Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 144 : Je ne vais jamais sur les routes departementales !

Bonjour,

Encore une pour la route !



"J'ai déjà essayé de payer mes impôts avec le sourire. Ils préfèrent un chèque." Jean Yanne.

La commune de Trigon est un triangle XYZ délimité par trois routes departementales, la d₁, la d₂, et la d₃. Le parc zoologique est un carré ABCD, dont le côté CD est situé sur la d₃, dont le sommet A est sur la d₁, le sommet B sur la d₂, et qui occupe 7/32 de la superficie de Trigon (voir figure, pas forcément juste!).




Quel est le rapport des distances de XA et XY ?

Bonne reflexion.

minkus

(rere)Bonjour,

Je suis obligé de supposer que le triangle XYZ est équilatéral, sans quoi le problème ne serait pas soluble.
Je pense que le rapport demandé est égal au rapport AB/YZ, que l'on peut calculer grâce au rapport des surfaces :
soit environ 0.4353.

Soit a, le côté du carré, H la hauteur du triangle issue de X et k le rapport cherché,
On a :
YA/YX=a/H=1-k
H=1/(1-k)
YZ=a/k
En faisant le rapport des aires j'obtiens .
2k(1-k)=7/32
k²-k+7/64 =0
delta = 1-28/64 = 1-7/16 = 9/16
0<k<1 donc
k=XA/XY=1/2*(1-3/4)=1/8 ou k=1/2*(1+3/4)=7/8

En fait, je pense plutôt qu'il s'agit de 1/8 ou 7/8.

Bonjour,

En utilisant Thalès, on trouve que le rapport x=XA/XY est solution de l'équation :

2*x*(1-x)=7/32

D'ou les 2 solutions : 1/8 et 7/8.

Illustration des 2 solutions :

Y₁Z₁=8 C₁D₁=1
Aire de A₁B₁C₁D₁ = 1
Aire de X₁Y₁Z₁ = 32/7

Y₂Z₂=8 C₂D₂=7
Aire de A₂B₂C₂D₂ = 49
Aire de X₂Y₂Z₂ = 49*32/7=224

le rapport de x_a et x_yest7/32

Soit t le rapport cherché et H le pied de la hauteur issue de X sur YZ:
t=XA/XY=XB/XZ=HD/HY=HC/HZ=CD/YZ=1-BC/XH
Donc BC=(1-t)XH et CD=tYZ et comme 2BC*CD/XH*YZ=7/32
t(1-t)=7/64 donc t=1/8

Bonsoir
Je pense que c'est 1/8
A+

Rebonsoir
Voici 1 démonstration
7/8 est aussi un réponse possible
soient K et H les  pieds de la hauteur issue de A sur AB et YZ
on a  µ = XA/XY=AB/YZ=XK/XH et  AB =AD et AD = XH-XK   => AD/XH = 1 - XK/XH = 1 - µ  (*)
7/32 = aire carré / aire triangle = (AB².2)/(YZ.XH) =2(AB/YZ).(AB/XH)  et par (*)
7/32 = 2µ.(1-µ)  => 7 =64µ(1-µ) =>64µ²-64µ+7=0 =>
µ = (32+24)/64  ou (32-24)64
µ=1/8 ou 7/8
A+

(Re)Bonsoir,

A partir d'une homothétie de centre X et de rapport k=XA/XY, on a:
AIre(ABX)/Aire(AXYZ)=k² et (via Thalès) k=XI/XJ=2Aire(ABX)/(2Aire(ABX)+Aire(ABCD)).

Ce qui conduit à l'équation k²-k+7/64=0, qui admet deux solutions et .

Pas de figure pour moi et il y a certainement plus subtil _{(1 étoile + Trigon ?)}...

Merci pour cette énigme.

je trouve ici deux valeurs possibles pout le rapport XA/XY, à savoir 1/8 et 7/8

bonjour
il y a deux solutions : 7/8 et 1/8 (0,875 et 0,125)
soit r ce rapport
xab / xyz = r²
soit xh la hauteur du triangle xyz
ayd / xyh = (1-r²); bcz / xhz = (1-r)²
(ayd+bcz) / (xyh+xhz)= (ayd+bcz) / xyz = (1-r)²
le triangle du haut est le grand triangle * r²
la somme des triangle de gauche et de droite est le grand triangle * (1-r)²
la somme des trois petits triangles est le grand triangle * (r²+(1-r)²
r²+(1-r)² = 25/32
2r²-2r+1 = 25/32
r = 7/8 ou r = 1/8

Bonjour,

Par construction, je trouve que le rapport XA/XY = 7/8

Merci pour l'énigme

@ plus, chaudrack

Bonjour Minkus,

Bonjour,

Je trouve comme solution :



Il existe deux cas particulier :
1) Y et D confondus (triangle rectangle en Y)
2) Z et C confondus (triangle rectangle en Z)
Pour ces deux cas, on a une solution supplémentaire
Maintenant, est-ce que l'énoncé admet cette possibilité ? Sur la figure, Y est distinct de D et Z est dinstinct de C mais ces deux cas respecte l'énoncé...

