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dérivé

Posté par jiji67 (invité) 16-03-07 à 09:59

bonjour tout le monde! voila, j'ai un dm à rendre et je n'arrive pas trop, si quelqu'un pourrait m'aider je les remercie!

voici l'énoncé:

1) Calcul d'une limite fondamentale. Soit M  un point du cercle trigonométrique, situé sur le quart du cercle AB, et x la longueur de l'arc de cercle AM (comprise entre 0 et 2/)

    a) Montrer que l'aire du secteur du disque limité par les points O, A et M et égale à x/2
    b) On admet que l'aire du secteur du disque OAM est comprise entre lm'aire du triangle OAM et celui de OAT.
Déduire que sin x < x < tan x
    c) En déduire que cos x < sinx/x < 1
    d) En utilisant la parité des fonctions, en déduire que si M appartient au quart de cercle AC, on a la relation:
cos x < sinx/x < 1
     e) En déduire la valeur de la limite qui tend vers 0 de sinx/x. Contrôler ce résultat grâce à des observations numériques et graphiques.
     f) En déduire que la fonction sinus est dérivable en 0. Donner la valeur de son nombre dérivé en ce point. Que peut-on conclure pour la courbe de la fonction sinus au voisinagede 0?

2) Détermination de la fonction dérivé de la fonction sinus.

   a) Ecrire la définition du nombre dérivé en x de la fonction sinus.
   b) En utilisant la formule trigonométrique :
          sina - sinb = 2sin (a-b/2) cos ( a+b/2)
    prouver que:
      sin(x+h)-sin x/h = (sin h/2)/(h/2) cos(x+ h/2)

   c) En déduire que la fonction sinus ets dérivable sur R (réel), puis donner sa dérivée.

  3) En utilisant cos x = sin ( /2 -x), déduire de la question 2 la dérivée de la fonction cosinus.

voici donc l'énoncé qui est un petit peu long dsl, mais je suis completement perdu merci pour votre aide

Posté par
cailloux Correcteur
re : dérivé 16-03-07 à 10:58

Bonjour,

Commençons par l' aire d' un secteur de disque.
Pour un secteur de rayon donné (ici 1):
L' aire d' un tel secteur est proportionnelle à la longueur de l' arc intercepté. (ici x).
L' aire d' un disque de rayon 1 est \pi R^2=\pi.L' arc intercepté à pour longueur 2 \pi R=2 \pi
Appelons A l' aire cherchée:

A correspond à l' aire d' un secteur interceptant un arc de longueur x
\pi correspond à l' aire d' un secteur interceptant uun arc de longueur 2\pi

Tu n' as plus qu' a faire une règle de trois.

Posté par jiji67 (invité)re 16-03-07 à 11:22

merci pour ton aide...mais j'ai du mal à comprendre ta réponse...

Posté par
cailloux Correcteur
re : dérivé 16-03-07 à 11:31

Re,

Je n' ai fait que traduire la proportionnalité de l' aire d' un secteur angulaire par rapport à l' arc intercepté:

L' aire d' un disque de rayon 1 interceptant un arc (le périmètre du disque) de longueur 2\pi est \pi.
L' aire du secteur angulaire cherchée interceptant un arc de longueur x est A;

D' où \frac{A}{\pi}=\frac{x}{2 \pi} et le résultat.
Je ne pense pas avoir écrit quelque chose d' extraordinaire si ?

Posté par
belgium92
re : dérivé 16-03-07 à 11:33

salut
l'aire d'un secteur d'angle alpha de rayon r s'ecrit
A=pi*r^2*alpha/2pi=alpha*r^2/2
x=2*pi*r*alpha/2pi=r*alpha.
dans un cercle trigo r=1
donc x=alpha
et A = alpha/2=x/2

Posté par jiji67 (invité)re 16-03-07 à 11:39

merci j'avais fait un essai dans le même genre
faut commencer par l' aire d' un secteur de disque.
Pour un secteur de rayon donné (ici 1):
L' aire d' un tel secteur est proportionnelle à la longueur de l' arc intercepté. (ici x).
L' aire d' un disque de rayon 1 est .L' arc intercepté à pour longueur
Appelons A l' aire cherchée:

A correspond à l' aire d' un secteur interceptant un arc de longueur x
correspond à l' aire d' un secteur interceptant uun arc de longueur

il reste plus qu' a faire une règle de trois.

quelqu'un à une idée pour les questions d) e) et f)? j'ai plus spécialement de mal à les faire? mercii

Posté par
cailloux Correcteur
re : dérivé 16-03-07 à 11:55

Pour la d), je pense qu'il s' agit du demi cercle BC

On a sur le quart de cercle AC c' est à dire pour x>0: cos\,x \leq \frac{sin\,x}{x} \leq 1 (1)
Or sin(-x) = -sin\,x et cos(-x)=cos\,x

Pour x<0, on peut appliquer la relation (1) à -x

On obtient : cos\,(-x) \leq \frac{sin\,(-x)}{-x} \leq 1

ou bien: cos\,x \leq \frac{sin\,x}{x} \leq 1 avec x<0

La relation est donc vraie pour -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} c' est à dire sur le demi cercle BC

Posté par
cailloux Correcteur
re : dérivé 16-03-07 à 11:57

Pour la e), pense aux gendarmes...

