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Identité remarquable au cube, comment montrer...


troisièmeIdentité remarquable au cube, comment montrer...

#msg887187#msg887187 Posté le 30-01-07 à 19:00
Posté par Profilcasiofx casiofx

Bonjour,

Comment montrer que quels que soient les nobmres a et b : a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

Je sais qu'il sagit d'une identité remarquable :
a3 - b3 = (a - b)( a² + ab +b²)

Comment y montrer ? En citant cette identité remarquable, en montrant des applications ?

Merci !
re : Identité remarquable au cube, comment montrer...#msg887203#msg887203 Posté le 30-01-07 à 19:06
Posté par ProfilStephmo Stephmo

hello,

tu sais que a3-b3=(a+b)(a-b)(a+b)
il ne te reste plus qu'à développer (a+b)(a+b) et c'est fait !

Steph
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re : Identité remarquable au cube, comment montrer...#msg887232#msg887232 Posté le 30-01-07 à 19:15
Posté par Profilcasiofx casiofx

"tu sais que a3-b3=(a+b)(a-b)(a+b) " -> Oui je suis d'accord

"il ne te reste plus qu'à développer (a+b)(a+b)"
-> Pourquoi développer ces deux termes ? j'ai peur de ne pas comprendre
Dois je démontrer que "quel soient les nombres..." en écriture littéraire ?

A = (a+b)(a+b)
A = a² + 2ab + b² ?


Merci pour ton aide !
re : Identité remarquable au cube, comment montrer#msg887251#msg887251 Posté le 30-01-07 à 19:21
Posté par Profiljacqlouis jacqlouis

    Bonsoir. Avant de parler d'identité remarquable, fais déja les développements suivants :

    a*(a + ab + b²)      et     b*(a² + ab + b²)

Ensuite    fais  : 1er résultat moins 2ème résultat .
Tu auras ainsi  :  (a-b)*(a² + ab + b²)
et tu vérifieras à quoi c'est égal ?...
re : Identité remarquable au cube, comment montrer...#msg887259#msg887259 Posté le 30-01-07 à 19:23
Posté par ProfilStephmo Stephmo

il faut que tu prouves que a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

pour trouver cette écriture...c'est en développant (a+b)(a+b) dans (a-b)(a+b)(a+b) que tu vas pouvoir démontrer que cela marche...
pour ce genre d'exo, il faut développer ou factoriser grâce aux identités remarquables et là tu auras montrer qu'avec n'importe quel nombre cela marche..si tu veux en-dessous tu peux toujours mettre un ou 2 exemple un où par exemple a=1 et b=2 et un où a=3 et b=4 pour être sur !

après tu l'auras démontré ...tu m'as suivi?

Steph
re : Identité remarquable au cube, comment montrer...#msg887290#msg887290 Posté le 30-01-07 à 19:44
Posté par Profilcasiofx casiofx

Prouver que quels que soient les nombres a et b :
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

--------------------
Citation :
c'est en développant (a+b)(a+b) dans (a-b)(a+b)(a+b)


En récapitulant :

(a-b)(a+b)(a+b) est présent où ? correspondance avec (a-b)(a2+ab+b2) ?

(a+b)(a+b) est donc égale à (a+b)² qui donne a²+ 2ab +b²

Enfin ce que je veux dire c'est que dans l'énoncé on nous parle de : (a-b)(a2+ab+b2)
Or ici, (a+b)(a+b) qui correspond une fois développé (grâce a l'identité remarquable) à a² + [b]2[/b]ab + b²

Soit je cherche trop compliqué ou soit je suis à coté de la plaque (excusez pour l'expression)
re : Identité remarquable au cube, comment montrer...#msg887305#msg887305 Posté le 30-01-07 à 19:53
Posté par ProfilStephmo Stephmo

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
-----------------------
a3-b3=(a-b)(a+b)(a+b) t'es d'accord ?

a3-b3=(a-b)(a+b)2
a3-b3=(a-b)(a2+2ab+b2) tu comprends pourquoi ?

Steph
re : Identité remarquable au cube, comment#msg887319#msg887319 Posté le 30-01-07 à 20:00
Posté par Profiljacqlouis jacqlouis

    Casio, fais donc ce que je te dis, et ne te casse pas la tête avec des discussions sans fin ...
re : Identité remarquable au cube, comment montrer...#msg887362#msg887362 Posté le 30-01-07 à 20:14
Posté par Profilcasiofx casiofx

Je commence à mieux comprendre Stephmo !
Merci pour ces explications !

énoncé : a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

Donc quels que soient les nombres a et b : a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
car a3-b3=(a-b)(a+b)2

Prenant par exemple a=5 et b=2 :

=> a3-b3 =(a-b)(a2+ab+b2)
=> a3-b3 =(a-b)(a+b)2
=> 5 au3 - 2 au3 = (5-3)(5-3)²
=> 117 = ...pourtant sa ne marche pas, oublier tel que chose ?

