Bonsoir,
la définition de la limite n'est pas revue en terminale à ce que je me souviens...
ensuite on introduit un epsilon qui désigne un réel strictement positif
on définit alors la limite en a pour une fonction f :
limite lorsque tend vers 0 de f(a+)

c'est une notion assez abstraite je pense pour ton niveau, il faut imagininer que peut etre tout est n'importe quoi et qu'on essaye de le faire tendre vers quelque chose de très très petit

lorsque tu fais la limite de x->1/x lorsque x tend vers 0 tu ne peux pas dire je prends la valeur pour x =0 car elle n'eexiste pas d'où cette notion avec le
je ne sais si ça te parle...

voilà ce que dit wikipedia...


Limite d'une fonction en un point a [modifier]

On s'intéresse ici à une fonction définie sur un ensemble Df et à un réel a situé au voisinage de Df, c'est-à-dire un réel a tel que Df contienne un intervalle de la forme ]a, a + h] ou [a - h, a[ ou [a - h, a + h] privé de a.

Ainsi, lorsque Df est un intervalle (ouvert ou fermé) dont les bornes sont b et c, on peut chercher une limite en tout point de l'intervalle fermé [b, c]. On peut aussi, par exemple, chercher la limite de la fonction x \mapsto 1/x en tout point de \R. En revanche, on ne cherchera pas de limite en 0 pour les fonction x \mapsto \sqrt{x^2-1} ou x \mapsto \sqrt{x^4-x^2} car 0 n'est pas au voisinage du domaine de définition.

Limites finies [modifier]

Si f\,\! est une fonction numérique et a\,\! un point de \R, on dira que le réel l\,\! est la limite de f\,\! en a\,\! si :

    * intuitivement : f(x)\,\! se rapproche de l\,\! à mesure que x\,\! se rapproche de a\,\! ;
    * plus rigoureusement, pour tout « écart de tolérance » \epsilon > 0\,\! on peut trouver un « écart de confiance » \delta > 0\,\! tel que, dès que x\,\! est proche de a\,\! à \delta\,\! près, alors f(x)\,\! est proche de l\,\! à \epsilon\,\! près :

a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon

Autrement dit, on peut rendre f(x)\,\! aussi proche de l\,\! que souhaité sur un intervalle, si petit soit-il, autour de a\,\!.

Dans ce cas on écrira \lim_{x \to a}f(x) = l\,\!.

Image: LimitDefinition.png

Limites infinies [modifier]

Il se peut aussi qu'au point a\,\! la fonction f\,\! n'ai pas de limite finie mais une limite infinie : à mesure que l'on se rapproche de a\,\! la valeur de f\,\! devient de plus en plus « proche » de +\infty\,\! (respectivement -\infty\,\!), c'est-à-dire de plus en plus grande (resp. plus grande en valeur absolue mais avec un signe négatif). La formulation mathématique est alors la suivante : pour tout « seuil de tolérance » M\,\! on peut trouver un « écart de confiance » \delta > 0\,\! tel que, dès que x\,\! est proche de a\,\! à \delta\,\! près, alors f(x)\,\! est plus grande (resp. plus petite) que M\,\! :

a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x) \geq M

(resp. a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x) \leq M)

            (illustration 2)

Autrement dit, on peut rendre f(x)\,\! aussi proche de \pm\infty\,\! que souhaité sur un intervalle, si petit soit-il, autour de a\,\!.

Dans ce cas on écrira \lim_{x \to a}f(x) = +\infty\,\! (ou \lim_{x \to a}f(x) = -\infty\,\!).

Limites à gauche, à droite [modifier]

Il arrive que le comportement local de la fonction f\,\! soit différent « à gauche » de a\,\! (soit pour les x<a\,\!) et « à droite » de a\,\! (soit pour les x>a\,\!). Par exemple, une fonction peut admettre une limite à droite mais pas à gauche, ou alors admettre deux limites différentes de chaque côté.


