dérivée de la fonction sinus

Posté par marion131 marion131

bonjours à tous les internautes.
j'ai un Dm a rendre pour lundi sur les dérivées, alor qu'on en a à peine parler en cours. Ce qui fait que je "nage" complètement.

1) Calcul d'une limite fondamentale Soit M un point du cercle trigonométrique, situé sur le quart de cercle AB, et x la longeur de l'arc de cercle AM( comprise entre  et /2).

a. Montrer que l'aire du secteur du sique limité par les points O, A et M est égale à x/2.

-> Je ne sais pa du tout comment faire. Je pense qu'il y a surement un rapport avec /2, mais je ne comprend pas, vu qu'on a même pas de fonction.  

b. On admet que l'aire du secteur du disque OAM est comprise entre l'aire du triangle OAT et l'aire du triangle OAM.
En déduire que sinx < x < tanx.

-> cette question est bizard, parce que c'est presque évident. Il faut juste calculer la distance AM en fonction de x et montrer que dans ce cas elle est plus petite que x ? ... en réalité, je pige pas trop.

c. En déduire que cosx < sinx/x < 1.

-> il doit y avoir un moyen de passer de la premiere relation à celle -ci, mais je vois pas trop comment :s

d. En utilisant la parité des fonctions, en déduire que si M appartient au quart de cercle AC, on a la relation :  cox< sinx/x < 1

-> déjà je ne sais pas ce qu'est la parité des fonctions, et puis je comprends pas pourquoi on obtient de nouveau la même relation que précedemment..

e. En déduire la valeur de lim x->0  sinx/x. Contrôler ce résultat grâce à des observations numériques et graphiques.

-> le resultat n'est pas 0? ça serait le plus probable, puisque si on remplace x par 0 dans sinx/x, ça fait bien 0. mais qu'est-ce qu'ils entendent par observations num et graphiques ???

f. En déduire que la fonction sinus est dérivable en 0. Donner la valeur de son nombre dérivé en ce point. Que peut-on conclure pour la courbe de la fonction sinus au voisinage de 0?

->on sait que la dérivée de la fonction sinus et cosinus, et cette dernière est bien dérivable en 0. Or cosx = 1, donc la valeur du nombre dérivé est 1 ?? Par contre pour la conclusion à faire, je pige pas trop

Bon je fini avec sa, même s'il sagit q'une partie du DM ( il rest environ le double de sa...pas de chance ), mais vous n'êtes pas là que pour me fair emon Dm en entier. Voilà. Bonne journée, et svp, repondez le plus tôt possible, style aujourd'hui, ou demain. Merci de votre comprehension. Au revoir.

Posté par mikayaou mikayaou

bonjoiur

un disque (angle 2pi) de rayon R a pour surface piR² = (2pi/2).R²

un secteur d'angle x radians a pour surface (x/2)R²; comme R=1 => surface = x/2
A vérifier

Posté par marion131 marion131

ah oui, vu comme sa, ça n'a pas l'air d'être sorcier...merci mikayaou, par contre le reste

Posté par mikayaou mikayaou

l'aire OAM = base * hauteur / 2 = 1 * sinx / 2

l'aire OAT = base * hauteur / 2 = 1 * tanx / 2

A toi

Posté par marion131 marion131

ok: donc on a l'aire du sique OAM qsui estts de x/2  ; l'aire du triangle OAM= sinx/2  et l'aire du triangle OAT= tanx/2....

Mais comment on sait que sinx < x < tanx ?? Car ça m'étonnerait que l'on puisse dire sa uniquement graphiquement..n'est-ce pas ?

Posté par mikayaou mikayaou

ça m"étonnerait aussi

en revanche en relisant ton énoncé, tu devrais  y arriver, non ?

Posté par marion131 marion131

mais oui que je suis bête! ils le disent tout simplement!
il suffit donc que je dise que si on admet que  aire OAM < aire disque OAM < aire OAT, en echangeant par les valeurs sa donne:
sinx/2 < x/2 < tanx/2 et que donc dans ce cas, sinx < x < tanx
c'est bien ça ?

p.s: oh fait merci beaucoup de pas me dire les réponses toutes faites, parce que sa me force a réfléchir, et je comprendrais mieux, surtout si mes camarades me demandent de l'aide. parce que aider des gens si moi même je ne comrpends pas...sa ne serait pas évident lol.
On continue la suite ? ^^

Posté par mikayaou mikayaou

ton message devrait être encadré, marion

bien sûr qu'on continue : si tous les mathîliens étaient comme toi...l'île de maths n'existerait plus

Posté par marion131 marion131

^^ mais heureseument pour l'ile de math il n'y a pas que des gens comme moi.

pour la question c, je comprend qu'on puisse changer sin x par cos x vu qu'il s'agit de sa fonction dérivée, mais par contre, passer de x à sinx/x et tanx par 1, sa reste plutot flou... mais sa m'etonnerais que ça ai un rapport avec les dérivées usuelles..

