Probleme

Posté par Wally (invité)

Bonjour,

SVP aidez moi a résoudre ce problème   :

Un triangle isocèle est inscrit dans une circonférence de rayon r. Quelle
doit être sa hauteur h (en fonction de r) pour que sa surface soit
maximale ?
(Suggestion : Soit θ le demi angle au sommet du triangle. A l'aide
de triangles rectangles judicieusement construits, calculer d'abord
la valeur de θ correspondant a une surface maximale du triangle
isocèle, et passer ensuite a la valeur de h correspondante.)

Merci.

Posté par J-P J-P

Soit ABC le triangle isocèle en A.
Soit H le pied de la hauteur issue de A.
Soit O le centre du cercle.

Aire(ABC) = (1/2).BC.h

HC = h.tg(theta)
BC = 2h.tg(theta)

Aire(ABC) = h².tg(theta)

Dans le triangle OHA
OH = r.cos(2.theta)

h = r + OH = r(1+cos(2theta))

Aire(ABC) = r²(1+cos(2.theta))².tg(theta)

Dérivons l'aire(ABC) par rapport à theta ->

(Aire(ABC))' = r².[-4(1+cos(2theta)).sin(2theta).tg(theta) + ((1+cos(2theta))/cos(theta))²]

avec 1 + cos(2theta) = cos²(theta), il vient:

(Aire(ABC))' = 4r².cos^2(theta)(1-4sin²(theta))

Comme la somme des angles d'un triangle = 180°, on a theta < 90°

Il suffit d'étudier les variations de Aire(ABC) pour theta dans
[0 ; pi/2[

(Aire(ABC))' > 0 pour theta dans [0 ; Pi/6[ -> (Aire(ABC)) est croissante.
(Aire(ABC))' = 0 pour theta = Pi/6
(Aire(ABC))' < 0 pour theta dans ]Pi/6 ; Pi/2[ -> (Aire(ABC)) est décroissante.

Il y a donc un maximum de Aire(ABC) pour theta = Pi/6
-----
Avec h = r(1+cos(2theta)) (voir avant)
->
h = r.(1+ cos(Pi/3))
h = 1,5.r
-----
Sauf distraction.

Posté par Wally (invité)

Merci J-P pour ton aide. Suivant mon dessin les points O,H et A sont
alignes et ne forment pas un triangle..

Posté par Wally (invité)

Bonjour,

   C'est OH=r.(cos2.Theta) que j'ai pas bien compris..

Posté par J-P J-P

J'ai ecrit

Dans le triangle OHA
OH = r.cos(2.theta)

Mais j'avais voulu écrire.

Dans le triangle OHB
OH = r.cos(2.theta)
-----

Explication:

angle(BOC) = 2.angle(BAC)

Car ils sous-tendent la même corde BC du cercle.
A est sur le cercle et O est le centre du cercle.
A et O sont du même coté de la corde.

l'angle(BOC) est appelé "angle au centre" et vaut le double que tout angle dont
le sommet est sur le cercle et qui sous-tends la même corde et ...

angle(BAC) = 2.Theta
comme angle(BOC) = 2.angle(BAC) -> angle(BOC) = 4.Theta.

Comme angle(BOH) = (1/2) angle(BOC)
-> angle(BOH) = (1/2).4.theta = 2 theta.

Dans le triangle OHB:
OH = OB.cos(BOH)
->
OH = r.cos(2.Theta)
----------
Sauf nouvelle distraction.

Posté par Wally (invité)

Merci J-P. Je tiens a signaler une petite erreur de frappe qui n'est
que:
1 + cos(2theta) = 2 cos²(theta) au lieu de cos²(theta) . Mais tout
le reste du calcul est fait sur cette base la. Cette fois j'ai
tout compris. Merci bcp pour ton temps.

Posté par J-P J-P

Oui, c'est bien: 1 + cos(2theta) = 2 cos²(theta),

Le 2 doit s'être perdu quelque part entre la commande de mon cerveau
et mes doigts.