Merci Minkus et à bientôt, KiKo21.

"Fontaine , je ne boirai pas de ton eau" un jour il jura...

Bonjour,
Le rapport  XA/XY=1/8
         ou XA/XY 7/8
Merçi pour l'énigme.

Il y a 2 possibilités : 1/8 et 7/8

Bizarrement (?), je trouve deux solutions : 1/8 et 7/8.

C'est ma réponse!

bonjour.

Appelons le coté du carré: x.
La base YZ du triangle: y.
Et la hauteur du triangle en partant de X (XH): z.

L'aire du carré vaut x².
L'aire du triangle vaut .

On a donc: (1).

Dans le triangle, on a les relations suivantes:

càd

D'après (1) on a
On obtient: 16z² = 7 zx - 7x²
7x² - 7zx + 16z² = 0
_x = 49z²-448
s'il y a 1 solution, le discriminant doit être nul.
49z²-448=0 -> z = 3,024 (arrondi)
et (arrondi)

On a donc le rapport

merci pour cette énigme.

0,125 ou 0,875

Bonjour,

Le rapport des distances de XA et XY est 7.

A+
gloubi

La rapport c'est le théorème de Thalés je pense.

Dans les triangles XAB et XYZ
Les points X, A, et Y et les points X, B et Z sont alignés dans le même ordre.
(AB)//(YZ)



XA/XY=XB/XZ=AB/YZ



Je suis une bille, mais j'éspère que c'est la bonne réponse

Je pense qu'il y a deux solutions.
- XA égale un huitième de XY
- XA égale sept huitième de XY

Bonjour

-----

Démonstration

On a avec le rapport d'homothétie des triangles et .

Si on note le projeté orthogonal de sur alors on a également :

Or donc

Mais d'où

Par ailleurs il est clair que avec la surface de la commune de Trigon.

On a aussi et

Ainsi

Soit

En divisant chaque membre par on se ramène à l'équation suivante :



On obtient finalement

-----

Bonjour,

Prenons pour unité le côté du carré, et soient b = YZ la base et h la hauteur du triangle XYZ issue de X.
Comme l'aire du carré vaut 1, on a bh/2 = 32/7, et comme les triangles XYZ et XAB sont semblables, (h-1)/1 = h/b.
D'où les deux solutions b = 8, h = 8/7 et b = 8/7 et h = 8.

Le rapport cherché XA/XY, (qui est égal à (h-1)/h = 1/b) vaut donc 1/8 dans le premier cas et 7/8 dans le second.

Cordialement
Frénicle

1/8 ou 7/8

Bonjour,

On sait que l'aire de carré est égale à 7/32ème de l'aire du triangle XYZ.
Donc .
Donc .

Il suffit ensuite d'appliquer le théorème de Thalès.

On trouve alors :
.

Si on pose , on trouve l'équation suivante :
.

Celle ci a deux solutions :
1/8 et 7/8 qui sont les rapports possibles de XA et XY.

Oups, j'ai oublié l'image...

xa  est  la moitie de xy  et ils forment ensemble  une demi droite

Il y a deux solutions :

Solution 1 : XA/XY est 1/8.

Solution 2 : XA/XY est 8.

Bonjouor, j'avais pourtant décidé de ne pas participer ce mois-ci pour rattraper mon retard de corrections de copies et de repassage
au risque d'un poisson, un truc du genre

Bon, je voulais dire 1/8 et 7/8 évidemment...

Bonjour,

je trouve XA/XY = 7/8

Merci pour l'énigme  

* challenge en cours *

Bonsoir
mes réponses est:

ou

réponses trouvées par application du théorème de Thalès puis par résolution d'une équation du second degré...

En décomposant le triangle suivant sa hauteur passant par X, on montre aisément que sa base ne varie pas en longueur si X ne varie pas en hauteur. Donc sa surface ne dépend que de la hauteur de X, pas de sa longitude. Prenons alors X aligné avec A et D., Sa surface en fonction de (y), hauteur de X, est (en posant coté du carré = 1) et le rapport XA/XN est
Sa surface est , ce qui donne y= ou et le rapport vaut alors 7 ou

la distance XA est 2 fois moins grande que la distance AY

Salut

Il y avait bien 2 solutions 1/8 et 7/8 mais une seule etait demandee.

Je vous laisse commenter les reponses car je suis en retard sur mes corrections...

minkus

Bonjour,

il aurait pas mérité 2 étoiles celui-ci ??

un huitiéme ou sept huitiéme

Bravo mme math !! 1 point de plus !!

Bonjour,

citation :
Le rapport des distances de XA et XY est 7.

Quelle âne !  

Dans ma tête j'ai toujours pensé XA et "A"Y.

_{Il doit y avoir un malin génie qui ne voulait pas me voir en tête...}

A+,
gloubi
-