équation différentielle
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équation différentielle
Posté le 19-03-07 à 18:07
Posté par lilo59 (invité)
Bonjour à tous, voilà un exercice sur la notion d'équation différentielle
j'ai quelques éléments de réponse que je vais vous faire voir et j'aimerais avoir quelque piste pour les autres questions, merci d'avance
A- 1) a)Donner un exemple simple de fonction définie et dérivable sur R qui est sa propre dérivée.
ma réponse : par exemple, la fonction nulle f(x)=0 (x appartien a R ) est dérivable sur R et à sa propre dérivé f'(x)=0
b) Donner une équation différentielle simple vérifiée par ce type de fonction.
ma réponse : soit la fonction f définie, sur R par f(x)=0
f'(x)+f(x)=0 est une équation différentielle vérifiant ce type de fonction
(en faite j'ai pas vraiment compris cette question )
2) On considère l'équation différentielle (e1) f''-f'-6f=0
a) Donner un exemple simple de fonction définie et dérivable sur R solution de (e1)
COMMENT PEUT-ON TROUVER L'EXEMPLE ET LE REDIGER ?
b) g est une fonction vérifiant la condition de la question 1a.
i)Montrer que la fonction Ω définie pour tout réel x par Ω(x)=g(3x) est solution de (e1)
ii) meme question pour ∂(x)= g(-2x)
JE PENSE QU'IL SUFFIT DE TROUVER LEUR DERIVEE ET DERIVEE SECONDE ET DE REMPLACER POUR TROUVER 0 SOLUTION DE (e1).
c) K est un réel. Montrer que si la fonction h est solution de (e1), alors la fonction kh est aussi solution de (e1)
d) Montrer que si les fonctions h et i sont solutions de (e1), alors la fonction h+i est aussi solution de (e1)
B) On considère l'équation différentielle : (e2) f''(x) - f'(x) - 6f(x) = x²+1
a) la fonction nulle est-elle solution de cette équation différentielle ?
ma réponse : La fonction nulle est définie sur R par f(x) =0 sa dérivé f'(x) = 0 et f''(x) = 0
f''-f'-6f = 0
<=> 0-0-6*0 = 0 différent de x²+1
donc non la fonction nulle n'est pas la solution de cette équation différentielle.
b) Trouver une fonction du second degré solution de (e2).
Voilà merci d'avance pour les conseils futurs et les vérifications.
édit Océane : niveau modifié
Bonjour à tous, voilà un exercice sur la notion d'équation différentielle
j'ai quelques éléments de réponse que je vais vous faire voir et j'aimerais avoir quelque piste pour les autres questions, merci d'avance
A- 1) a)Donner un exemple simple de fonction définie et dérivable sur R qui est sa propre dérivée.
ma réponse : par exemple, la fonction nulle f(x)=0 (x appartien a R ) est dérivable sur R et à sa propre dérivé f'(x)=0
b) Donner une équation différentielle simple vérifiée par ce type de fonction.
ma réponse : soit la fonction f définie, sur R par f(x)=0
f'(x)+f(x)=0 est une équation différentielle vérifiant ce type de fonction
(en faite j'ai pas vraiment compris cette question )
2) On considère l'équation différentielle (e1) f''-f'-6f=0
a) Donner un exemple simple de fonction définie et dérivable sur R solution de (e1)
COMMENT PEUT-ON TROUVER L'EXEMPLE ET LE REDIGER ?
b) g est une fonction vérifiant la condition de la question 1a.
i)Montrer que la fonction Ω définie pour tout réel x par Ω(x)=g(3x) est solution de (e1)
ii) meme question pour ∂(x)= g(-2x)
JE PENSE QU'IL SUFFIT DE TROUVER LEUR DERIVEE ET DERIVEE SECONDE ET DE REMPLACER POUR TROUVER 0 SOLUTION DE (e1).
c) K est un réel. Montrer que si la fonction h est solution de (e1), alors la fonction kh est aussi solution de (e1)
d) Montrer que si les fonctions h et i sont solutions de (e1), alors la fonction h+i est aussi solution de (e1)
B) On considère l'équation différentielle : (e2) f''(x) - f'(x) - 6f(x) = x²+1
a) la fonction nulle est-elle solution de cette équation différentielle ?
ma réponse : La fonction nulle est définie sur R par f(x) =0 sa dérivé f'(x) = 0 et f''(x) = 0
f''-f'-6f = 0
<=> 0-0-6*0 = 0 différent de x²+1
donc non la fonction nulle n'est pas la solution de cette équation différentielle.
b) Trouver une fonction du second degré solution de (e2).
