et quand aucun des points ne se trouve sur les aretes?

Posté par McMColette (invité)

Bonjour!
C'est la premiere fois que j'essaie de poster quoi que ce soit, je ne suis pas sure de m'y prendre comme il faut. Alors d'avance, je vous prie de m'excuser. (en plus pardon pour le manque d'accents , mon clavier US ne me laisse pas les mettre sur ce site apparement...).
J'essaie d'aider ma fille avec un pb de geometrie  de 2nd et comme je ne visualise pas dans l'espace, c'est dur dur...

Son pb est simliaire a celui propose ci-dessus:
ABCD est un tetraedre. Construire l'intersection du plan (IJK) avec le tetraedre.

Mais dans mon cas, aucun des points du plan IJK ne sont sur les aretes. Les point sont sur les faces.
I est sur la face (ABC), J est sur la face (ACD) et K est sur la face (ABD)
Du coup, je ne sais plus comment suivre les conseils de Eider, qui part du point qui est sur une arete.

Ca doit etre simple, mais etant nulle en geometrie dans l'espace, je n'arrive pas seule a faire l'etape manquante.J'ai besoin de TOUTES les etapes expliquees, meme celles qui semblent evidentes.
Merci d'avance pour vos eclaircissements!

*** message déplacé ***

Posté par Océane Océane

McMColette,
crées toi un topic pour poser ton exercice

Posté par Coll Coll

Bonjour,

Comment vous aider ? (on se passera des accents...)

I est dans la face (ABD) : appelons L le point d'intersection de (AI) avec (BC)
J est dans la face (ACD) : appelons M le point d'intersection de (AJ) avec (CD)

Dans le plan (AIJLM) la droite (IJ) coupe (LM) au point P ; P est un premier point de l'intersection du plan (IJK) avec une face du tétraédre, la face (BCD)

Voilà l'idée générale.
Il faut continuer...

Par exemple :
(AK) coupe (BD) en N
(NM) et (KJ) se coupe en Q : un nouveau point commun à (IJK) et à (BCD)

donc la droite (PQ) est l'intersection du plan (IJK) et de la face (BCD)

L'intersection de cette droite (PQ) avec les arêtes (BC) ou (CD) ou (BD) - cela dépend un peu de la figure - donne des points du plan (IJK) situés sur des arêtes du tétraèdre, ce qui va accélérer la suite de la construction...

Si vous pouviez poster une figure, cela faciliterait les choses...
Pour apprendre à insérer une image, une figure, un schéma, un graphique (pas un énoncé !) cliquez sur la maison

Posté par McMColette (invité)

Merci pour votre reponse!
Je suis d'accord, pour que ca soit plus simple (surtout pour moi!), je crois qu'il vaut mieux que je joigne un dessin, et que je vous donne les points exacts , plutot qu'un hypothetique plan (IJK) comme je l'avais fait hier.

Voici donc l'enonce du pb:
Soit un tetraedre ABCD et un plan (MNP).
Placer l'intersection du plan (MNP) avec le plan (BCD).
Sachant que M est dans le plan (ABD), N est dans (ABC) et P dans le plan (ACD).
Donc mon souci, c'est que M,N,P n'etant pas sur les aretes du tetraedre, je ne peux pas suivre les etapes indiquees par Eider. Il doit me manquer une etape (ou plusieurs, a moins que ce soit les neurones qui me manquent...).

Si vous pouviez me redecrire les etapes a constuire, ca serait vraiment gentil.

J'espere que ceci est poste au bon endroit. Merci d'avance!

Posté par Coll Coll

Bonsoir,

Je reprends votre figure ; en noir le tétraèdre ; en bleu des lignes de construction ; en rouge les éléments qui appartiennent au plan MNP :



Plan ABD, AM coupe BD en E
Plan ABC, AN coupe BC en F
Plan ACD, AP coupe CD en G

Plan ANFGPA, FG et NP se coupent en H
Plan AMEGPA, EG et MP se coupent en I
Plan AMEFNA, EF et MN se coupent en J

La droite HIJ coupe CD en K et BC en L

KP coupe AD en Q
LN coupe AB en R

Le quadrilatère RNLKPQM est le quadrilatère d'intersection du plan MNP avec le tétraèdre.

