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géométrie intéressante

Posté par
Justin
11-02-07 à 12:18

Bonjour! Avez-vous des pistes pour ce problème?

Un cercle de rayon r est inscrit dans le quadrilatère ABCD. Il touche [AB] au point P et [CD] au point Q. AP=19, PB=26, CQ=37 et QD=23. Trouvez r.

Merci!

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
Re : géométrie intéressante. 11-02-07 à 15:54

Bonjour ;
Un dessin peut toujours servir

Re : géométrie intéressante.

Posté par
Justin
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 12:34

Merci pour le dessin! Je reposterais si je trouve une solution.

Posté par
Justin
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 13:19

En fait, si je connaissais l'aire de ABCD c'est fini mais:

1) Comment trouver l'aire?
2) Il doit y avoir une solution plus élégante.

Posté par
infophile
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 14:02

Bonjour

Sympa ce problème.

Posté par
Justin
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 14:03

Ouais, tu cogites avec nous ?

Posté par
infophile
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 14:15

Oui moi et Skops on en discute sur msn

D'ailleurs je t'avais ajouté il me semble

Posté par
infophile
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 14:38

Attention les yeux, pour l'angle (\vec{OC},\vec{OB})=a avec O le centre du cercle inscrit je trouve :

\fbox{a=\arccos\(\frac{CB^2-BF^2-2r^2-CF^2}{\sqrt{(r^2+CF^2)(r^2+BF^2)}}\)}

le bon truc qui sert à rien !

Posté par
infophile
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 14:49

Justin > Pour l'aire de ABCD il faut laisser tomber, on ne peut pas la déterminer en connaissant seulement les longueurs des côtés.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : géométrie intéressante. 12-02-07 à 17:39

Juste une idée:
Comme la somme des angles d'un quadrilatère vaut 2\pi on voit que \fbox{\alpha+\beta+\gamma+\delta=\pi} et ainsi par exemple \alpha , \beta et \gamma+\delta sont les mesures des angles d'un triangle et il est alors connu que 3$\blue\fbox{tan(\alpha)+tan(\beta)+tan(\gamma+\delta)=tan(\alpha).tan(\beta).tan(\gamma+\delta)} si je ne me trompe ceci doit pouvoir permettre de calculer r

géométrie intéressante.

Posté par
infophile
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 18:17

Bonjour

En utilisant la formule d'elhor je trouve : 4$\fbox{r=\frac{\sqrt{13 853}}{7}\approx 16,81}

A vérifier

Posté par
veleda
re:géométrie intéressante 12-02-07 à 18:18

bonjour
c'est intéressant mais je cherche et je sèche
si on se donne un cercle de rayon quelconque ,on prend un point P sur le cercle on trace la tangente en P au cercle,sur cette tangente on peut placer les points A et B,par A et B mener les tangentes AE et BF donc on peut placer C et D et c'est sans doute la condition CD tangente au cercle qui va nous permettre
de trouver r mais j'abandonne pour l'instant
pourquoi donne-t-on des valeurs numériques pour les longueurs des tangentes avec x,y,z,t le problème me semble le même

Posté par
infophile
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 18:20

Bonjour veleda

Je pense qu'ehlor répond à la question, du moins la calculette fournit un résultat

Posté par
veleda
re:géometrie intéressante 12-02-07 à 18:23

bravo,je n'avais pas vu la formule mon ordinateur était ouvert à la 'page réponse' depuis longtemps

Posté par
infophile
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 18:26

Oui bravo ehlor

Je ne connaissais pas cette formule

Posté par
veleda
re:géométrie intéressante 12-02-07 à 18:28

la valeur de r n'est pas trés jolie ,je pensais que peut être les valeurs numériques étaient choisies pour que "ça tombe bien" ça n'a pas l'air d'être le cas

Posté par
infophile
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 18:28

veleda > J'ai pu me tromper dans les calculs

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : géométrie intéressante. 12-02-07 à 18:58

Avec Maple je trouve 4$\red\fbox{r=\sqrt{647} \approx 25.43619468} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
infophile
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 19:24

Je mets le détail du calcul :

4$ \fbox{tan(\alpha)=\frac{r}{PA}=\frac{r}{19}\\tan(\beta)=\frac{r}{BF}=\frac{r}{26}\\tan(\gamma +\delta)=\frac{tan(\gamma)+tan(\delta)}{1-tan(\gamma)tan(\delta)}=\frac{\frac{r}{37}+\frac{r}{23}}{1-\frac{r^2}{37\times 23}}

Donc en suite j'ai demandé à ma calculette de résoudre :

4$ \fbox{tan(\alpha)+tan(\beta)+tan(\gamm +\delta)=tan(\alpha).tan(\beta).tan(\gamma +\delta)\\\Leftright \frac{r}{19}+\frac{r}{26}+\frac{\frac{r}{37}+\frac{r}{23}}{1-\frac{r^2}{37\times 23}}=(\frac{r}{19}).(\frac{r}{26}).\(\frac{\frac{r}{37}+\frac{r}{23}}{1-\frac{r^2}{37\times 23}\)

