Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 146 : Les sept samourais.

Bonjour,

Kambei, Katsushiro, Gorobei, Kyuzo, Eikachi, Shichiroji et Kikuchiyo s'ennuient a mourir en attendant l'arrivee de Takagi et ses bandits. Ils decident donc de faire un petit jeu et s'installent autour d'une table circulaire dans l'ordre donne au debut. (Kikuchiyo se trouve donc entre Shichiroji et Kambei.) Chacun depose 4 grains de riz devant lui. Ensuite ils se procurent 7 morceaux de roseau, 6 de taille identique et 1 dernier plus court.

Le deroulement du jeu est le suivant :

On procede a des tirages "a la courte paille". A chaque fois, celui qui perd doit donner un grain de riz a chacun de ses deux voisins, celui de gauche et celui de droite.

Si au cours de la partie celui qui tire la courte paille ne dispose pas d'assez de grains de riz pour "payer" ses voisins, alors il est elimine et les autres continuent sans lui. Dans le cas ou il lui reste un seul grain alors celui-ci est sorti du jeu et place dans un pot commun qui revient au vainqueur a la fin de la partie.

Apres plusieurs tirages, personne n'est encore elimine et Kambei s'apercoit que la repartition est telle que chaque samourai possede un nombre different de grain de riz. Voici ce qu'il en est precisement :

Kambei : 1   Katsushiro : 2   Gorobei : 3   Kyuzo : 4   Eikachi : 5   Shichiroji : 6   Kikuchiyo : 7


Combien de fois au minimum les samourais ont-ils tire a la courte paille depuis le debut de la partie pour arriver a cette situation ?


Question subsidiaire : Qui sont les 3 survivants sur la photo ?



Bonne reflexion.

minkus

Soit ai, le nombre de défaites subies par le samourai "i".
On peut écrire 4+a₇+a₂-2a₁=1 soit
a₇+a₂-2a₁=-3
a₁+a₃-2a₂=-2
etc
a₆+a₁-2a₇=+3
C'est un système de 7 équations à 7 inconnues (système lié).
La résolution donne comme solution minimale avec a_i>=0:
a₁=5
a₂=6
a₃=5
a₄=3
a₅=1
a₆=0
a₇=1

Soit 21 parties au minimum

Bonjour,

je pense qu'il y a eu au minimum 21 tirages.
Kambei aurait perdu au total 5 fois, Katsushiro 6 fois, Gorobei 5 fois, Kyuzo 3 fois, Eikachi 1 fois, Kikuchiyo 1 fois et Shichiroji jamais ! L'ordre importe peu, du moment que tout le monde reste avec un nombre positif ou nul de grains de riz.

Bonjour,

j'arrive à une solution en 21 étapes.

Bonjour,

En notant a,b,c,d,e,f,g le nombre respectif de fois où chaque samouraï a perdu, on est ramené à la résolution entière du système de 7 équations a 7 inconnues:
4-2a+b+g=1
4-2b+c+a=2
4-2c+d+b=3
4-2d+e+c=4
4-2e+f+d=5
4-2f+g+e=6
4-2g+a+f=7

Les solutions entières sont en nombres infinis et dépendent par exemple du paramètre a.
La plus petite somme vaut pour la solution (5;6;5;3;1;0;1) (les autres étant toutes multiples de 7 : 28,35,42... )

Ainsi il faudra un minimum de 21 tirages à la courte paille pour arriver à cette situation.

Les variantes sont nombreuses (sans passer par une élimination). En voici une :



Merci minkus pour l'énigme.

Joker pour les 3 survivants!

Je vais quand même poster ma solution ...

00 : 4 4 4 4 4 4 4
01 : 5 2 5 4 4 4 4
02 : 6 2 5 4 4 5 2
03 : 4 3 5 4 4 5 3
04 : 4 3 6 2 5 5 3
05 : 4 4 4 3 5 5 3
06 : 4 5 2 4 5 5 3
07 : 5 3 3 4 5 5 3
08 : 6 1 4 4 5 5 3
09 : 4 2 4 4 5 5 4
10 : 4 2 5 2 6 5 4
11 : 4 3 3 3 6 5 4
12 : 5 1 4 3 6 5 4
13 : 5 2 2 4 6 5 4
14 : 3 3 2 4 6 5 5
15 : 3 3 2 5 4 6 5
16 : 3 3 3 3 5 6 5
17 : 1 4 3 3 5 6 6
18 : 1 5 1 4 5 6 6
19 : 2 3 2 4 5 6 6
20 : 3 1 3 4 5 6 6
21 : 1 2 3 4 5 6 7