Posté par jiji67 (invité)re 16-03-07 à 12:03

merci pour ton aide pour les autres questions la a). pour la b) et c) j'ai réussi à la faire. pour les gendarmes...la seule chose que je connaisse c'est on mon professeur de math a parlé de chapeau de gendarme mais c'était pas dans ce chapitre....donc je ne vois pas lol

Posté par
cailloux Correcteur
re : dérivé 16-03-07 à 13:31

Le théorème dit "des gendarmes":

Si, pour x assez voisin de a, on a: u(x) \leq f(x) \leq v(x) et si u et v ont la même limite l en a, alors \lim_{x\to a}f(x)=l

En l' appliquant à ton inégalité pour a=0, tu dois arriver à une conclusion.

Posté par jiji67 (invité)re 16-03-07 à 17:39

mais je ne l'set jamais vu, je ne vois pas comment faire. et dans la fonction il n'y a pas de a....dsl je ne vois pas...merci...

Posté par jiji67 (invité)re 16-03-07 à 17:50

j'ai essayer de faire:

tu sais que cos x < sinx/x < 1

donc dejà tu as que sin(x)/x<1 de plus  la limite de cox qui tend vers 0 = cos (0) = 1
d'apres le theoreme des gendarmes (ou de l'hopital)

on a: la limite qui tend vers 0  de sin(x)/x = 1

qu'en pense tu? je ne suis pas sûr...merci

Posté par jiji67 (invité)re 16-03-07 à 19:45

merci je pense que ceci est juste!

mais après quelq'un aurait une idée?


pour moi, pour la f et la e, c'est dans le même genre,...

après, dans le2) je vois pas comment faire...faut-il utiliser la formule habituelle?

et pour le b) par contre même pas d'idée....

merci encore

Posté par jiji67 (invité)re 16-03-07 à 21:40

bonjours tout le monde! depuis avant j'ai continuer et j'ai réussi à avancer! quelqu'un pourrait-il m'aider pour les questions svp :

1)  f
2) b et c
et le 3)

poure la f j'ai commencer: f'(xo) = f(x)-f(xo)/x-xo...mais après j'arrive plus à continuer....

Posté par
belgium92
re : dérivé 16-03-07 à 21:41

salut
pour la f
une fonction est derivable en a si lim (f(a+h)-f(a))/h existe pour  pour h tend vers 0
pour sinus en 0 on a
pour h tend vers 0, lim (sin(0+h)-sin(0))/h=lim (sin(h))/h=1
donc sinus est dervivable, sa derivée vaut 1 en 0 donc la courbe au voisinage de zero est continue, croissante et la pente en x=0 vaut 1

Posté par
belgium92
re : dérivé 16-03-07 à 21:52

2a
f'(x)=lim (f(x+h)-f(x))/h pour h tend vers 0
2b
sin(x+h)-sin x/h=2*sin((x+h-x)/2)cos((x+h+x)/2)
=2*sin(h/2)cos(x+h/2)
donc(sin(x+h)-sin x/h)/h=(2/h)*sin(h/2)cos(x+h/2)
2c
si derivable la limite quand h tend vers zero de (2/h)*sin(h/2)cos(x+h/2) existe.
lim(2/h)*sin(h/2)cos(x+h/2)=
lim(sin(h/2)/(h/2))cos(x+h/2)=
lim(sin(h/2)/(h/2))*limcos(x+h/2)=
1*cosx=cosx
donc sinus est derivble et se derivee est cos x
3
cosx=sin(pi/2 - x)
(cosx)'=(sin(pi/2-x))'=(pi/2-x)'sin'(pi/2-x)=-cos(pi/2-x)=-sinx

Posté par jiji67 (invité)re 16-03-07 à 22:30

merci très beaucoup pour ton aide!!!!!!!

dernière petite question: j'ai fait la e) et j'ai utilisé la formule f(x+h)-f(x))/h...mais je ne suis pas sur qu'il faut utiliser sa? car la questioon était e) En déduire la valeur de la limite qui tend vers 0 de sinx/x. Contrôler ce résultat grâce à des observations numériques et graphiques

??? merciiii

Posté par jiji67 (invité)re 17-03-07 à 19:51

quelqu'un aurait-il une aide pour la question e) , moi je pense utilisé la forule du nombre dérivé....???

Posté par
cailloux Correcteur
re : dérivé 17-03-07 à 20:38

Pour la e)

Tu as pour -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}, l' inégalité: cos\,x \leq \frac {sin\,x}{x} \leq 1.

Or \lim_{x\to0}cos\,x=1

Le théorème dit "des gendarmes" te permet de conclure : \lim_{x\to0}\frac{sin\,x}{x}=1.

Posté par jiji67 (invité)re 17-03-07 à 21:13

ah oui je l'avais déjà utilser dans la question d) ce théorème....



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