Et effectivement je viens de retaper la formule je trouve aussi 5$ \blue \fbox{r=\sqrt{647}}.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : géométrie intéressante. 12-02-07 à 20:18

Merci infophile ;
Cette formule est assez facile à vérifier dans tout triangle non rectangle et on a même une réciproque c'est à dire dés que trois réels positifs a , b et c vérifient \fbox{a+b+c=abc} alors ils peuvent être interprétés comme les tangentes des angles d'un triangle non rectangle (sauf erreur bien entendu)

Posté par
infophile
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 21:25

J'essaye de vérifier la formule

4$ \{tan(C)=\frac{AD}{DC}=\frac{BE}{EC}\\tan(B)=\frac{AD}{BD}=\frac{CF}{BF}\\tan(A)=\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{AD}

Donc si je calcules :

4$ tan(A).tan(B).tan(C)=\frac{AD}{DC}\times \frac{AD}{BD}\times \frac{BD}{AD}=\frac{AD\times AD\times BD}{DC\times BD\times AD}=\frac{AD}{DC}

Donc si on a bien l'égalité : 4$ tan(A)+tan(B)+tan(C)=tan(A).tan(B).tan(C) alors :

4$ tan(B)+tan(A)=0

Une idée ?

géométrie intéressante

Posté par
infophile
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 21:31

Ah non au temps pour moi je me suis trompé d'angle...

Je recommence

Posté par
infophile
re : géométrie intéressante 12-02-07 à 21:43

Bon j'ai repris les bons angles mais je n'y arrive pas quand même, ça me paraît pourtant simple...

tan(A)=BE/AE=FC/AF
tan(B)=AD/BD=FC/FB
tan(C)=AD/DC=BE/EC

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : géométrie intéressante. 13-02-07 à 01:13

Pour établir cette formule je pense qu'il est plus facile d'utiliser les formules de transformation:
On écrit \fbox{C=\pi-(A+B)} et donc \fbox{tan(C)=-tan(A+B)=-\frac{tan(A)+tan(B)}{1-tan(A).tan(B)}}

Posté par
infophile
re : géométrie intéressante 13-02-07 à 01:15

Ah oui bien vu

Merci pour tout ehlor

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : géométrie intéressante. 13-02-07 à 01:22

Il y'a un problème l'écriture en latex ne s'affiche pas
On écrit C = \pi - (A+B) et donc -tan(C)=tan(A+B)=(tan(A)+tan(B))/(1-tan(A)tan(B)) c'est à dire -tan(C)(1-tan(A)tan(B))=tan(A)+tan(B) d'où le résultat

Posté par
kaiser Moderateur
re : géométrie intéressante 13-02-07 à 01:24

Bonsoir à tous

elhor> je me suis occupé de ton problème !
En fait, tu avais écrit [\tex] au lieu de [/tex].

Kaiser

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : géométrie intéressante. 13-02-07 à 01:29

Merci kaiser mais j'ai toujours le même problème les phrases latex ne s'affichent pas ni dans la prévisualisation ni les posts

Posté par
kaiser Moderateur
re : géométrie intéressante 13-02-07 à 01:31

ah tiens c'est louche ça !
À part un problème de balise, je ne vois pas d'où cela peut venir !

Kaiser

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : géométrie intéressante. 13-02-07 à 01:39

On écrit C = \pi - (A+B) et donc -tan(C)=tan(A+B)=(tan(A)+tan(B))/(1-tan(A)tan(B)) c'est à dire -tan(C)(1-tan(A)tan(B))=tan(A)+tan(B) d'où le résultat

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : géométrie intéressante. 13-02-07 à 01:41

Je ne comprends pas ce qui se passe peut être que je devrais redémarrer mon PC ou plutôt aller me coucher

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : géométrie intéressante. 13-02-07 à 01:42

Ah ! je crois que ça va maintenant

Posté par
lafol Moderateur
re : géométrie intéressante 13-02-07 à 10:14

J'ai eu le même problème : je suivais ce topic qui m'intéresse, et dans le message d'elhor du 12 à 17:39, je ne voyais pas les formules ! (du coup j'ai arrêté de regarder hier), ce matin, tout est rentré dans l'ordre

Posté par tiloui (invité)valeur approchée et valeurs comparables 14-02-07 à 20:17

Bonsoir !
Je n'arrive pas à résoudre mon problème :
je construis un triangle Ab = 5 cms  AC = 8 cms BC = 10 cms
je trace les trois hauteurs de ce triangle
puis en mesurant la hauteur issue du point A je dois déterminer une valeur approchée du triangle ABC

et vérifier que l'on trouve des valeurs comparables en calculant cette aire à partir des hauteurs issues du point B et du point C

Quel est le calcul pour déterminer la valeur approchée de ABC ?
comment trouver les valeurs comparables ?

Je n'avance pas, merci de m'aider !
Gilles

Posté par
veleda
valeur approchée et valeurs comparables 14-02-07 à 22:11

bonsoir
il y a eu une erreur d'aiguillage pour ton post
tu traces la hauteur AA' issue de A tu mesures AA' aire ABC=BC*AA'/2  tu connais tout où est le problème?
même chose avec les deux autres hauteurs



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