j'ai trouvé une solution en 21 tirages et il me semble qu'il n'y a pas plus simple

bonjour
il faut au moins vingt et un (21) tirages            
soient a à g les nombres respectifs de parties perdues de ceux qui ont encore 1 à 7 grains
le nombre (pouvant être négatif) de grains perdus par chacun égale deux fois ses parties perdues moins la somme des parties perdues par ses voisins :
2a-g-b = 3; 2b-a-c = 2; 2c-b-d = 1; 2d-c-e = 0; 2e-d-f = -1; 2f—e-g = -2; 2g-f-a = -3
on part de c et de e
d = (c+e)/2
b = 2c-d-1 = (3c-e-2)/2
f = 2e-d+1 = (3e-c+2)/2
a = 2b-c-2 = 2c-e-4
g = 2f-e+2 = 2e-c+4
a est aussi 2g-f+3 = 4e-2c+8 -(3e-c+2)/2 + 3 = (8e-4c+16-3e+c-2+6)/2 = (5e-3c+20)/2 = 2c-e-4
5e-3c+20 = 4c-2e-8; 7e+28 = 7c; c = e+4
avec e = 0; c = 4; d = 2; b = 5; f = -1; a = 4; g = 0
quand on augmnte e de 1, tous les autres nombres augmentent de 1
il faut donc l'augmenter au moins de 1
a = 5; b = 6; c = 5; d = 3; e = 1; f = 0; g = 1  : somme = 21
en nommant de A à G ceux qui ont encore respectivement 1 à 7 grains, une suite possible des perdants est : GEDDCCDCBBBAAABCCABBA

Bonjour Minkus,

Il y a sûrement plus simple mais...

Un minimum de parties se sont jouées

Soit x1 le nombre de parties perdues de Kambei
      x2                                                  Katsushiro
      x3                                                  Gorobei
      x4                                                  Kyuzo
      x5                                                  Eikachi
      x6                                                  Shichiroji
      x7                                                  Kikuchiyo

On a:
1=4-2x1+x2+x7: x1 perdues à 2 points, x2 gagné à 1 point, x7 gagné à 1 point
2=4-2x2+x3+x1
3=4-2x3+x4+x2
4=4-2x4+x5+x3
5=4-2x5+x6+x4
6=4-2x6+x7+x5
7=4-2x7+x1+x6

Dont les solutions sont en fonction de x7=t

x7=t
x6=t-1
x5=t
x4=t+2
x3=t+4
x2=t+5
x1=t+4

Soit t=1 ( à cause de x6)

x1=5,x2=6,x3=5,x4=3,x5=1,x6=0,x7=1
Le nombre de parties= x1+x2+x3+...+x7=21

Bonsoir
je pense que le nombre minimum est     21
A+

Bonjour,

Une énigme comme je les aime.

Je propose 21 tirage de courte paille.

Merci pour cette énigme

bonjour,

je ne trouve pas moins de 21 tirages
je suis parti de la répartition finale et ai fais le jeu à l'envers:
chaque gagnant recoit un grain de riz de ses deux voisins
et en faisanrt que chaque gagnant est celui qui a le moins de grains

voilà un exemple des tirages:

4444444
5444452
3544453
4354453
4435453
2535454
3345454
3353554
3434554
3435364
3443464
4253464
4334464
2434465
3244465
3325465
3333565
4143565
4224565
2324566
3134566
1234567

merci pour ce défi

Bonjour,
Je pense que le nombre minimal de tirages est 21.
Le jeu a pu par exemple se dérouler comme suit :

Position          Perdant
4 4 4 4 4 4 4  Eikachi
4 4 4 5 2 5 4  Kikuchiyo  
5 4 4 5 2 6 2  Katsushiro
6 2 5 5 2 6 2  Katsushiro
7 0 6 5 2 6 2  Gorobei
7 1 4 6 2 6 2  Gorobei
7 2 2 7 2 6 2  Gorobei
7 3 0 8 2 6 2  Kyuzo
7 3 1 6 3 6 2  Kyuzo
7 3 2 4 4 6 2  Kyuzo
7 3 3 2 5 6 2  Katsushiro
8 1 4 2 5 6 2  Kambei
6 2 4 2 5 6 3  Kambei
4 3 4 2 5 6 4  Kambei
2 4 4 2 5 6 5  Kambei
0 5 4 2 5 6 6  Katsushiro
1 3 5 2 5 6 6  Katsushiro
2 1 6 2 5 6 6  Gorobei
2 2 4 3 5 6 6  Gorobei
2 3 2 4 5 6 6  Katsushiro
3 1 3 4 5 6 6  Kambei
1 2 3 4 5 6 7  

Cordialement
Frénicle

En considérant l'écart entre le début et la fin de la partie :


Kambei doit perdre 3 points  
Katsushiro """"""  2  points  
Gorobei """""""""" 1 point  
Kyuzo garde le même nombre de points    
Eikachi gagne 1 point
Shichiroji "" 2 points et
Kikuchiyo """ 3 points.

