DEFI 136 : La trisection du carré.

Posté par minkus minkus

Bonjour,

Un grand origamiste souhaite partager un carré en trois rectangles semblables - c'est-à-dire dont le rapport de la largeur à la longueur est le même - mais pas forcément identiques. Bien entendu le "découpage" doit être parfait et il ne doit pas y avoir de chute. Les trois rectangles doivent donc être trois pièces de puzzle permettant de reconstituer le carré.

Et PAN !




Une solution triviale est de partager un côté du carré en 3 afin d'obtenir 3 rectangles de longueur 1 et de largeur 1/3.

Mais existe-t-il d'autres découpages ?

Si vous pensez qu'il n'en existe aucun, vous répondrez « Problème impossible. »

Si vous pensez au contraire que cela est possible, vous indiquerez combien il existe de tels découpages et pour chacun d'entre eux vous donnerez le rapport de la largeur à la longueur des rectangles obtenus. Et en cas de besoin, vous pourrez donner une valeur approchée au centième de ce rapport.

Bonne réflexion.

minkus

Posté par smil smil

je pense que le problème est impossible

Posté par jamo jamo

Bonjour,

voici une solution :

Le carré a pour côté 1, le rectangle 2 a pour largeur x, donc le rectangle 1 a pour largeur (1-x).

Le rapport de la largeur sur le longueur des rectangles doit etre égal à (1-x).

La longueur du rectangle 2 est donc égale à x/(1-x).

Donc, le rectangle 3 a pour largeur 1-x/(1-x)=(1-2x)/(1-x).

Le rapport de la longueur sur la largeur pour le rectangle 3 qui doit être égal à (1-x)
conduit à l'équation : (1-2x)=x*(1-x)².

Cette équation a une solution unique : x 0,430....

Le rapport des dimensions des rectangles cherchés est donc égal à 1-0,430 0,57.

Je n'ai pas trouvé d'autres dispositions de rectangles ...

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Dans la trisection, au moins un côté d'un rectangle est un côté du carré.
Soit AE=x et DG=y

1er cas : EH<ED
On a :
x/1 = y/(1-x)=(1-x)/(1-y)
Soit le système de deux équations :
x(1-x) = y
1-y = (1-x)/x = (1/x)-1

Le système devient :
x-x² = 2-1/x
y=2-1/x
ou
x³-x²+2x-1=0
y=2-1/x

On obtient x=0,56984 et y=0,24512
Le rapport de la largeur sur la longueur des 3 rectangles est donc égal à x= 0,57 (au centième près).

2ème cas : EH>ED
On a :
x/1 = (1-x)/y= (1-x)/(1-y)
Soit le système de deux équations :
(1-x)/x = y
1-y = y

ce qui donne y=1/2 et 1/x -1 = 1/2,soit x=2/3
Le rapport de la largeur sur la longueur des 3 rectangles est donc égal à x= 0,67 (au centième près).

Il existe donc deux découpages répondant à l'énoncé.

Posté par nobody (invité)

Bonjour,

je trouve qu'il y 2 autres façons de découper le carré en 3 rectangles :
* Rapport 2/3 (0.67). A partir de la solution triviale, on fusionne 2 rectangles voisins et sépare le 3° en 2 rectangles égaux.
* Rapport 0.57. Même "disposition" que la 1° solution, mais on "tourne" l'un des petits rectangles. Le rapport devient alors solution de qui n'a qu'une seule solution réelle (0.569840...)

Posté par Eric1 Eric1

Il doit forcément y avoir un trait complet parallele à un bord. Après, l'autre trait peut être soit parallele, soit perpendiculaire.
autres solutions:

1) rectangle de largeur 1/2 et de longueur racine2/2.
On a deux rectangles l'un en dessous de l'autre, orienté horizontalement, et un verticalement.
Donc rapport longueur sur largeur=3/2

2) 3 rectangles dans le meme sens, deux petits, un grand
(1/2)->x
1->1-x
Donc rapport longueur sur largeur=3/2


3) 3 rectangles de taille différente:
Ici je n'ai pas trop le temps de trouver la valeur exacte
x racine de -x^3+x^2-2x+1 soit environ 0,56985
rapport longueurlargeur=1/x
Donc le rapport est a peu près égal à 1,755.

