Calcul Integral

Posté par Wally (invité)

Bonjour,

Dans le cadre du calcul integral je suis tombe sur un exercice qui
est le suivant:

Trouver une fonction ayant un maximum relatif en x=-1, un minimum
relatif en x=1 et dont la courbe passe par l'origine des axes.

Ils ont donne comme reponse y=x³-3x et moi j'ai essaye
x⁵-5x et ca marche. Donc y=x ^a -ax avec a impair
et a different de 1 satisfait toujours au conditions. Mais comment
arriver a la solution dans le cadre du calcul integral? Merci.
  

Posté par J-P J-P

Si f(x) est une fonction ayant un maximum relatif en x=-1, un minimum
relatif en x=1 et dont la courbe passe par l'origine des axes.


On a f '(x) = 0 pour x = -1 et 1
On doit aussi avoir f '(x) > 0 pour x < -1
f '(x) < 0 pour x dans ]-1 ; 1[
f '(x) > 0 pour x > 1.

Donc f '(x) = (x-1)^a . (x+1)^b avec a et b impair convient.

On trouve f(x) en primitivant (x-1)^a . (x+1)^b.
Comme une primitive est à une constante près, il est possible de choisir
cette constante pour que f(0) = 0.
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Un exemple, je choisis a = b = 1

f '(x) = (x-1)(x+1) = x² - 1
S f '(x) dx = (x³/3) - x + C (avec S pour le signe intégral).

en prenant C = 0:
f(x) = (x³/3) - x est une fonction qui convient.
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Autre exemple:
Je choisis a = 1 et b = 3

f '(x) = (x-1).(x+1)³
f '(x) = (x-1)(x³+3x²+3x+1)
f '(x) = x^4 + 2x³ - 2x - 1

S [ x^4 + 2x³ - 2x - 1] dx = x^5/5 + x^4/2 - x² - x + C
Avec C = 0 ->
f(x) = x^5/5 + x^4/2 - x² - x
est une fonction qui convient.
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Comme ici, on n'en demande qu'une, il faut prendre la plus simple,
donc celle où a et b = 1.
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Sauf distraction.

Posté par Wally (invité)

Merci J-P pour ton aide.