probleme avec une intégration par partie

Posté par catwoman-batman (invité)

aidez je n'arrive pas à resoudre ce probleme :
calculer l'intégrale a l'aide d'une integration par partie [pi/6]integrale[pi/3](dt/(cos^2t sint))

Posté par infophile infophile

Bonsoir ?

Posté par catwoman-batman (invité)

bonjour , pour mon probleme personne personne n'a trouvé une piste aidez moi SVP

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour

I = ln( racine( |(cosx - 1)/(cosx + 1) | ) ) + 1/cos(x) + C

I = -(ln(3(7-4V3))/2 + 2 - 2/V3

A vérifier

Posté par catwoman-batman (invité)

après beaucoup de recherche , je pense avoir trouver la solution :
I=?[pi/6;pi/3](dt/(cos^2(t)×sin(t)))

posons : u=1/(cos^2(t)×sin(t))          u?=-(-2sin^2(t)×cos(t)+cos^3(t))/(cos^2(t)×sin(t))^2
              v?=1                                     v=x


I=?x/(cos^2(t)×sin(t))?[pi/6;pi/3] +?[pi/6;pi/3](x((-2sin^2(t)×cos(t)+cos^3(t))/(cos^2(t)×sin(t)) dt

posons : J= ?[pi/6;pi/3] x(-2sin^2(t)cos(t)+cos^3(t))/(cos^2(t)×sin(t))^2 dt



             u=x                        u´=0
             v´=(-2sin^2(t)cos(t) + cos^3(t))/(cos^2(t)sin(t))^2      v=-1/(cos^2(t)sin(t))

donc J=?-x/(cos^2(t)sin(t))?[pi/6;pi/3]

finalement :  I=?x/(cos^2(t)sin(t))  -   x/(cos^2(t)sin(t))?[pi/6;pi/3]  =  0

A verifier

Posté par littleguy littleguy

Bonjour

Dans ta 2ème IPP, si u(x) = x alors u'(x)=1 (pas 0)

Posté par raymond raymond

Bonjour.



Posons :

Alors : .

L'intégration par parties donne alors :

.

Malheureusement, je ne sais pas si en terminale on sait que :



Je te laisse finir les calculs.

A plus RR.

Posté par littleguy littleguy

Bonjour Raymond

J'en étais au même point que toi, avec le même problème, car en Terminale en France, on n'est pas censé connaître cette primitive.

Posté par littleguy littleguy

On peut d'ailleurs retrouver ce résultat (incomplet) sans IPP en posant tout simplement sin²x+cos²x=1 dans l'intégrale initiale.

Posté par raymond raymond

Bonjour littleguy.

Il ne reste plus qu'à attendre la réponse de catwoman-batman pour savoir si elle (il) connaît ce résultat.

A plus RR.

Posté par J-P J-P

Pour une primitive de f(t) = 1/sin(t)

dt/sin(t) = [sin(t)/sin²(t)]dt = [sin(t)/(1-cos²(t))]dt = [sin(t)/((1-cos(t))(1+cos(t)))]dt

= (1/2).[sin(t)/(1-cos(t))] dt + (1/2).[sin(t)/(1+cos(t))] dt

et alors une primitive est immédiate: = (1/2).ln|1-cos(t)| - (1/2).ln|1+cos(t)|

Cela revient au même mais, je pense ne rien avoir utilisé de non vu en terminale.
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Sauf distraction.

Posté par raymond raymond

Bonjour JP.

C'est effectivement le procédé le plus proche de l'esprit du programme de terminale.
Maintenant, il est possible que le sujet de catwoman-batman comportait une ou plusiseurs questions antérieures faisant découvrir une primitive de 1/sinx.

A plus RR.