J'en ai pas trouvé d'autres

Posté par Eric1 Eric1

la faute de frappe (merci copier-coller) le rapport de racine(2)/2 par 1/2  ca fait racine(2)

sinon,  je joins les shemas, pas tres beaux

Posté par Youpi Youpi

Bonjour

je trouve deux autres découpages possibles (voir figures ci dessous)

pour le premier le rapport largeur/longueur vaut

pour le second c'est un peu moins simple le rapport largeur longueur est en fait la seule solution réelle de l'équation qui est une racine pas du tout évidente et dont la valeur exacte est :     (merci Maple...)

heureusement pour nous tu demandes une valeur arrondie au centième et je propose alors

J'avais trouvé ce résultat par tâtonnement avec un logiciel de géométrie, mais j'ai préféré valider quand même par le calcul.

Posté par smil smil

encore une fois, j'ai répondu trop vite
je trouve maintenant une solution avec un rapport l/L = 0,57 (environ)

Posté par kiko21 kiko21

Bonsoir,

je pense qu'il existe 2 découpages possibles (en plus de la solution triviale énoncée) :

Je n'ai pas trouvé la valeur exacte pour la deuxième solution, mais ce n'est pas un rectangle d'or...

Merci et à+, KiKo21.

Posté par chaudrack chaudrack

Bonsoir à tous.

Je trouve deux autres solutions pour ce problème:

Si on décide de ne pas diviser le carré initial en trois rectangles identiques, alors 1 de ces rectangles devra necessairement avoir une longueur de 1.

Reste alors deux solutions de positionnement des deux autres rectangles:

Ou les deux rectangles sont positionnés dans le même sens
Ou les deux rectangles sont positionnés dans un sens différents



Cas n°1:

On voit alors que dans ce cas, on trouve l'equation suivante:

2(x-1)=1 soit x = 1.5

Dans ce cas le rapport P tel que P = longueur sur largeur = 1.5

Cas n°2:

Dans celui-ci, une simplification des données donnent l'équation suivante:

x³ - 2x² + x - 1 = 0

Par excelisation (je ne sais pas résoudre autrement!), je trouve à peu près x=1.75488

Dans ce cas le rapport P tel que P = longueur sur largeur vaut environ 1.75488

Je ne pense pas qu'il y ait d'autres solutions, je l'espère en tout cas (le poisson n'est peut-etre pas loin)

Merci pour cette énigme

PS: Minkus, tu veux le rapport de la largeur à la longueur, je ne sais pas si ce que j'ai répondu te convient, alors on peut aussi dire que dans le cas 1, la largeur vaut 2 tiers de la longeur, et dans le cas 2, la largeur vaut environ 0.57 fois la longueur

@ plus, chaudrack

Posté par purdy purdy



Bonsoir, je ne trouve qu'un seul autre découpage, avec  2 rectangles accolés,occupant à eux deux le premier tiers du carré,chacun  de largeur 1/3 et longueur 1/2
et le troisième rectangle occupant la surface restantedu carré, donc de largeur 2/3 et longueur 1

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

encore une énigme interessante !

Je ne vois que autres découpages possibles (en écartant le cas trivial).

Premier cas:
Deux rectangles identiques


En posant x le côté du carré et y la largeur du grand rectangle, on a:
x=ky
x/2=k(x-y)
d'où k=3/2 ^{(rapport de la largeur à la longueur)}

Second cas:
Trois rectangles semblables mais distincts


En posant x le côté du carré, y la largeur du grand rectangle et z la longueur du rectangle moyen, on a:
x=ky
z=k(x-y)
x-y=k(x-z)
d'où k solution de l'équation
On obtient alors une valeur approchée au centième k 1,75 (1,754877666) ^{(rapport de la largeur à la longueur)}

Merci pour l'énigme.

