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paraboles tangentes a une droite donée en un point donné
salut a tous
J'ai juste besoin d'aide pour la première question svp
Dans un repère choisi, on note d la droite d'équation y = x + 2 et A le point d'abcisse 0 de cette droite. On se propose de déterminer toutes les paraboles d'équation y = ax² + bx + c
a différent de 0, qui sont tangentes a d en A.
1) Démontrer que chacune de ces paraboles à une équation de la forme y = ax² + x + 2
a réel non nul
donc ma première idée:
la parabole passe par A(0; 2) donc: a0² + b0 + c = 2
donc c = 2
ensuite je fais avec pour idée qu'une tangente ne touche qu'en un point: ax² + bx + 2 = x + 2
je transpose tout les termes a gauche, ça me donne:
ax² + (b - 1)x = 0
delta = (b - 1)²
si je veux qu'elle ne touche qu'en un point il faut que delta = 0 donc b = 1
mais après dans d'autres exos j'ai vu que des fois pour certaines courbes la tangente recoupe la courbe, donc en fait si on reprend a peu près cet exercice mais avec une fonction qui n'est pas du second degré, ce raisonnement est faux puisqu'il y aura plusieurs point commun a la courbe et a la droite?
Ensuite j'ai essayé une autre méthode pour cette question:
j'ai repri le fait que la parabole passe par a et donc que c = 2
ensuite j'ai dis que y = x + 2 sera donc la tangente à toutes les paraboles en A(0;2)
L'équation générale de la tangente à y = ax² + bx + c en x = d est:
y = (2ad + b)( x - d) +ad² + bd + c
y = (2ad + b)x - ad² + c
après je cherche une relation entre les coeffs avec x + 2:
(2ad + b)x - ad² + c = x + 2
égalité des coeffs donc:
2ad + b = 1
-ad² + 2 = 2
-ad² = 0
ici d = 0
et j'obtiens b = 1
bon la en fait je galère voila, un bon coup de pouce ça serait vraiment bien
et si vous avez une solution mieux, je suis aussi preneur
merciii
bonjour
ax²+(b-1)x = 0
x(ax²+b-1) = 0
soit x = 0
soit x = (1-b)/a avec a non nul
tgte => solution double => x=0=(1-b)/a donc b=1
Bonjour
Tu calcules le nombre dérivée de f(x) = ax² + bx + c en x = 0
C'est le coefficient directeur de la tangente.
"ensuite je fais avec pour idée qu'une tangente ne touche qu'en un point"
pour certaines courbes, la tangente peut la recouper "plus loin": non ?
Pour ta première méthode je pense que tu peux utiliser le fait que f'(o)=coeff de la tangente en 0 = 1. Et tu as f'(0)= 2ax + b
déjà merci pour toutes ces réponses aussi rapides ^^
mikayaou:
c'est pas trop loin de ce que j'ai fait, quand j'ai fait delta = 0
sinan je savais pas que:
tgte => solution double
siOk:
oui je parlais du cas ou la courbe recoupe "plus loin", pas des points d'inflexion
CathrX:
c'est pas grave, j'ai fait compliqué aussi :s
je sis parti avec l'idée que la tangente ne touche qu'en un point prce je croyais me rappeller avoir appris un truc comme ça au collège mais le souvenir est très vague
"la tangente ne touche qu'en un point prce je croyais me rappeller avoir appris un truc comme ça au collège mais le souvenir est très vague"
pour un cercle ! Bon, ceci étant c'est vrai aussi pour les paraboles (mais non démontré)
nan pas démontré en cours, sinan quelle solution se rapprocherait la + de celle du livre?
re merci
ta façon de faire
L'équation générale de la tangente à y = ax² + bx + c en x = d est:
y = (2ad + b)( x - d) +ad² + bd + c
y = (2ad + b)x - ad² + c
après je cherche une relation entre les coeffs avec x + 2:
(2ad + b)x - ad² + c = x + 2
égalité des coeffs donc:
2ad + b = 1
-ad² + 2 = 2
-ad² = 0
ici d = 0
et j'obtiens b = 1
semble correcte; pourquoi ne te plaît-elle pas ?
Il avait deux idées: celle-ci est correcte (sa seconde idée)
Mais sa première idée était de trouver les points d'intersection de la tangente et de la courbe en résolvant: ax² + bx + 2 = x + 2
ensuite, il calculait a et b en admettant qu'il n'y avait qu'un point d'intersection... ce qui est le cas pour une parabole mais pas avec toutes les courbes et ses tangentes.
si le point est dit "double" ( ou point à la puissance 2p ), ne peut - on pas affirmer que c'est une tgte ?
1) quel théorème ? Sans admettre que la tangente ne coupe qu'une fois la courbe ?
2) pour f(x) = (x-2)²(x+2)², la tangente en 1 coupe la courbe en d'autres points que le point de contact. Les absisses de ces points sont aussi des solutions de:
(x-2)²(x+2)² = -12 x + 9 (équation de la tangente)
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