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sur les fonctions ln+suites
Bonjour, voici le dernier exercice que j'ai a faire poiur la semaine prochaine, il porte sur l'étude dune fonction ln avec des suites .
voici le texte dans son intégralité:
On considere la fonction f définie sur ]0, + inifni[ par f(x) = x + lnx.
Montrer que pour tout entier naturel n, l'équation f(x) = n admet une unique solution alpha n dans ]0, + infini[.
On a donc: pour tout entier naturel n, alpha n + ln alpha n = n.
Placer les nombres alpha 0, alpha 1, alpha 2, alpha 3, alpha 4 et alpha 5 sur l'axe des abscisses et préciser la valeur de alpha 1.
Démontrer que la suite (alpha n) est strictement croissante.
Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, (n+1)/(2) est inférieur ou égal a alpha n.
déterminer la limite de la suite (alpha n).
voici ce que je propose pour le début mais apres je suis coincé.
pour la premiere question j'utiliserai le theoreme de la bijection ou TVI je calcule f(0,2) et f(5) ils sont de signes contraires donc j'en conclus qu'il existe bien une solution unique alpha n dans ]0, +infini[, est cela qu'il faut faire?
apres pour calculer les nombres alpha 0, alpha 1 ,
ben je sais que : alpha n + ln alpha n = n.
donc pour alpha 0 jaurai u0 + ln u0 = 0 est ca? mais je fais quoi apres?
et pour montrer que la suite (alpha n) est croissante je n' y arrive pas
or
et
.
donc :
De plus, on sait que la fonction f est croissante sur ]0;+
[, donc:
la suite
est croissante.
daccord et pour calculer alpha 0, alpha 1, alpha 2 on fais comment sil vous plait car je suis un peu bloqué sur ca
bonjour,
0 vérifie 0+ln(0) = 0.
C'est donc l'abscisse du point d'intersection de la courbe de f avec la droite d'équation y=0 (axe des abscisses).
de même n vérifiant n+ln(n) = n , le nombre n est l'abscisse du point d(intersection de la courbe de favec la droite d'équation y=n.
J'oubliais on ne demande que lavaleur de 1 :
qui vérifie 1+ln(1)=1.
On résout alors x+ln(x) = x ssi ln(x)=0 ssi x=1.
daccor je vous en remercie, je vais essayer de faire tout ca afin de bien comprendre merci
et pour Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, (n+1)/(2) est inférieur ou égal a alpha n.
déterminer la limite de la suite (alpha n).
comment fais ton sil vous plait?
Pour montrer que pour Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, (n+1)/(2) est inférieur ou égal a alpha n , on peut le faire par récurrence.
ensuite, comme n
, il suffit de calculer la limite de
en +
puis de conclure avec un théorème de comparaison.
aie, la récurrence, je sais pas trop comment faire, vous pouvez m'aider sil vous plait, afin que je puisse bien comprendre merci
Bonsoir ! 
Tu n'as qu'a appelé PN la proposition : (n+1)/2 
n
Tu commences avec l'initialisation où tu vérifie que P0 est vraie dc tu calcules P0
Ensuite tu fais l'Hérédité où tu dis : On suppose que pour un entier n arbitraire tel que n
, PNest vraie ( (n+1)/2 n )
et sous cette hypothèse, on démontre qu'alors PN+1 est vrai ( ((n+1)+1)/2 n+1 ) et tu calcules PN+1 c'est lors de cette étape que tu utilises ton hypothèse de récurrence mais celà tu as du le voir en cours normalement...
Ensuite tu conclus en disant que P0 est vraie et PN est héréditaire et dc PN est vraie 
En espérant t'avoir un peu aidé 
pour la cette question pourrions nous faire:
pour tout naturel n on a dapres la question précédente, ln n + n - 2n + 1 0.
dou n 2n + 1 0 dou (n+1)/(2) n. CQFD
par contre je suis embeter pour la limite pourriez vous maider sil vous plait merci
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