Posté par mikayaou mikayaou

un indice ?

en faisant attention aux signes, prends les inverses de sinx < x < tanx

A toi

Posté par marion131 marion131

oula, tu me pose une vrai colle là...

les inverses comment ça ? par rapport au cercle trigonométrique ?

je ne peux pas avoir un 2eme indice ?

Posté par mikayaou mikayaou



si a < b < c comment situes-tu 1/a et 1/b et 1/c ?

Posté par marion131 marion131

ben 1/a > 1/b > 1/c  par chance je sais encore sa

donc si je prend les inverses, j'obtiens  1/sinx > 1/x > 1/tanx

sauf que ça ne m'avance pas plus...

Posté par mikayaou mikayaou

bien

maintenant, plutôt que je te dise quoi faire de façon impérative, regarde plutôt vers quoi tu dois aboutir...

et rappelle-toi que tanx = sinx/cosx

A toi

Posté par marion131 marion131

ahh  si attend, j'ai peut être une piste. tu me dis si je me trmpe:
1/sinx > 1/x > 1/tan x
or 1/tanX = cox/sinx
donc on a: 1/sinx> 1/x > cosx/ sinx
de plus, 1/x qu'iobn multiplie par sinx, sa donne sinx/x

donc on obtient bien  cosx < sinx/x < 1

Posté par marion131 marion131

mince tu m'a devancé avan que je poste mon 2eme message zut, moi qui voulais te montrer que j'arrivais lol

Posté par mikayaou mikayaou

c'est parfait ! t'as pratiquement plus besoin de nous !

Posté par marion131 marion131

heu non quand même pas lol, mais je suis fiere d'avoir compris jusque là ^^

si tu le veux bien, on peut continuer, parce que sa me rassure qu'on m'encadre pour les maths, sinon je part dans tous les sens lol.  que veut dire la parité des fonctions ?

Posté par mikayaou mikayaou

aller, un conseil pour prendre de l'autonomie : essaie d'aller sur l'encyclopédie de l'île pour tenter de t'en sortir toute seule :

lettre P comme PARITE : clique sur la maison

si tu bloques, reviens, on t'explique

tu essaies ?

Posté par marion131 marion131

il faut bien que j'essaye, car qui tente rien, n'a rien!

je viens d'y aller.. donc la parité des fonctions c'est uniquement de savoir si la fonction est paire ou impaire ?
donc si j'examine mon cas, l'arc de cercle AC est l'inverse de l'arc de cercle AB. Ce qui expliquerais tous. En effet, si sur l'arc de cercle AB, on obtient la relation : sinx < x < tanx ; sur l'arc de cercle AC qui est son inverse, on obtient cosx < sinx/x < 1.
Je pense que ce que j'ai dis peut etre juste, par contre, comment expliquer que l'arc AC est l'inverse de l'arc AB ?

Posté par mikayaou mikayaou

hum...presque

en fait, la relation à laquelle tu as abouti cosx < sinx/x < 1 n'est vraie que pour x>0 donc pour M sur le segment AB

si tu changes x en -x, ce qui revient à faire varier M sur AC :

cos(x) = cos(-x) car cosinus est paire

sin(x)/(x) = (-sinx)/(-x) = sin(-x)/(-x) car sinus et x sont impaires

et donc

cos(-x) < sin(-x)/(-x) < 1

si on appelle X l'angle sur AC : cosX < sinX/X < 1 qui est aussi vraie

comprends-tu ?

Posté par marion131 marion131

ah daccord! je viens de comprendre (aprés 4 lectures lol)
il y a juste à la fin, qi je comprends bien
cos(-x) < sin(-x)/(-x) < 1 lorsque x est l'angle sur AB ?
mais x n'est pas un angle, c'est la longeur de l'arc AM :s gloups je suis de nouveau perdue sur ce coup là

Posté par mikayaou mikayaou

x est un arc, en radian ( ton énoncé dit 0<x<pi/2 )

si x est sur AB, -x ( que j'appelle X pour les différentier ) est sur AC

Posté par marion131 marion131

ah daccord, je viens de comprendre maintenant merci beaucoup. la rédaction sera plus compliquée, mais je m'en sortirais déjà lol.

pour la e)  la valeur de la lim quand x tend vers 0 de sinx/x  c'est bien 0 non ?  y a pas une astuce pour le controler ?
attention les vraies questions dures viennent maintenant lol

Posté par mikayaou mikayaou

l'astuce tu l'as sous les yeux

tu sais que cosx < sinx/x < 1

pour chacun des membres, fais tendre x vers 0

A toi

Posté par marion131 marion131

oui mais graphiquement parlant ? parce que ma calculatrice m'affiche rien du tout

Posté par mikayaou mikayaou

ta calculette ne donne pas ça ?

Posté par marion131 marion131

non, jsais pa ce qu'il se passe, à croire qu'elle fait grève juste quand j'en ai beosin...

Posté par marion131 marion131

ioupii me reste une question dans cette partie ( le reste je ferais demain, parce que là je commence à avoir faim :lol
oyéé là il faudra m'aider, parce que je comprends pas trop trop, enfin pas du tout même...