On est donc amené à introduire les notions de limite à droite et à gauche ; la seule différence avec les limites « normales » expliquées ci-dessus est qu'on impose la proximité de f(x)\,\! avec l\,\! ou \pm\infty\,\! seulement d'un seul côté de a\,\!. Les définitions et notations correspondantes deviennent donc :

    * pour la limite à gauche :

    \lim_{x \to a, x<a}f(x) = l,\! lorsque

        a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon

    \lim_{x \to a, x<a}f(x) = +\infty\,\! lorsque

        a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ f(x) \geq M

    * pour la limite à droite :

    \lim_{x \to a, x>a}f(x) = l,\! lorsque

        a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon

    \lim_{x \to a, x>a}f(x) = +\infty\,\! lorsque

        a < x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x) \geq M

Les notions de limites à droite et à gauche sont moins restrictives que la notion classique de limite « bilatérales » : une fonction peut avoir une limite à gauche et une limite à droite sans avoir de limite. En fait on a les propriétés suivantes :

    * pour une fonction non définie en a : une fonction a une limite en a \,\! si et seulement si elle a une limite à gauche l_g\,\! et une limite à droite l_d\,\! et qu'elles sont égales : l_g=l_d\,\!
    * pour une fonction définie en a : une fonction a une limite en a \,\! si et seulement si elle a une limite à gauche l_g\,\! et une limite à droite l_d\,\! et qu'elles sont égales toutes deux à f(a) : l_g=l_d=f(a)\,\!

Exemple:

Pour la fonction ci-dessus, on a:

    f(0) = − 1
    \lim_{x \to 0-} f(x) = 1
    \lim_{x \to 0+} f(x) = -1

Absence de limite en un point [modifier]

Une fonction peut très bien ne pas avoir de limite du tout en un point.

Par exemple, sin(1 / x) n'a pas de limite en 0.

Limite d'une fonction en ±∞ [modifier]

On s'intéresse ici, non plus au comportement local d'une fonction en un point réel fini mais à son comportement « aux limites », soit quand x\,\! croît indéfiniment (limite en +\infty) soit quand x\,\! décroît indéfiniment (limite en -\infty). Cette étude ne concerne donc que des fonctions définies au voisinage de \pm \infty, c'est-à-dire des fonctions dont l'ensemble de définition contient un intervalle de la forme [M, + \infty[ ou ]- \infty, m].

On peut noter que dans ce cadre la notion de limite à droite ou à gauche n'a plus de sens ; en fait les limites en +\infty sont toujours des limites à gauche et les limites en -\infty sont toujours des limites à droite.

Limites finies [modifier]

Dire que la fonction f\,\! admet la limite finie l\,\! en +\infty revient à dire que f(x) \,\! se rapproche de l\,\! à mesure que x\,\! grandit (ou « tend vers plus l'infini »).

Mathématiquement, cela se traduit par le fait que pour tout « écart de tolérance » \epsilon>0 \,\! on peut donner un « seuil de confiance » M>0 \,\! au-delà duquel notre fonction restera dans l'intervalle de tolérance, de centre l\,\! et de rayon \epsilon \,\! : x \geq M \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon

Autrement dit, on peut rendre f(x)\,\! aussi proche de l\,\! que souhaité à partir d'un certain seuil, si lointain soit-il.

Dans ce cas on écrira \lim_{x \to +\infty}f(x) = l \,\!.

Tout ceci s'adapte facilement dans le cas d'une limite en -\infty : on dit que f(x)\,\! tend vers l\,\! quand x tend vers -\infty si pour un écart \epsilon > 0 \,\! on peut trouver un seuil M < 0 \,\! tel que : x \leq M \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon et on écrira alors \lim_{x \to -\infty}f(x) = l \,\!.

Exemple:

Image: Inversa_liminf.png

Ici, pour ε aussi petit qu'on veut, il existe M à partir duquel la fonction reste entre 0 + ε et 0 − ε. La fonction tend donc vers 0.

Limites infinies [modifier]

L'idée intuitive d'une limite infinie est: pour x suffisamment grand, f(x) peut devenir aussi grand que l'on veut.

Absence de limite en l'infini [modifier]

Une fonction peut très bien ne pas avoir de limite en l'infini. La fonction sinus en est un exemple typique.

Image: Sinuspetit.png

si c'est pas clair, les codes ne passent ici, va voir toi même si wiki y a des beaux dessins
tu cherches sur wwww.wikipedia.org
"Limite (mathématiques élémentaires)"
bonne recherche

Merci à toi mellepapillon.