--------------------------
Merci jacqlouis !
mais je comprend encore moins ta méthode,
re : Identité remarquable au cube, comment#msg887505#msg887505 Posté le 30-01-07 à 21:11
Posté par Profiljacqlouis jacqlouis

    Je ne connais pas ton niveau, et j'ai voulu te montrer que c'était plus simple de faire ce calcul :
       a*(² + ab + b²) - b*(a² + ab +b²)
plutôt que de se lancer dans :
       ( a - b)*(a² + ab + b²)     ... ce qui est exactement la même chose, mais qui parait plus compliqué!
    
    Ce n'est pas une méthode, ce n'est qu'une simplification. Si tu ne comprends pas, je m'étonne ...
re : Identité remarquable au cube, comment montrer...#msg887631#msg887631 Posté le 30-01-07 à 21:49
Posté par Profilcasiofx casiofx

Ce qui te parais plus compliqué me parait plus simple,
Je vous remercie vraiment pour vos réponse, merci jacqlouis d'avoir persévérer !
re : Identité remarquable au cube, comment montrer#msg887863#msg887863 Posté le 30-01-07 à 23:09
Posté par Profiljacqlouis jacqlouis

     Ce n'est pas à moi que ce calcul parait plus compliqué , (tu veux rire!), mais je pense qu'il pourrait paraitre difficile au pauvre élève qui patauge devant un tel calcul !...
re : Identité remarquable au cube, comment montrer...#msg888274#msg888274 Posté le 31-01-07 à 12:46
Posté par Profilcasiofx casiofx

Merci, mais je sais effectuer ce calcul, la n'est pas le problème (a l'aide par exemple des identités remarquable), je ne s'avais pas comment prouver que quels que soit le nombre a et b cette "formule" étais correcte
re : Identité remarquable au cube, comment montrer...#msg2717626#msg2717626 Posté le 17-11-09 à 17:51
Posté par ProfilMov Mov

Bonjour !
J'ai pas trop compris votre solution...
En fait j'ai fais :
(ab)(a2-ab+b2)= a3-a2b-ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3

Mais j'arrive pas le retrouver dans l'autre sens.
Pourquoi a3-b3 =(a-b)(a+b)2 ? et pourquoi (a+b)2= a2-ab+b2 et pas a2-2ab+b2 ?
re : Identité remarquable au cube, comment montrer...#msg2717667#msg2717667 Posté le 17-11-09 à 18:12
Posté par Profiljacqlouis jacqlouis

   Bonjour .    Parce que , sur le modèle  :
       (a+b)² = (a+b)*(a+b) = a² +ab + ba + b² =  a² + 2*ab + b²

Citation :
Mais j'arrive pas le retrouver dans l'autre sens.
Pourquoi a3-b3 =(a-b)(a+b)2 ? et pourquoi (a+b)2= a2-ab+b2 et pas a2-2ab+b2 ?


Parce que , encore une fois (comme je l'ai dit il y a bientôt Trois ans , on a :       ( a + b )²  =  a² + 2*ab + b²  et NON    a² + ab + b²
  et :    ( a - b )²  =  a² - 2*ab + b²  et NON    a² - ab + b²
re : Identité remarquable au cube, comment montrer...#msg2718061#msg2718061 Posté le 17-11-09 à 20:25
Posté par ProfilMov Mov

Ah d'accord

Merci
re : Identité remarquable au cube, comment montrer...#msg3369795#msg3369795 Posté le 25-12-10 à 17:43
Posté par ProfilYuriku Yuriku

Pour partir de a³-b³ et arriver au résultat final sans l'utiliser il suffit d'appliquer une petite astuce qu'on utilise très souvent en math, du style +1 - 1 qui ne change rien au résultat mais qui permet de faire des mises en évidence très pratiques, nottemment dans ce cas ci. On peut tomber sur pas mal de trucs mais ils sont toujours justes. Dans ce cas ci c'est plutôt simple:

a³-b³ = a².a-b².b+ab²-ab²+a²b-a²b   => l'égalité est vérifiée
on met en évidence a et b en utilisant les termes ajoutés:
1) a.a²+ab²+a²b = a(a²+b²+ab)
2) -b.b²-ab²-a²b = -b(b²+ab+a²)
on remplace dans l'expression de départ:
a³-b³ = a(a²+b²+ab) - b(b²+ab+a²)   => on voit qu'on a encore un terme que l'on peut mettre en évidence
a³-b³ = (a²+ab+b²).(a-b)            => et voilà on a notre expression finale

PS: J'ai vu plus haut dans ce topic quelqu'un qui disait:
a³-b³ = (a+b)(a-b)(a+b) <=> a³-b³ = (a+b)²(a-b)
Il faut savoir que cette égalité est fausse!
En effet: (a+b)²(a-b) = (a²+2ab+b²)(a-b) = a³-a²b+2a²b-2ab²+ab²-b³ = a³+a²b-ab²-b³
Et les termes ici "en trop" ne peuvent se simplifier sans donner à a et b des valeurs qui le permettraient.

Une bonne fin d'année à tous!

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