bonjour tout le monde! voila, j'ai un dm à rendre et je n'arrive pas trop, si quelqu'un pourrait m'aider je les remercie!
voici l'énoncé:
1) Calcul d'une limite fondamentale. Soit M un point du cercle trigonométrique, situé sur le quart du cercle AB, et x la longueur de l'arc de cercle AM (comprise entre 0 et 2/)
a) Montrer que l'aire du secteur du disque limité par les points O, A et M et égale à x/2
b) On admet que l'aire du secteur du disque OAM est comprise entre lm'aire du triangle OAM et celui de OAT.
Déduire que sin x < x < tan x
c) En déduire que cos x < sinx/x < 1
d) En utilisant la parité des fonctions, en déduire que si M appartient au quart de cercle AC, on a la relation:
cos x < sinx/x < 1
e) En déduire la valeur de la limite qui tend vers 0 de sinx/x. Contrôler ce résultat grâce à des observations numériques et graphiques.
f) En déduire que la fonction sinus est dérivable en 0. Donner la valeur de son nombre dérivé en ce point. Que peut-on conclure pour la courbe de la fonction sinus au voisinagede 0?
2) Détermination de la fonction dérivé de la fonction sinus.
a) Ecrire la définition du nombre dérivé en x de la fonction sinus.
b) En utilisant la formule trigonométrique :
sina - sinb = 2sin (a-b/2) cos ( a+b/2)
prouver que:
sin(x+h)-sin x/h = (sin h/2)/(h/2) cos(x+ h/2)
c) En déduire que la fonction sinus ets dérivable sur R (réel), puis donner sa dérivée.
3) En utilisant cos x = sin ( /2 -x), déduire de la question 2 la dérivée de la fonction cosinus.
voici donc l'énoncé qui est un petit peu long dsl, mais je suis completement perdu merci pour votre aide
Bonjour,
Commençons par l' aire d' un secteur de disque.
Pour un secteur de rayon donné (ici 1):
L' aire d' un tel secteur est proportionnelle à la longueur de l' arc intercepté. (ici x).
L' aire d' un disque de rayon 1 est .L' arc intercepté à pour longueur
Appelons A l' aire cherchée:
A correspond à l' aire d' un secteur interceptant un arc de longueur x
correspond à l' aire d' un secteur interceptant uun arc de longueur
Tu n' as plus qu' a faire une règle de trois.
Re,
Je n' ai fait que traduire la proportionnalité de l' aire d' un secteur angulaire par rapport à l' arc intercepté:
L' aire d' un disque de rayon 1 interceptant un arc (le périmètre du disque) de longueur est .
L' aire du secteur angulaire cherchée interceptant un arc de longueur est A;
D' où et le résultat.
Je ne pense pas avoir écrit quelque chose d' extraordinaire si ?
salut
l'aire d'un secteur d'angle alpha de rayon r s'ecrit
A=pi*r^2*alpha/2pi=alpha*r^2/2
x=2*pi*r*alpha/2pi=r*alpha.
dans un cercle trigo r=1
donc x=alpha
et A = alpha/2=x/2
merci j'avais fait un essai dans le même genre
faut commencer par l' aire d' un secteur de disque.
Pour un secteur de rayon donné (ici 1):
L' aire d' un tel secteur est proportionnelle à la longueur de l' arc intercepté. (ici x).
L' aire d' un disque de rayon 1 est .L' arc intercepté à pour longueur
Appelons A l' aire cherchée:
A correspond à l' aire d' un secteur interceptant un arc de longueur x
correspond à l' aire d' un secteur interceptant uun arc de longueur
il reste plus qu' a faire une règle de trois.
quelqu'un à une idée pour les questions d) e) et f)? j'ai plus spécialement de mal à les faire? mercii
Pour la d), je pense qu'il s' agit du demi cercle BC
On a sur le quart de cercle AC c' est à dire pour : (1)
Or et
Pour , on peut appliquer la relation (1) à
On obtient :
ou bien: avec
La relation est donc vraie pour c' est à dire sur le demi cercle BC
merci pour ton aide pour les autres questions la a). pour la b) et c) j'ai réussi à la faire. pour les gendarmes...la seule chose que je connaisse c'est on mon professeur de math a parlé de chapeau de gendarme mais c'était pas dans ce chapitre....donc je ne vois pas lol
Le théorème dit "des gendarmes":
Si, pour assez voisin de , on a: et si et ont la même limite en , alors
En l' appliquant à ton inégalité pour , tu dois arriver à une conclusion.
mais je ne l'set jamais vu, je ne vois pas comment faire. et dans la fonction il n'y a pas de a....dsl je ne vois pas...merci...
j'ai essayer de faire:
tu sais que cos x < sinx/x < 1
donc dejà tu as que sin(x)/x<1 de plus la limite de cox qui tend vers 0 = cos (0) = 1
d'apres le theoreme des gendarmes (ou de l'hopital)
on a: la limite qui tend vers 0 de sin(x)/x = 1
qu'en pense tu? je ne suis pas sûr...merci
merci je pense que ceci est juste!
mais après quelq'un aurait une idée?
pour moi, pour la f et la e, c'est dans le même genre,...
après, dans le2) je vois pas comment faire...faut-il utiliser la formule habituelle?
et pour le b) par contre même pas d'idée....
merci encore
bonjours tout le monde! depuis avant j'ai continuer et j'ai réussi à avancer! quelqu'un pourrait-il m'aider pour les questions svp :
1) f
2) b et c
et le 3)
poure la f j'ai commencer: f'(xo) = f(x)-f(xo)/x-xo...mais après j'arrive plus à continuer....
salut
pour la f
une fonction est derivable en a si lim (f(a+h)-f(a))/h existe pour pour h tend vers 0
pour sinus en 0 on a
pour h tend vers 0, lim (sin(0+h)-sin(0))/h=lim (sin(h))/h=1
donc sinus est dervivable, sa derivée vaut 1 en 0 donc la courbe au voisinage de zero est continue, croissante et la pente en x=0 vaut 1
2a
f'(x)=lim (f(x+h)-f(x))/h pour h tend vers 0
2b
sin(x+h)-sin x/h=2*sin((x+h-x)/2)cos((x+h+x)/2)
=2*sin(h/2)cos(x+h/2)
donc(sin(x+h)-sin x/h)/h=(2/h)*sin(h/2)cos(x+h/2)
2c
si derivable la limite quand h tend vers zero de (2/h)*sin(h/2)cos(x+h/2) existe.
lim(2/h)*sin(h/2)cos(x+h/2)=
lim(sin(h/2)/(h/2))cos(x+h/2)=
lim(sin(h/2)/(h/2))*limcos(x+h/2)=
1*cosx=cosx
donc sinus est derivble et se derivee est cos x
3
cosx=sin(pi/2 - x)
(cosx)'=(sin(pi/2-x))'=(pi/2-x)'sin'(pi/2-x)=-cos(pi/2-x)=-sinx
merci très beaucoup pour ton aide!!!!!!!
dernière petite question: j'ai fait la e) et j'ai utilisé la formule f(x+h)-f(x))/h...mais je ne suis pas sur qu'il faut utiliser sa? car la questioon était e) En déduire la valeur de la limite qui tend vers 0 de sinx/x. Contrôler ce résultat grâce à des observations numériques et graphiques
??? merciiii
quelqu'un aurait-il une aide pour la question e) , moi je pense utilisé la forule du nombre dérivé....???
Pour la e)
Tu as pour , l' inégalité: .
Or
Le théorème dit "des gendarmes" te permet de conclure : .
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