Ce qui se traduit par un système à 7 inconnues 7 équations:

En appelant a le nombre de parties perdues par Kambei,
b """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" Katsuchiro
c """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""  Gorobei  etc...

on obtient :

g-2a+b = -3
a-2b+c = -2
b-2c+d = -1
c-2d+e = 0
d-2e+f = 1
e-2f+g = 2
f-2g+a = 3

Ce système présente une infinité de solutions. Les variables b, c, d, e, f et g pouvant s'exprimer en fonction de a. (variance = 1)

Il suffit de prendre la solution n'admettant que des entiers positifs pour laquelle la somme a+b+c+d+e+f+g est minimale, soit :

{5 6 5 3 1 0 1} ==> 21 parties jouées!!!

Je ne sais pas si c'est la solution mais en tout cas j'ai eu beaucoup de plaisir à la résoudre!! Merci

bonjour,
Je trouve 21 fois minimum de tirages depuis le début de la partie pour arriver à cette répartition de 1, 2, 3, 4, 5, 6 7.
j'espère qu'il n'y a pas moins!

Merci minkus pour ce défi

Bonjour,
Les samourais  ont tire 21 fois au minimum  a la courte paille depuis le debut de la partie pour arriver a cette situation.

Bonjour,

Il faut au minimum 21 tirages pour arriver à la situation demandée.

Un exemple en image (en jaune le score de celui qui vient de tirer la courte paille).

A+,
gloubi

Bonjour,

Je pense que ce jeu n'est pas très équitable, car celui qui ne perd jamais n'est pas forcément celui qui est en tête.
Je trouve que:
- Kambei a perdu 5 fois;
- Katsushiro a perdu 6 fois;
- Gorobei a perdu 5 fois;
- Kyuzo a perdu 3 fois;
- Eikachi a perdu 1 fois;
- Shichiroji n'a jamais perdu;
- Kikuchiyo a perdu 1 fois.
Cela fait donc un total de 21 tirages de courte paille.

lol 28 je crois, meme si c quasi-incompréhensible

On y arrive en 21 tirages au minimum.

On appelle P_k le nombre de fois que le k^ième samurai a perdu à la courte paille. La disposition des grains de riz nous permet de construire le système :

P₇ + P₂ - 2P₁ = -3
P₁ + P₃ - 2P₂ = -2
P₂ + P₄ - 2P₃ = -1
P₃ + P₅ - 2P₄ = 0
P₄ + P₆ - 2P₅ = 1
P₅ + P₇ - 2P₆ = 2
P₆ + P₁ - 2P₇ = 3

En posant P₁ = x et P₇ = y et en remplaçant successivement dans les équations ci-haut, on trouve :

P₇ = 7x - 6y -28 = y x = y + 4

On remonte dans les autres équations pour trouver :

P₁ = y + 4
P₂ = y + 5
P₃ = y + 4
P₄ = y + 2
P₅ = y
P₆ = y - 1
P₇ = y

La valeur minimale qu'on peut donner à y est 1, de telle sorte que P₆ ne soit pas négatif.

Bonjour,

Les samouraïs ont tiré à la courte paille au minimum depuis le début de la partie pour arriver à cette situation.

Pas trouvé de "Sapporo de Mars" mais de la "Ninkazi de Printemps"...

Merci Minkus. A+, KiKo21.

Question subsidiaire : Kambei, le chef des samouraïs. Katsushiro, le disciple de Kambei. Après, j'hésite... Shichiroji peut-être... Par contre, Kikuchiyo meurt en tuant le chef des bandits, non?

Salut à tous,

Je sais que ce genre d'énigme est bien trop risquée pour moi, et je risque le poisson pour ça!

Mais bon, qui ne tente rien n'a rien, et je dirai donc:

Tout d'abord, j'ai considéré que le fait de ne plus avoir de grains n'était pas éliminatoire, puisque c'est le fait de ne plus pouvoir payer ses voisins qui l'est!

