Commandes LateX

Citation :
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}Exemple\\Essai\end{array}\right.$

Citation :
2.b)\;
7 peut s'écrire sous la forme $2^3-1$\\

Or 3 est un diviseur de 2004\\
Donc d'après 2.a) $2^3-1$ est un diviseur de $2^{2004}-1$\\

63 peut s'écrire sous la forme $2^6-1$\\
De la même manière, $2^3-1$ est un diviseur de $2^{2004}-1$\\

Si un nombre est divisible par 69 et par 7 alors il est divisible
par 9 car $7\times 9=63$ et 7 et 9 sont premiers entre eux.\\
$2^{2004}-1$ est donc divisible par 9\\


3.a)\;On sait que $m=dm'$ et $n=dn'$ et $PGCD(m;n)=d$\\
On en déduit que $PGCD(m';n')=1$\\
D'après le théorème de Bezout, il existe deux entiers relatifs v et w tels que
$um'+wn'=1$\\

$$um'+wn'=1\Leftrightarrow udm'+wdm'=d$$
$$um'+wn'=1\Leftrightarrow um-(-w)n=1$$

En posant $v=-w$, on retrouve la relation :

$$mu-nv=1$$

3.b)

$$(a^{mu}-1)-(a^{nv}-1)a^d$$$$a^{mu}-1-a^d\times
a^{mu}+a^d$$$$a^{mu}-a^{d-mu}-1+a^d$$$$a^{mu}-a^{mu}-1+a^d$$$$a^d-1$$\\

D'après 3.a) on en déduit que $a^d-1$ est le PGCD de $a^{mu}-1$ et
de $a^{nv}-1$ avec $u=1$ et $v=a^d-1$\\

3.c)\;\;D'après 3.a) d=mu-nv\\Or $mu=63$ et $nv=60$ donc $d=3$\\

Le PGCD de $2^{63}-1$ et de $2^{60}-1$ est $2^"-1$ soit $7$\\
$$PGCD(2^{63}-1;2^{60}-1)=7$$\\\\

Citation :

    Phrase
Phrase

Citation :
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\begin{document}
\begin{enumerate}
\item chose
\item \begin{enumerate}[a.]
        \item chose
        \item 7 peut s'écrire sous la forme $2^3-1$.\\
Or 3 est un diviseur de 2004\\
Donc d'après 2.a. $2^3-1$ est un diviseur de $2^{2004}-1$\\

63 peut s'écrire sous la forme $2^6-1$\\
De la même manière, $2^3-1$ est un diviseur de $2^{2004}-1$\\

Si un nombre est divisible par 69 et par 7 alors il est divisible
par 9 car $7\times 9=63$ et 7 et 9 sont premiers entre eux.\\
$2^{2004}-1$ est donc divisible par 9

      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a.]
        \item On sait que $m=dm'$ et $n=dn'$ et $PGCD(m;n)=d$\\
On en déduit que $PGCD(m';n')=1$\\
D'après le théorème de Bezout, il existe deux entiers relatifs v et
w tels que $um'+wn'=1$ donc
$$\begin{array}{rcl}
  um'+wn'=1 & \Leftrightarrow & udm'+wdm'=d \\
   & \Leftrightarrow & um-(-w)n=1 \\
\end{array}$$

En posant $v=-w$, on retrouve la relation :
$$mu-nv=1$$
        \item
$$\begin{array}{c}
  (a^{mu}-1)-(a^{nv}-1)a^d \\
  a^{mu}-1-a^d\times
a^{mu}+a^d \\
  a^{mu}-a^{d-mu}-1+a^d \\
  a^{mu}-a^{mu}-1+a^d \\
  a^d-1
\end{array}$$
D'après 3.a. on en déduit que $a^d-1$ est le PGCD de $a^{mu}-1$ et
de $a^{nv}-1$ avec $u=1$ et $v=a^d-1$
        \item D'après 3.a. d=mu-nv. Or $mu=63$ et $nv=60$ donc $d=3$\\
Le PGCD de $2^{63}-1$ et de $2^{60}-1$ est $2^"-1$ soit $7$
$$PGCD(2^{63}-1;2^{60}-1)=7$$

      \end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}