Posté par Coll Coll

Bonjour,

Il était trop tard hier soir (pour moi) pour que je détaille la construction, aussi ai-je donné la priorité à poster la figure, avec néanmoins la démarche progressive.

N'hésitez pas à demander des explications si vous ne parvenez pas à suivre le déroulement de cette construction.

Posté par McMColette (invité)

Bonjour Coll,

Un tres grand merci pour votre reponse, avec le tetraedre , dessin et toute la construction. Hier soir, je n'ai pas pu me mettre dedans, c'etait aussi trop tard pour moi. De plus, ma fille avait deja rendu son devoir, avec une solution qui avait "circule" parmi les eleves, mais je doute qu'elle ait ete comprise par la plupart!

Ce matin, je m'y suis donc remise. J'ai eu qq peine a retrouver les etapes (je ne suis pas douee !).
Mais en me basant sur votre 1ere reponse qui m'indiquait comment trouver un premier point d'intersection, puis un deuxieme, j'ai retrouve je crois comment faire.
(Une petite parenthese avant de commencer : dans votre premiere reponse , tout au debut, vous dites :
I est dans la face (ABD) : appelons L le point d'intersection de (AI) et de (BC).
Est-ce que j'ai mal compris ou bien s'agit-il d'une erreur de frappe et que vous vouliez dire :
I est dans la face (ABC) .


Pour en revenir au tetraedre ABCD et au plan MNP, voici le scenario que j'ai reconstruit grace a vous, afin de trouver l'intersection de (MNP) et de la face (BCD).
Je vous serais tres reconnaissante de voir si j'ai vraiment compris ou bien si j'ai ecrit des aneries. Je sais que l'on peut trouver le bon resultat tout en se trompant dans la methode, ou pire en ne comprenant rien au pourquoi et au comment de la methode  !
(J'ai des dessins des etapes, mais je n'arrive pas a les poster car apparement leur taille est trop grande, et je me casse les dents sur comment les reduire...)

Probleme :
Un tetraedre ABCD, et un plan (MNP) . M est dans (ABD), N est dans (ABC) et P est dans (ACD). On cherche l'intersection de (MNP) avec la face (BCD).
Comme ni M, ni N, ni P ne sont sur les aretes du tetreadre, il faut trouver des autres plans qui vont avoir en commun des points de (MNP) et des point de la face (BCD).

Quand on aura 2 points distincts qui sont communs aux 2 plans, on aura l'intersection de ces 2  plans, puisqu'on aura une droite commune au 2 plans.

1ere etape :
En tracant la droite (AN), qui coupe (BC) en F, et en tracant la droite (AP) qui coupe (CD) en G, je mets en evidence un plan interessant, ANFGP. Pourquoi interessant? Parce qu'il contient N et P,qui appartiennent a (MNP), et aussi il contient F et G, qui appartiennent a (BCD).

2eme etape :
De ca, je vais pouvoir en deduire un premier point commun a (MNP) et (BCD), que je vais appeler H.

Raisonnement :
1. La droite  (NP) appartient au plan ANFGP et la droite (FG) aussi. Donc j'ai le droit de les prolonger pour mettre en evidence leur point d'intersection, que j'appelle  H.
2. (NP) appartient a (MNP).  H appartient  a (NP) donc H appartient a (MNP).

3. F et G appartiennent a (BCD) puisque F est sur (BC) et G est sur (CD). Donc H (qui je le rappelle est sur (FG)),  appartient aussi a (BCD).

Donc j'ai trouve un point H qui appartient a la fois a la face (BCD) et au plan (MNP).
Et de un ! comme dirait Eider.