J'espère qu'il n'y aura pas d'ambiguité à ce niveau.

Ensuite, n'ayant aucune idée sur la méthode à appliquée pour être sur de mon résultat, j'ai tenté une experimentation et donc je ne peux garantir que mon résulat soit optimal!

Enfin, je trouve que

Le nombre minimum de tirage est 28

Voilà une représentation de ces tirages, et les résultats obtenus:



@ plus, Chaudrack

_{PS: 28 ça sonne bien quand-même, 7 personnes, 4 grains chacun.. On verra bien!}

il y a au moins 3 tirages à la courte paille

J'hésite à répondre, de peur de prendre un poisson.

J'appelle nos samouraïs A B C D E F et G, et j'appelle "a" le nombre de fois que A a perdu, etc..

J'obtiens un système de 7 équations à 7 inconnues :

-2a+b+g=-3
a-2b+c=-2
b-2c+d=-1
c-2d+e=0
d-2e+f=1
e-2f+g=2
f-2g+a=3

pour lequel je ne trouve pas de solution. Donc logiquement, je réponds "problème impossible".

Bonjour le

J'ai trouvé comme solution que les samourais ont tiré à la courte paille au moins 21 fois.

Voici la solution la plus courte : 21 tirages.
4 4 4 4 4 4 4
2 5 4 4 4 4 5
3 3 5 4 4 4 5
3 4 3 5 4 4 5
3 5 1 6 4 4 5
4 3 2 6 4 4 5
5 1 3 6 4 4 5
5 2 1 7 4 4 5
3 3 1 7 4 4 6
4 1 2 7 4 4 6
4 1 3 5 5 4 6
4 2 1 6 5 4 6
2 3 1 6 5 4 7
3 1 2 6 5 4 7
1 2 2 6 5 4 8
1 2 3 4 6 4 8
1 3 1 5 6 4 8
2 1 2 5 6 4 8
2 1 2 6 4 5 8
3 1 2 6 4 6 6
1 2 2 6 4 6 7
1 2 3 4 5 6 7
Suite trouvée par ordinateur.
Mais je n'ai pas trouvé de méthode manuelle pour y parvenir.
Avec 9 samouraïs, l'algo que j'ai utilisé a fait exploser la machine.

Question normal:
Je dirais 21 coups

Question subsidiaire:
On reconnaît très bien Katsushiro et Gorobei le troisième je ne sais pas...

J'ai oublié le "e" à question normalE

21 fois au minimum. Les samourais ont tiré a la courte paille depuis le debut de la partie pour arriver a cette situation en perdant par exemple dans l'ordre qui suit. (Numeration suivant  leur position dans la liste)

2,1,3,2,1,2,3,2,1,3,2,1,3,2,1,3,4,4,4,5,7.

bon, ben j'ai posé un systeme qui me donne cette equation à resoudre:



et au vu du resultat matlab, je me dit que je me suis trompé ^^

bon, disons que je trouve que c'est impossible mais ca sent fort le poisson pané ^^

je pense que c'est 6

Bonjour,

La reponse etait bien 21.

Concernant la question subsidiaire, bravo a Kiko21 !

A gauche, il s'agit bien de Kambei le chef et a droite de son disciple Katsushiro. Au centre c'est Shichiroji et non pas Gorobei qui meurt la nuit avant la bataille finale.

Heykashi est le premier a mourir lors de l'attaque du camp ennemi. Quant a Kikuchiyo (Toshiro Mifune) il meurt d'une balle apres avoir tue Takagi qui venait d'ailleurs de tuer aussi Kyuzo le vieux duelliste.

Bien que fan du grand Kurusawa, j'ai du revoir la fin pour etre sur des noms

minkus

Bonjour,

> Minkus,

citation :
Bien que fan du grand Kurusawa, j'ai du revoir la fin pour etre sur des noms

Hum... sûrement avec beaucoup de plaisir ! Il y a des scènes de films dont on ne se lasse pas, bien au contraire.

Bien que fan de bière, j'ai du reboire une "smok" de printemps pour être sûr du nom... C'est Ninkasi avec un "s".
Et contrairement à son nom, elle n'est pas japonaise mais lyonnaise.

Merci Minkus, et à bientôt. KiKo21.

P.S. Mes visites risquent d'être espacées, vu la météo et la reprise des raids,
et aussi un petit séjour "professionnel^*" dans les highlands à Oban et l'ile de Mull.

^* Rugby, Whisky, ... peut-être pas WiFi !