Posté par plumemeteore plumemeteore

il y a deux solutions en dehors de l'exemple
dans la première, le rapport est 0,67 (2/3 arrondi)
dans la deuxième le rapport est 0,57 (arrondi d'une racine de l'équation x³-x²+x-1 = 0)

on ne peut pas découper trois triangles semblabes dans le même sens sans qu'ils soient égaux, étant donné que leurs plus grands côtés sont égaux (au côté du carré)
il reste la division du carré en deux rectangles dans un sens et la division d'un de ces rectangles en deux autres dans l'autre sens
soient 1 la mesure du côté du carré a la largeur du premier rectangle et b le plus grand des deux segments de sa longueur qui sont aussi côtés d'un des deux autres rectangles
les dimensions des rectangles sont donc a*1; (1-a)*b; (1-b)(1*a)
premier cas : les segments b et 1-b sont égaux et sont les plus grands côtés de leurs rectangles
a = (1-a)/(1/2) = 2(1-a) = 2-2a; 3a = 2; a = 2/3
deuxième cas : les segments b et 1-b sont égaux et sont les plus petits côtés de leurs rectangles
a = (1/2)(1-a); a-a² = 1/2
si a est compris entre 0 et 1, il doit donc être égal à 0.5, mais alors a² >= 0.25; a >=0.75; a² >= 0.5625; a > 1; le cas est impossible
troisième cas : b et 1-b sont inégaux
a = (1-a)/b = (1-b)/(1-a)
b = (1-a)/a
b-b² = (1-a)² = (1-a)/a - (1-a)²/a²
en divisant par 1-a : 1-a = 1/a - (1-a)/a²
en multipliant par a² : a²-a³  = a-1+a; a³-a²+2a-1 = 0, dont on peut trouver une racine par le menu valeur cible du tableur
la dérivée de la fonction est 3a²-2a+2, qui n'a pas de zéro entre 0 et 1 : on est donc assuré que 0,57 (arrondi) est la solution unique

Posté par caylus caylus

Bonjour Minkus,

Soit k=largeur/longueur

En plus de la solution triviale,
on trouve trois types de découpages

un type dont k=2/3=0,66...

deux types dont k=1/6*[(12V69+44)^(1/3)+(12V69-44)^(1/3)+2]=0,5698402909=0,56...

Posté par caylus caylus

Explications:
x1=1
y1=1/q car x1/y1=q les x sont les longueurs, les y les largeurs.


a=1-y1=1-1/q
b=.
c=1-b
d=a=1-1/q

x1.y1+x2.y2+x3.y3=1
1.1/q+a.b+c.d
=1/q+(1-1/q).b+(1-b)(1-1/q)
=1/q+b-b/q+1-b-1/q+b/q
=1 (donc vérifié)

On a donc:
a=x2                       ou a=y2
b=y2                          b=x2

c=x3       ou   c=y3          c=x3       ou  c=y3
d=y3            d=x3          d=y3           d=x3

Ainsi 4 cas possibles:

1)
q=a/b=(1-1/q)/b =>b=(q-1)/q²
q=c/d=(1-b)/(1-1/q)=> q³-2q²+q-1=0 dont l'unique solution réelle est q=1,754877666...
Dès lors:
x1=1,y1=1/q=0,569840...
a/b=x2/y2=q
c/d=x3/y3=q

Convient q=1,75...

2)
q=a/b=>b=(q-1)/q²
q=d/c=(1-1/q)/(1-b)=>b=(q²-q+1)/q²
=>q²-2q+2=0 delta<0 à rejeter.


3)
q=b/a=b/(1-1/q)=>b=q-1
q=c/d=(1-b)/(1-1/q)=>b=2-q
=> q=3/2

a=1/3
b=1/2
c=1/2
d=1/3
q=1,50 qui convient

4)
On retombe sur la même equation q³-2q²+q-1=0 de sol 1,1754877666...
qui convient

En résumé:

3 configurations possibles avec 2 rapports largeur/longueur=1/q=0,56 par défaut et 0,66 par défaut.

Posté par geo3 geo3

Bonjour
Je pense qu'il existe 3 découpages dont 2 ont le même rapport largeur/longueur et donc en définitive 2 rapports largeur/longueur différents qui sont



valeurs approchées par défaut au centième
(en fait 0,569840... et  2/3 = 0,66666...)
A+

Posté par lo5707 lo5707

Bonjour,

à première vue je dirais qu'il n'y a pas de solution.