3eme etape:
Je vais faire un raisonnement similaire pour trouver un 2eme point commun, en utilisant un autre plan.
En tracant la droite (AM), qui coupe (BD) en E, et en reprenant la droite (AP) deja tracee dans l'etape no 1, qui coupe (CD) en G, je mets en evidence un autre plan interessant, AMEGP. Pourquoi interessant? Parce que, de nouveau, il contient M et P,qui appartiennent a (MNP), et aussi il contient E et G, qui appartiennent a (BCD).

4eme etape:
De ca, je vais pouvoir en deduire un deuxieme point commun a (MNP) et (BCD), que je vais appeler I.

Raisonnement :
4. La droite  (MP) appartient au plan AMEGP et la droite (EG) aussi. Donc j'ai le droit de les prolonger pour mettre en evidence leur point d'intersection, que j'appelle  I.
5. (MP) appartient a (MNP).  I appartient  a (MP) donc  appartient a (MNP).

6. E et G appartiennent a (BCD) puisque E est sur (BD) et G est sur (CD). Donc I (qui je le rappelle est sur (EG)),  appartient aussi a (BCD).

Donc j'ai trouve un autre point,  I,  qui appartient a la fois a la face (BCD) et au plan (MNP).
Et de deux !

Resolution :
J'ai a present 2 points , H et I qui appartiennent a la fois au plan (MNP) et a la face (BCD). Donc la droite (HI) est la droite d'intersection des plans (MNP) et (BCD).

Si on veut trouver l'intersection de (MNP) avec les autres faces, il faut continuer le raisonement de la meme facon. Le dessin devient complique mais ca marche toujours pareil.

Moi je me suis arretee a la face (BCD), j'ai eu les neurones qui chauffaient deja assez comme ca!

Merci de confirmer ou corriger ce raisonnement. Peut etre aussi si vous avez des indications, du genre "pourquoi on dessine cette droite et pas une autre" , ca m'aiderait a avoir une strategie pour les problemes futurs.
Merci pour votre temps!

Posté par Coll Coll

Bonjour



La prochaine fois que quelqu'un me demandera comment il faut faire... je renverrai à ce topic !

Premièrement : oui il y a eu une erreur de frappe I sur la face (ABC) et non pas (ABD)

Tout votre raisonnement est parfait ; très clair et méthodique.

Ce qu'il faut faire peut dépendre aussi de la figure. Avec les deux points I et J on possède la droite d'intersection du plan (MNP) avec le plan (BCD) ; il n'y a donc pas d'intérêt à chercher un troisième point de cette droite. J'ai construit J parce qu'il y avait la place sur la figure et parce que cela permet des vérifications de la construction. Mais en pure théorie c'était fini dès que l'on connaissait deux points.

Avec cette droite IJ, j'ai pris les intersections avec les arêtes CD et BC, respectivement les points K et L ; mais j'aurais aussi pu prendre l'intersection de IJ avec BD (appelons S ce point qui n'est pas sur la figure)... et connaissant cette intersection avec BD j'aurais ainsi pu construire les points R et Q par intersection des arêtes AB et AD avec la droite SM : "et de quatre"

Nous avons travaillé sur le plan BCD en projetant les trois points M, N et P sur ce plan depuis A
Il n'y a aucune autre raison que la commodité pour avoir fait cela. On pouvait tout aussi bien partir de n'importe quel sommet du tétraèdre et projeter sur le plan opposé à ce sommet.

La figure commande un peu...

Vous avez parfaitement compris ; j'en suis très heureux.

Posté par McMColette (invité)

Re bonjour,
Un tres grand merci pour vos explications et votre temps.
Quand un pb est resolu mais surtout compris, on se sent vraiment beaucoup mieux! Merci!

Posté par Coll Coll

Je vous en prie

Bienvenue sur l' puisque c'était votre premier sujet. A une prochaine fois !