Posté par mikayaou mikayaou

pour la dérivabilité, il faut que tu revois ton cours pour retrouver ce qu'est :

lim [ sinx - sin0 ]/[ x - 0 ]
x->0

A toi

Posté par marion131 marion131

ben dans ce cas sa fait 0 non ?. donc dans ce cas la fonction ets dérivable, et on peut conclure qu'au voisinage de zéro, la fonction diminue jusqu'à être nulle. ( enfin j'ai un vague souvenir d'avoir vu sa un moment lol)

Posté par mikayaou mikayaou

tu fais des confusions marion

on te demande la dérivée de sinx en x=0

Posté par marion131 marion131

tu pourrais pas m'aider ?? parce que là se seche completement...

Posté par marion131 marion131

j'ai peut être trouvé. une fonction est dérivable en 0 quand il existe la limite quand x tend vers 0 de (sinx-sin0)/(x-0)  or sin0=0, donc on se retrouve avec la limite de sinx/x ce qu'on a calculé avant ( enfin j'ia touvé 1) donc dans ce cas, la fonction sinus est dérivable en 0 et a pour nombre dérivé en ce point 1. exacte ?

Posté par Rafalo Rafalo

d'abors je ne sais pas si ton théorème est  juste masi en tout cas sin (0)=1

Posté par Rafalo Rafalo

non sin (0)=0 j'ai confondu

Posté par marion131 marion131

oula je comprends plus..certains me disent que sin0=1 et d'autres =1...c'est qoui la bonne réponse ?

Posté par mikayaou mikayaou

reviens à la définition du sinus

prends un adjacent AB et une hypothénuse AC donnés ainsi qu'un angle x donné

sinus(Â) = opposé/hypo = BC/AC

fais tendre x vers 0 et vois ce que donne le sinx

Posté par marion131 marion131

je rappelle juste que je suis en 1ere uniquement lol. Y a pas une explication plus simple ?
Moi je dirais que la valeur de son nombre dérivé est egal à 1. Sa tangente aurait donc pour équation f->x, ce qui fait que sa passera par O. et que donc la fonctions sinus en elle-même passe aussi par 0. enfin..je crois..

Posté par mikayaou mikayaou

je répondais à ta question de sinus, pas de sa dérivée

en e) tu as montré que sinx/x -> 1 qd x->0

et on te demande la dérivabilité en 0

est-on d'accord jusqu'ici ?

Posté par marion131 marion131

heu oui, pour sinx/x je suis daccord

Posté par mikayaou mikayaou

je reposte celui de 19:04, hier

pour la dérivabilité, il faut que tu revois ton cours pour retrouver ce qu'est :

lim [ sinx - sin0 ]/[ x - 0 ]
x->0

A toi
:=

Posté par marion131 marion131

ben je me suis dit que comme sin(0)=0, on obtient:
lim sinx/x
x->0

donc dans ce cas, la limite quand x tend vers 0 de la fonciton sinus  est egalement 1.

Posté par mikayaou mikayaou

la formule, mise sous la forme :

lim [ f(x) - f(x0) ]/[ x - x0 ]
x -> x0

ne te rappelle rien ?

Posté par marion131 marion131

ben il s'agit du nombre dérivé non ? qui est également le coeff directeur de la tangente de la courbe en ce point.

Posté par mikayaou mikayaou

parfait

donc

lim [ sinx - sin0 ]/[ x - 0 ] = lim sinx/x = 1
x->0                                     x->0

signifie que la fonction sinx est dérivable en x=0 et que sa tangente a pour pente 1

saisi ?

Posté par marion131 marion131

ah daccord!! au départ j'avais cru que cela signifiat que la foncitons sinus passait par 1 en 0. mais c'ets vrai qu'il s'agissait uniquement de sa réivée et pas de la fonction en elle-même.
Merci beaucoup pour ton aide! je vais y alelr, mettre un peu toutes les infos en ordres.
p.s: si j'ai des problemes je reviendrais ^^

Posté par mikayaou mikayaou

pas de souci marion

A+

Posté par mikayaou mikayaou

donne la suite de ton pb : il a l'air intéressant

Posté par roca69 (invité)

Bonjour à tous
Moi aussi j'ai le même DM à faire...
Par contre moi je bloque pour la suite des questions...

2. Détermination de la fonction dérivée de la fonction sinus
a) Ecrire la définition du nombre dérivée de la fonction sinus.
--> Je comprends pas ce qu'ils veulent savoir :s... Il suffit d'écrire que le dérivée de la fonctions sinus c'est cosinus?

b) En utilisant la formule trigonométrique:
   sin a - sin b = 2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]
prouver que:
((sinx+h)-(sinx))/h = [(sin(h/2))/(h/2))]cos(x+(h/2))

c) En déduire que la fonction sinus est dérivable sur , puis donner sa dérivée.

3) En utilisant cosx= sin ((/2)-x), déduire de la question 2) la dérivée de la fonction cosinus.

Si vous pourier me donner quelques indices et maidez sa serais gentil car je suis vraiment perdu ... Merci davance