Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Fonction et logarithme
Bonsoir!
J'ai un devoir et je bloque. Le voila:
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0;+inf[ par: f(x) = ((x²+4)/x²)ln x. On désigne par C la courbe représentative de f dans un plan rapporté au repère orthonormal (O;i;j).
Partie A:
1)Etudier le sens de variation de la fonction g, définie sur ]0;+inf[ par g(x)= -8lnx+x²+4.
J'ai trouvé g'(x)=(2x²-8)/x. Si x appartient ]0;2[, g'(x)<0, donc g est strictement décroissant sur ]0;2[. Si x appartient à ]2;+inf[, g'(x)>0, donc g est strictement croissant sur ]2;+inf[
2)Montrer que g passe par un minimum dont on calculera la valeur. En déduire le signe de g(x).
J'ai trouvé que g'(2)=0. Mais je ne sais pas comment faire donc g admet un minimum. Mais je n'arrive pas à trouver le signe.
3)Etudier la variation de f.
Je trouve g(x)/x^3. Si x appartient à ]0;2[, g(x)<0, donc f'(x)<0 et f est strictement décroissante sur ]0;2[. Si x appartient à ]2,+inf[, g(x)>0, donc f'(x)>0 et f est strictement croissant sur]2;+inf[.
4)Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Existe-t-il une asymptote à la courbe C parallèle à un axe de coordonnées?
Je trouve lim(x tend vers 0) f(x)= -inf et lim(x tend vers +inf) f(x)=+inf.
Partie B:
C désigne toujours la courbe représentative de f dans le repère (O;i;j) et Q représente la courbe représentative de ln dans le même repère. Soit h la fonction définie sur ]0;+inf[ par h(x)=f(x)-ln x.
1)Etudier le signe h. Qu'en déduire pour les courbes C et Q?
Je trouve h'(x)=(4-8lnx)/x^3 <=> (1-2lnx)*(4/x^3).
2)Calculer la limite de h en +inf.Qu'en déduire des courbes C et Q?
Merci de votre aide.
Bonjour,
ta dérivée s'annule et change de signe pour x=2 donc f(x) admet un minimum pour x=2
Les coordonnées de ce point sont (2;8-8ln(2))
Comme 8-8ln(2) > 0 on en déduit que g(x) > 0
3)Etudier la variation de f.
Je trouve g(x)/x^3. Si x appartient à ]0;2[, g(x)<0, donc f'(x)<0 et f est strictement décroissante sur ]0;2[. Si x appartient à ]2,+inf[, g(x)>0, donc f'(x)>0 et f est strictement croissant sur]2;+inf[.
Je ne comprends pas ton raisonnement...
On cherche f '(x) et on trouve f '(x) = g(x)/x^3
comme g(x) > 0 et x > 0 on a f '(x) > 0 et f(x) toujours croissante
Bonsoir.
Partie A
1°) Je trouve la même dérivée g'(x).
¤
¤
2°) Le tableau de variations montre que la fonction g passe par un minimum pour x = 2.
Ce minimum est : g(2) = 8(1 - ln(2)) > 0. (2 < e => ln(2) < ln(e) => ln(2) < 1).
On en déduit que : pour tout x € ]0,+
[, g(x) > 0.
3°) Effectivement f'(x) = . D'après la question 2°), g est positive, donc f'(x) est positive. Donc, f est strictement croissante sur ]0,+
[.
4°) Limites.
¤
¤
On peut en déduire que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe (C).
Partie B
Tu remarques que dans cette partie, on cherche l'écart entre (C) et (Q) :
quelle influence a le multiplicateur ?
1°) h(x) = f(x) - ln(x) = .ln(x)
Le signe est celui de ln(x) : négatif pour 0 < x < 1, puis positif pour x > 1.
Cela signifie que :
¤ si 0 < x < 1, (C) est au dessous de (Q)
¤ si x > 1, (C) est au dessus de (Q)
2°)
Cela signifie que (Q) est "asymptote à (C) en +.
A plus RR.
Annuler
connectez vous