Raisonnement:

Si les 3 rectanges sont "couchés" (ou 3 "debouts", c'est pareil), ils ont même longueur, donc pour être semblables ils doivent être identiques et donc avoir même largeur, càd 1/3.
-> cas trivial cité en exemple.

sinon, il y en aurait un "couché" et 2 "debouts" (ou le contraire) (voir dessin)
les rectangles B et C ont même longueur (appelons-là x), donc pour être semblables ils doivent être identiques et avoir même largeur, càd 1/2



Le rectangle A a une longueur de 1 et une largeur de 1-x
Le rectangle B a une longueur de x et une largeur de 1/2

on doit donc avoir (1-x)*x = 1/2
càd x²-x+1/2 = 0
qui a un discriminant négatif (-1) donc pas de solutions

ma réponse est donc: il n'y a pas d'autre solution

merci pour l'énigme

Posté par piepalm piepalm

L'un des rectangles a obligatoirement pour grand coté le coté du carré, de longueur unité. Soit x son petit coté. Les deux autres rectangles forment alors le rectangle complémentaire, de grand coté 1, et de petit coté 1-x.
Pour découper en deux rectangles ce rectangle, deux possibilités:
soit les rectangles sont égaux et ont pour grand coté 1/2 et pour petit coté 1-x. Il suffit alors d'écrire la proportionnalité, soit  x/(1-x)=2 soit x=2/3=0,6667...
soit 1-x est le petit coté du plus grand et le grand coté du petit, donc si le grand coté du plus grand est y: (1-x)^2=y(1-y) et xy=1-x soit
x^3-x^2+2x-1=0 donc x=0,5698...

Posté par Teebo (invité)

Bonjour,

Bon en dehors de la solution évidente énoncée dans l'énoncé, les autres sont sous cette forme:
(voir image en bas? bon il y a un truc que je ne saisis pas...)


Pour étudier le rapport \frac{l}{L} il nous faut savoir quelle est la plus grande quantité à chaque fois.

Dans le rectangle vert
Là, pas de doute, donc

Dans le rectangle bleu
Deux cas possible:
    
Nous en déduisons donc que

Etudions le sous cas du rectangle rouge
Si nous nous retrouvons avec
Nous avons donc
Cette équation admet une racine dans l'intervalle [0,1], de manière graphique (oui bon, c'est pas glorieux, et alors? ) on trouve que


Si nous nous retrouvons avec
Nous avons donc qui n'admet pas de solution dans  
__________________________________________________

    
Nous en déduisons donc que

Etudions le sous cas du rectangle rouge
Si nous nous retrouvons avec
Nous avons donc

Si nous nous retrouvons avec
Nous avons donc . (Logique, nous avons juste interverti y et 1-y par rapport au premier sous cas du premier cas...)

En dehors des permutations / symétries / rotations imaginables à partir de ma figure, nous avons donc les deux cas suivants pour x:

(les valeurs décimales sont des valeurs approchées)


Les solutions sous forme graphique (enfin 2 parce que limite du nombre d'images )
(sous le message)
Merci pour cette énigme Et pas d'inquiètude, je ne ferais pas le détail tous les jours

Posté par evariste evariste

2 autres solutions avec pour rapport de la largeur à la longueur : 0,57 et 0,67

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

seule solution non triviale: 2 rectanges de dimensions c/2 x c/3 et un de dimensions c x 2c/3 (c étant le côté du carré).

Rapport largeur/longueur = 2/3

A+,
gloubi
-

Posté par cocotruc cocotruc

Bonjour,

Une solution est : le rapport largeur/longueur est égal à 2/3

C'est le cas particulier avec deux rectangles identiques (largeur 1/3 longueur 1/2) et un troisième semblable (largeur 2/3 longueur 1).

