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vincprof vincprofSoient (E,d) \,\! et (F,\delta) \,\! deux espaces métriques, et f \ : \ E \rightarrow F \,\! une application de E \,\! vers F \,\!.
On dira que f \,\! est uniformément continue si et seulement si :
\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ d(x,y) < \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) <\varepsilon \,\!
NB: La continuité « simple » de f \,\! s'écrit par comparaison :
\forall x \in E, \ \forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall y \in E, \ d(x,y) < \eta \ \Rightarrow \ \delta(f(x),f(y)) <\varepsilon \,\!
On comprend alors le sens du mot « uniforme » : le choix de \eta \,\! en fonction de \varepsilon \,\! ne dépend pas du point considéré, il est uniforme sur E \,\!.
* Cas des fonctions d'une variable réelle et à valeurs réelles
Dans le cas où l'espace de départ E \,\! et l'espace d'arrivée F \,\! sont des intervalles de \mathbb R, la définition s'écrit :
\forall \varepsilon > 0 ,\ \exists \eta > 0 \ / \ \forall(x,y)\in E\times E, \ |x-y| < \eta \ \Rightarrow \ |f(x)-f(y)| < \varepsilon \,\!
voici un copié collé de ce que j'ai!
j'ai vérifié sur wiki, la meme chose s'affiche! ca donc etre chez moi qu'il y a un problème. pourtant j'utilise le renard de feu!(sur mac)