fonctions definies par des integrales

Posté par gfatty (invité)

Salut tout le monde,

j'ai un DM de maths a rendre bientot et je bloque sur une question.... Si quelqu'un veut m'aider j'en serais tres reconnaissante! Voici l'enonce de la question:

4. Determiner G'(x)pour tout x appartenant ]-/2;/2[ puis demontrer que pour tout reel x]-/2;/2[ que G(x)=-x+F(1) - /4

5. demontrer que de 0 a x de 1/(2t^2-2t+1)dt=/2

Il faut faire tout cela sachant que:
F(x)=de 0 a x de 1/(2t^2-2t+1)dt
G(x) definie sur le meme intervalle que sur q4
G(X)=F((1-tanx)/2)

On a egalement montre aux questions precedentes que: G(-/4)=F(1) et que G(/4)=0 (ca c'est moi qui l'ai trouvee)

ON nous a egalement fait etudier la fonction t(1-t) sur [0;1] et on avait vu que 0t(1-t)1/4

Pour la question 4. j'ai trouve G'(X)=-1.
Ensuite pour la 2eme question j'ai eu plusieurs idees mais aucune ne marche:
1. je pensais montrer que G'(x)= derivee de (-x+F(1)-/4... mais je ne pense pas que ca marche vue que 2 fonctions peuvent avoir la meme derivee sans etre egales non?
2. J'ai voulu former la fonction H(X)=G(x)+x-F(1)+(/4, montrer qu'elle est constante grace a la derivee puis montrer que H(x)=0. Mais je n'arrive pas a calculer H(0) a cause des integrales...
Aureiz-vous une idee??

Pour la 5 je ne sais pas vraiment comment faire....

Merci d'avance!!

Posté par veleda veleda

bonjour,
comme tu mélanges les reponses et les questions je ne sais pas exactement ce que tu as prouvé
le texte donne G(x)=F((1-tanx)/2)
pour calculer G'(x) tu utilises F(u)'=u'F'(u) avec u =(1-tanx)/2 et F'(u)=1/(2u²-2u+1) ça donne bien G'(x)=-1=>G(x)=-x+K pour déterminer K tu utilises G(-/4)=F((1+1)/2)=F(1)=-/4+K
d'où K
est ce ce que tu as fait?

5)la borne supèrieure de l'integrale est x???

Posté par veleda veleda

G(-/4)=F(1)=+K/4=>K=F(1)-/4 il y a une erreur de frappe dans mon post précédent j'ai tapé F(1)=-/4+K

Posté par gfatty (invité)

Merci beaucoup pour ta reponse qui me sauve la vie pour la question 4.
Je suis desolee si mon enonce n'a pas ete clair...
Pour la question 5, il s'agit de demontrer que l'integrale sur 0 a x de 1/(2t^2-2t+1)=/2...
Je ne sais pas trop comment faire.... Un petit coup de pouce serait le bien venu!
Merci encore une fois pour ton aide!

Posté par veleda veleda

dans la question 5 ça ne peut pas être l'ntégrale de 0 à x égale à /2  l'intégrale serait constante
peux-tu vérifier les bornes

Posté par gfatty (invité)

oooops excuses moi, tu as raison ce n'est pas x mais 1... desole....
D'ailleurs maintenant que je realise que c'est 1 et non x (typo dans le DM original du prof...) je vois qu'on pourrait remplacer x par /4 vu que c'est egale a 0 puis on remplace. Es-tu d'accord?
Merci d'avance!

Posté par veleda veleda

l'intégrale de 0 à 1 c'est F(1) mais l'on sait que pour -/2<x</2 G(x)=-x+F(1)-/4   et tu a montré que G(/4)=0
doc 0=-/4+F(1)-/4  d'où F(1)=/2
c'est ce que tu voulais faire ?

Posté par gfatty (invité)

Oui c'est ce que je voulais faire. Merci beaucoup pour ton aide.
J'ai une autre petite question si ca ne te derange pas:
Est-ce que si on a: k=1 a k=n de [2t(1-t)]^k= 1/(2t^2-2t+1) - 1 - [(2t(1-t))^(n+1)]/(2t^2-2t+1)
Alors integrale de 1/(2t^2-2t+1) - 1 - [(2t(1-t))^(n+1)]/(2t^2-2t+1)de 0 a 1 = k=1 a k=n de 2^k.I_{[/sub]k
Sachant que I[sub]}n= de 0 a 1 de t^n(1-t)^n??

Posté par veleda veleda

c'est assezdifficile à dechiffrer,je pense avoir compris à la fin c'est une somme de I_k
avec I_k=_{(de 0 à 1)}t^k(1-t)^kdt

Posté par veleda veleda

donc on peut intégrer comme tu le dis

Posté par gfatty (invité)

d'accord, merci beaucoup!!