Je subodore, je suppute, je suppose, qu'il existe d'autres solutions mais je capitule. Pour une des mes premières énigmes, et en tout cas mon premier mois de participation, c'est hard pour moi!!! Et puis, ma petite famille attend que je m'occupe d'elle!!! Alors merci pour ces quelques heures de surchauffe de mes neurones, et désolée!

Posté par Nyavlys Nyavlys

Bonjour,

J'ai trouvé deux solutions à ce problème :
Supposons le carré de côté 1.

- en découpant un premier rectangle de dimensions 1 et 2/3, puis le restant en deux moitiés identiques (1/2 ; 1/3)
      ==> RAPPORT l/L = 2/3


OU

- en découpant un premier rectangle de dimensions 1 et 0,5692 (valeur approchée) , un deuxième de dimensions (0,7558 ; 0,4302 ) et le restant (0,4302 ; 0,2442)
      ==> RAPPORT l/L = 0,5692

on obtient 3 rectangles semblables.

Les valeurs approchées de la deuxième solution proviennent d'une résolution numérique d'une équation de degré 3.

Posté par geff (invité)

probleme impossible

Posté par jouddy (invité)

Il y a, je crois, deux solutions.

La première fait intervenir deux rectangles isométriques de cotés 1/2 sur 1/3 plus un troisième deux fois plus grands. Elle est assez triviale.
Le rapport largeur/longueur s'écrit alors 2/3 :

0.666

La deuxième fait intervenir trois rectangles différents et une équation que je n'ai pas pu résoudre analytiquement.
Je donne la valeur approchée du même rapport :

0.57

Posté par Mahow Mahow

Problème impossible

Posté par matthieu73 matthieu73

Problème impossible

Posté par pi12 (invité)

problème impossible

Posté par macyoyo (invité)

probleme imposible

Posté par lafol lafol

Bonjour,
je ne trouve qu'un seul découpage, avec le rapport r= longueur/largeur solution de r³-2r²+r-1=0, donc environ égal à 1,75 à 0,01 près. sur la figure r1, r2 et r3 sont les rapports pour les trois rectangles, égaux à 1,75 à 0.01 près
rectangle noir : longueur= c (côté du carré), largeur c/r
rectangle rouge : largeur c - c/r, longueur cr-c
rectangle bleu : largeur 2c-cr=c/r - c/r², longueur 2cr-cr²=c-c/r

Posté par mido (invité)

je

Posté par Livia_C Livia_C

Bonjour,
Un découpage
Largeur/longuer=2/3=0.67
Merçi pour l'énigme

Posté par dellys (invité)

bon je comprends pas grand chose "comme dab" mais je dis "comme dab" probleme impossible, en esperant qu'un beau jour ça sera ça la solution et que j'aurai autre chose qu'un poisson..

merci mainkus

Posté par wiat (invité)

Coucou, je dirais que le problème est impossible.

Posté par link224 link224

Salut^^

Je dirais problème impossible, car en essayant de faire une démo à peu près cohérente, je trouve que la somme de 2 carrés doit être nulle sans qu'aucun des 2 nombres ne le soit!

@+

Posté par minkus minkus

Bonjour et bon dimanche,

Non seulement ce probleme etait possible mais en plus il y avait 2 solutions !

Je vous laisse decouvrir les reponses des autres et je me contente d'expliquer certains . Je precise que si on pouvait en effet dire qu'il y avait 3 decoupages differents du carre, j'ai considere que les 3 morceaux etant identiques dans 2 des 3 cas cela faisait 2 solutions.

Si j'ai demande le rapport largeur/longueur arrondi c'est parce que je savais que l'un d'entre eux avait une valeur exacte peu sympathique et cela me permettait de corriger plus vite.

>Eric1 : Ta premiere solution avec le rapport de 2 ne semble pas correcte car 1/(1-2) est different de 2 non ?

>Manpower : Mon premier reflexe a ete de te poissoner a cause des rapports qui sont faux. Verrais-tu des largeurs plus longues que les longueurs ? Et puis ensuite j'ai vu le peu de bonnes reponses alors je me suis dit "Bon il a qd meme trouve alors cette histoire de largeur/longueur n'est pas tres grave.". Je pense donc avoir besoin d'un autre avis sur cette affaire en demandant ce qu'en pensent les autres. Comme pour l'arbitrage video il va falloir etre convaincant pour transformer ce en .

