Probleme d optimisation, S.v.p.

Posté par Wally (invité)

Bonjour, s.v.p. aidez moi a resoudre se probleme:

Une droite du plan passant par le point (2,3) coupe chacun des axes de
coordonnees. Quelle est l'equation de cette droite si l'aire
du triangle q'elle delimite avec les axes de coordonnees est
minimal.

Merci.



** message déplacé **

Posté par Emma (invité)

Salut Wally !

Je te propose juste une piste de recherche : c'est ce que je ferais,
mais comme je n'ai pas le temps... je ne garantis pas que ça
marche

Le fait que cette droite coupe les deux axes te permet déjà de dire
qu'elle a une équation de la forme y=ax+b avec a0
Alors, le point d'intersection avec l'axe des ordonnées est B(0;b)
Et le point d'intersection avec l'axe des abscisses est A(-b/a;0).

Ca te permet déjà d'exprimer l'aire du triangle OAB en fonction
de a et b... : f(a;b)=-b²/2a

@+

Posté par phi (invité)

une piste supplémentaire
on peut exprimer b en fonction de a sachant que la droite passent
par le point (2 ; 3)
3=2a+b
b=3-2a
alors l'aire est
f(a)=-(3-2a)²/2a
f(a)= (-9/2a)+6-2a   après developpement du numérateur et simplification
après calclu de la dérivée
f'(a)=(9-4a²)/2a²
        =(3-2a)(3+2a)/2a²
après tableau de variation le minimum est atteint pour
a=-3/2
b=3-2*(-3/2)=6
y=(-3/2)x+6
c'est une piste....

Posté par J-P J-P

L'énoncé est-il bien posé ?

Je fais passer la droite par l'origine du repère et l'aire
est nulle.

Si on impose que la droite possède une pente négative, alors :

y = ax + b
(avec a < 0)

passe par le point (2 ; 3)
3 = 2a + b
b = 3 - 2a

y = ax + 3 - 2a

Coupe l'axe des abscisses pour y = 0 -> x = (2a-3)/a. -> le point
((2a-3)/a ; 0)
Coupe l'axe des ordonnées pour x = 0 -> y = 3 - 2a. -> le point (0
; 3-2a)

Aire du triangle = (1/2)*(3-2a)*(2a-3)/a
Aire du triangle = (1/2)*(3-2a)*(2a-3)/a

avec a < 0
Aire du triangle = -(1/2)*(3-2a)²/a
f(a) = -(1/2)*(3-2a)²/a

f '(a) = -(1/2).[(-4a(3-2a)-(3-2a)²)/a²]
f '(a) = -(1/2).(-6a + 8a² - 9 - 4a² + 12a)/a²
f '(a) = -(1/2).(4a² + 6a - 9)/a²

f '(a) = 0 pour a = [-3 +/- V(45)]/4 = -(3/4).(1 +/- V5) avec
V pour racine carrée.

f '(a) < 0 pour a dans [-oo ; -(3/4).(1 + V5) [ -> f(a) est décroissante.
f '(a) = 0 pour a = -(3/4).(1 + V5)
f '(a) > 0 pour a dans [-(3/4).(1 + V5) ; 0[ -> f(a) est croissante.

f(a) est minimum pour a = -(3/4).(1 + V5)

L'équation de la droite cherchée est :

y = -(3/4).(1 + V5)x + 3 + (3/2).(1 + V5)

y = -(3/4).(1 + V5)x + (9/2) + (3/2).V5
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Sauf distraction, refais les calculs.

Posté par phi (invité)

Dans le calcul de f'(a)=(-1/2)*(-12a+8a²...
il me semble je voudrais pas contredire jp

Posté par J-P J-P

Tu peux me contredire phi, pas de problème.

Comme je ne relis jamais, il est bon que quelqu'un passe derrière
moi.

En tenant compte de la correction de phi:

f '(a) = -(1/2).[(-4a(3-2a)-(3-2a)²)/a²]
f '(a) = -(1/2).(-12a + 8a² - 9 - 4a² + 12a)/a²
f '(a) = -(1/2).(4a² - 9)/a²
f '(a) = -(1/2).(2a - 3)(2a + 3)/a²

Et donc le min a lieu pour a = -1,5

L'équation de la droite cherchée est :
y = -1,5.x + 3 + 3
y = -1,5x + 6
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Posté par phi (invité)

on trouve le meme résultat
ca me rassure juste...   

Posté par Wally (invité)

Merci bcp pour votre aide c'est exactement la reponse que l'auteur
a donne pour le probleme: y=-3/2 x + 6. Merci de nouveau, bye.