté par Profilinfophile infophile

Salut Schumi !

Joli démonstration je te remercie

Par contre le truc qu'on admet bof bof
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg876226 Posté le 25-01-07 à 19:08
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Quoi tu veux aussi la démo ?


Ayoub.
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg876236 Posté le 25-01-07 à 19:09
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Demain je te le donnerai, là je dois y aller.

re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg876265 Posté le 25-01-07 à 19:21
Posté par Profilinfophile infophile

Merci

Bonne soirée

Vraiment nickel ton post
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg877234 Posté le 26-01-07 à 12:22
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Citation :
Vraiment nickel ton post


Je me suis inspiré des posts légendaires de Nightmare.


Ayoub.
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1181650 Posté le 26-06-07 à 18:42
Posté par ProfilSkops Skops

Citation :
On admettra celle qui suit (en fait, c'est démontrable à notre niveau, mais c'est vachement long, et très très technique, donc j'admets, mais si tu veux ...):


Je veux

Dans ton exemple, je ne vois pas pourquoi 3$b=\frac{sqrt{3}}{2} alors que dans l'équation caractéristique b=1
Même chose pour a

Skops
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1181653 Posté le 26-06-07 à 18:43
Posté par ProfilSkops Skops

Si quelqu'un veut latexifier la démo, qu'il ne se gêne surtout pas

Skops
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1181716 Posté le 26-06-07 à 19:41
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Ton message est adressé à qui ?

re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1181718 Posté le 26-06-07 à 19:42
Posté par Profilinfophile infophile

Ah un volontaire Skops
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1181722 Posté le 26-06-07 à 19:44
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Skops >>

"a" et "b" ne représente pas les coeff de "x²+x+1" mais les parties réelles et imaginaires des racines.

re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1181789 Posté le 26-06-07 à 20:11
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Skops >>

Demain, je vais essayer de la poster ta démo. Mais je me suis trompé, c'est pas vraiment du niveau Terminale (c'est pour ça que je l'ai pas posté )


Ayoub.
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1181817 Posté le 26-06-07 à 20:25
Posté par ProfilSkops Skops

1Schumi1 >> Ok pour a et b

C'est pas grave, poste la quand même

Skops
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1181822 Posté le 26-06-07 à 20:29
Posté par ProfilSkops Skops

Et merci d'avance

Skops
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1182071 Posté le 26-06-07 à 23:51
Posté par Profilmonrow monrow

On a fait la démo cette année et oui c'est vrai... c'est long

mais elle est du niveau Tale
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1182077 Posté le 27-06-07 à 00:02
Posté par Profilinfophile infophile

Tssss oui mais vous voyez pleins de choses que nous on ne verra qu'en Sup

C'est pas cool
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1182082 Posté le 27-06-07 à 00:14
Posté par Profilmonrow monrow

RAPPEL

Soient f et g deux fonctions définies sur le même intervalle I.

On dit que deux fonctions f et g sont deux fonctions sont proportionnelles s'il existe un k de \mathbb{R} tel que pour tout x de I: g(x)=k.f(x)

Soient y_1 et y_2 deux solutions de l'équadiff (E)\quad y''+ay'+by=0. Et soient \alpha_1 et \alpha_2 deux nombres réels.

On peut montrer facilement que \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2 est aussi une solution.

Donc, on peut conclure que toute combinaison linéaire de deux solutions de (E) est solution de (E).

Soient y_1 et y_2 deux solutions non proportionnelles de (E). Et soit y une solution de l'équadiff.

On montre que y est une combinaison linéaire des deux solutions y_1 et y_2. C'est-à-dire, il existe \alpha_1 et \alpha_2 tel que: y=\alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2

On a: y(x)=\alpha_1 y_1(x) + \alpha_2 y_2(x)

et: y'(x)=\alpha_1 y_1'(x) + \alpha_2 y_2'(x)

Pour déterminer: \alpha_1 et \alpha_2, il suffit de résoudre ce système: \{y(x)=\alpha_1 y_1(x) + \alpha_2 y_2(x)\\y'(x)=\alpha_1 y_1'(x) + \alpha_2 y_2'(x)

Le déterminant de ce système est: D(x)=y_1(x)y_2'(x)-y_1'(x)y_2(x)

On admet que D(x) est non nul donc le système a une seule solution: (\alpha_1,\alpha_2).

Résultat: Toute solution de (E) est une combinaison linéaire de deux solutions non proportionnelles de (E).

** On va résoudre l'équadiff (E)

On cherche des solutions du genre: y: x\to e^{rx} r est un réel.

y est solution de (E) équivaut: r^2e^{rx}+are^{rx}+be^{rx}=0

et puisque la fonction exponnentielle ne s'annule jamais

donc: r^2+ar+b=0

Donc si r est solution de: r^2+ar+b=0 donc: y: x\to e^{rx} est solution de (E)

re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1182183 Posté le 27-06-07 à 09:23
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Oui, ben c'est ca que j'allais posté.
En france, c'est pas au prog.

re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1182777 Posté le 27-06-07 à 20:45
Posté par Profilmonrow monrow

Juste une petite remarque, j'ai fait une erreur de traduction

on dit pas fonctions proportionnelles mais fonctions associées
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1183127 Posté le 28-06-07 à 06:34
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

On dit aussi linéairement dépendantes.


Ayoub.
re : [Electricité] Résolution équation différentielle second ord#msg1198335 Posté le 14-07-07 à 13:16
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Una autre manière de voir les choses, c'est de démontrer que l'ensemble des solutions d'une équadiff du second ordre à coeff constants est un ev de dimension 2. Ca doit être marrant à démontrer, mais bon, perso, je vois pas trop comment on derait s'y prendre.
Qui s'y colle?


Ayoub.

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