Surtout que certains se sont un peu embrouille avec les rapports. Teebo ils sont ou les tiens ?

>Caylus : J'ai eu du mal mais j'ai lu ta demo en detail et je crois avoir fini par comprendre

>Lafol : Dommage, tu as trouve le plus complique !

Probleme interssant...

minkus

Posté par jamo jamo

Zut, un poisson !!

J'ai loupé une solution ...

Posté par manpower manpower

Bonjour,

Houlala loin de moi l'idée de passer un grand oral pour effectuer une transformation.

Bon, j'aurais demandé le rapport de la largeur par la longueur (plus explicite) car j'ai interprété (même si je suis le seul) le rapport de la largeur à la longueur comme le coefficient k permettant de passer de la largeur à la longueur i.e. kl=L d'ou k=L/l.
Enfin, même si ça me semble un peu dur, j'accepte volontiers mon .

Posté par chaudrack chaudrack

je suis d'avis de donner un smiley à Manpower, moi même n'étant pas sur de donner le bon rapport.

car tu dis, Minkus, de donner



pourquoi ne pas aoir posé clairement la question en disant par exemple, de donner le rapport largeur sur longueur? pour moi, ce n'était pas si évident



Enfin, ce n'est que mon avis..

@ plus, chaudrack

Posté par Youpi Youpi

Bonjour à tous !

Je vais également donné mon avis pour faire avancer :

Je pourrais dire que ce poisson est fort mérité puisqu'il me permet de gagner une place au classement mais je n'en ferais rien !

Je pense effectivement que la réponse de manpower est recevable et que son explication est pleinement convainquante, de plus j'abonde dans le sens que la formulation "le rapport de la largeur à la longueur " n'était pas facile  interpréter.

Allez minkus donne lui ce poisson ...tant pis si je recule d'une place !

Posté par Youpi Youpi

rectificatif "Allez minkus donne lui ce smiley ...tant pis si je recule d'une place ! "  

Posté par minkus minkus

J'avoue que je n'avais pas vu cet ambiguite sur la formulation meme si j'avais bien lu le PS de Chaudrak. C'est surement parce que j'ai l'habitude d'utiliser cette facon de dire comme par exemple avec le nombre d'or qui est le rapport de la longueur a la largeur d'un rectangle.

Je comprends mieux "l'erreur" de Manpower maintenant et suis un peu plus enclin a  lui redonner son .

J'attends cependant l'avis des autres...

Posté par wiat (invité)

Oula, c'est officiel je sais plus lire les énoncés =). En fait, à la lecture de l'exemple, je suis bêtement partie à la recherche de rectangles identiques et non semblables. Je comprends maintenant mieux l'intérêt de l'énigme =)

Posté par lafol lafol

Quelle quiche ! déjà je passe à côté du cas simple (il me semble me souvenir être tombée sur une équation sans solution... ça m'apprendra à gribouiller mes recherches d'énigmes sur des morceaux de papier à peine plus grands que des tickets de métro, déjà tout gribouillés, et avec un feutre à l'agonie )
et en plus je donne L/l alors que minkue demandait l/L ....

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Tout à fait d'accord pour accorder un smiley à manpower pour cette énigme.
Tout d'abord, son raisonnement est rigoureuse exact, et ensuite son explication sur l'ambiguite de l'expression "à la longeur" est tout à fait recevable, d'autant qu'il a bien précisé cette phrase après chaque résultat, ce qui montre que ce n'est pas une erreur d'inattention.

Posté par minkus minkus

Merci pour ton avis Nofutur2.

Posté par Eric1 Eric1

Moi, je ne comprends plus ce que j'ai fait

Posté par lyonnais lyonnais

>> minkus

Je suis aussi d'avis de rendre son à manpower

^{(qui va réussir à concurencer Nofutur2 au temps sinon )}

Romain

Posté par minkus minkus

Bon puisqu'il semble y avoir consensus, je rends son a manpower.

Merci pour votre aide