polynome parametre a pour que P(x) soit divisible par T(x)

Posté par ostap (invité)

bonjour, j'ai un petit soucis avec un exercice, toute aide sera
très apprecié:
ex.
Déterminer le paramètre a pour que P(x) soit divisible par T(x)
P(x) = x⁴ + 2x³ + ax² + 6x - 3
T(x) = x² + 3
Si vous pouriez me l'expliquer avec le schema de Horner ce serai
très sympa.  
Merci beaucoup
Ostap

Posté par Guillaume (invité)

je sais pas ce qu'est horner!
moi je commencerai la division:

P(x)=T(x)*Q(x) on sait, par les degrés que Q(x) est de la forme x²+bx+c

T(x)Q(x)=(x²+3)(x²+bx+c)=x4+bx3+(3+c)x²+3bx+2c
=x4+2x3+ax²+6x-3

il vient
b=2
a=3+c
6=3b
-3=2c
d'ou
b=2
c=-3/2
a=3+c=3/2

on a la valeur de a !
et au passage on  a effectué la division car on connait le diviseur:
Q(x)=x²+2x-3/2

Sauf erreur,
A+

Posté par ostap (invité)

merci Guillaume,
c'est bon j'ai compris le truc.

Posté par ostap (invité)

re-bonjour
tu sais Guillaume j'arrive pas a en faire un autre avec ta method.
tu peux m'aider?
meme chose: trouver a
P(x) = 3x⁴ + ax³ + 8x² - 2ax - 20  
T(x) = x - 2

Posté par Emma (invité)

Salut ostap !

La même méthode permet de conclure. Je me lance.
Je t'écris toute ma solution, mais...
Si tu arrives à ne pas tout lire (moi, je sais que, quand j'ai
une solution, je ne peux pas m'empêcher de la lire en entier,
alors... je ne te jetterais pas la première pierre ), je te conseille
de ne lire que les "titres" des étapes pour te guider, mais de
faire le reste seul...

Soit Q le polynôme cherché :

1. Déterminer le degré du polynome cherché :
deg(Q)=deg(P)-deg(T)=4-1=3

2. Choisir les inconnues et traduire l'hypothèse :
Donc on cherche b, c, d et e tels que
P=T*Q avec Q(X)=b*X^3+c*X^2+d*X+e
Pour tout X
T(X)*Q(X)=(X-2)*(b*X^3+c*X^2+d*X+e)
T(X)*Q(X)=b*X^4+(c-6)*X^3+(d-2c)*X^2+(e-2d)X-2e

3. Identifier les coefficients :
On a, pour tout X, P(X)=T(X)*Q(X)
Donc 3*X^4+a*X^3+8*X^2-2a*X-20=b*X^4+(c-6)*X^3+(d-2c)*X^2+(e-2d)X-2e
... donc en identifiant les coefficients...
-> coeff de X^4 : b=3
-> coeff de X^3 : (c-6)=a
-> coeff de X^2 : (d-2c)=8
-> coeff de X^1 : (e-2d)=-2a
-> coeff constant : (-2e)=-20

4. Résoudre le système obtenu :
Bref, e=10
d=(10+2a)/2 = 5+a
c=[(5+a)-8]/2 = (a-3)/2
c=a+6
b=3
D'une part, c=a+6, et d'autre part, c=(a-3)/2.
On en déduit que a=-15

Finalement, a=-15, b=3, c=-9, d=-10, e=10

4. Vérifier/Répondre au problème initial :
Si P est divisible par T, alors nécessairement, a=-15
Réciproquement, pour a=-15,  P(X)=3X^4 - 15X^3 + 8X^2 + 30X - 20 est bien divisible
par T(X)=X-2
car P(X)=T(X)*[3X^3-9X^2-10X+10]

Sauf erreur...

@++

Posté par Guillaume (invité)

...rien à redire.

lol
A+

Posté par ostap (invité)

merci beaucoup a vous, je crois que j'ai tout compris cette
fois.
bye