Voilà merci d'avance pour les conseils futurs et les vérifications.
édit Océane : niveau modifié
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 18:10
Posté le 19-03-07 à 18:10Posté par 
jamo jamo 
Bonjour,
A-1-1)
en effet, la fonction f(x)=0 est égale à sa propre dérivée.
En 1ère, tu n'en connais pas d'autre ...
jamo jamo Bonjour,
A-1-1)
en effet, la fonction f(x)=0 est égale à sa propre dérivée.
En 1ère, tu n'en connais pas d'autre ...
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 18:12
Posté le 19-03-07 à 18:12Posté par jamo jamo
A-1-b)
ta réponse est correcte.
Mais dans le cas de la fonction f(x)=0, on peut donner vraiment beaucoup d'exemples ...
f'(x)+5*f(x)=0
2f'(x)-3f(x)=0
...
jamo jamo A-1-b)
ta réponse est correcte.
Mais dans le cas de la fonction f(x)=0, on peut donner vraiment beaucoup d'exemples ...
f'(x)+5*f(x)=0
2f'(x)-3f(x)=0
...
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 18:20
Posté le 19-03-07 à 18:20Posté par jamo jamo
A-2-a)
là-aussi, à part la fonction f(x)=0, tu ne peux pas donner un autre exemple
jamo jamo A-2-a)
là-aussi, à part la fonction f(x)=0, tu ne peux pas donner un autre exemple
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 18:23
Posté le 19-03-07 à 18:23Posté par flic-voleurs (invité)
escusémoi comment il faux faire pour se désinscrire merci
escusémoi comment il faux faire pour se désinscrire merci
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 19:34
Posté le 19-03-07 à 19:34Posté par lilo59 (invité)
merci pour vos aides mais comment je rédige sa ?? comment je peux montrer mes résultas ?
Pour les démonstrations j'ai essayé mais je ne comprend pas comment on peut les démontrer.
merci pour vos aides mais comment je rédige sa ?? comment je peux montrer mes résultas ?
Pour les démonstrations j'ai essayé mais je ne comprend pas comment on peut les démontrer.
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 19:52
Posté le 19-03-07 à 19:52Posté par jamo jamo
flic-voleurs >> Va poser ta question ici :
ce sera plus adapté ...
jamo jamo Citation :
escusémoi comment il faux faire pour se désinscrire merci
escusémoi comment il faux faire pour se désinscrire merci
flic-voleurs >> Va poser ta question ici :
ce sera plus adapté ...re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 19:52
Posté le 19-03-07 à 19:52Posté par jamo jamo
Pour quelle question exactement ?
jamo jamo Citation :
merci pour vos aides mais comment je rédige sa ?? comment je peux montrer mes résultas ?
Pour les démonstrations j'ai essayé mais je ne comprend pas comment on peut les démontrer.
merci pour vos aides mais comment je rédige sa ?? comment je peux montrer mes résultas ?
Pour les démonstrations j'ai essayé mais je ne comprend pas comment on peut les démontrer.
Pour quelle question exactement ?
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 19:53
Posté le 19-03-07 à 19:53Posté par lilo59 (invité)
pour la question 2- b) i) ii) c) et d)
pour la question 2- b) i) ii) c) et d)
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 19:58
Posté le 19-03-07 à 19:58Posté par jamo jamo
Sais-tu dériver une fonction composée de la forme f(ax+b) ??
Tu dois savoir que c'est égal à af'(ax+b)
Donc si O(x)=g(3x)
Alors O'(x)=3*g'(3x) et O''(x)=9*g''(3x)
jamo jamo Sais-tu dériver une fonction composée de la forme f(ax+b) ??
Tu dois savoir que c'est égal à af'(ax+b)
Donc si O(x)=g(3x)
Alors O'(x)=3*g'(3x) et O''(x)=9*g''(3x)
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 19:59
Posté le 19-03-07 à 19:59Posté par lilo59 (invité)
ah ui bon je m'y remet je mettrais mais résultat trouver
merci
ah ui bon je m'y remet je mettrais mais résultat trouver
merci
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 20:01
Posté le 19-03-07 à 20:01Posté par lilo59 (invité)
je sais plus écrire : je mettrai mes résultats trouvés
je sais plus écrire : je mettrai mes résultats trouvés
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 20:32
Posté le 19-03-07 à 20:32Posté par lilo59 (invité)
on sait que g(3x) est dérivable et à sa propre dérivée donc g'(3x) = 3x
Ω'(x)=3*g'(3x) <=> Ω'(x)= 9x
Ω''(x)= 9
après on remplace mais je trouve pas 0 ...
on sait que g(3x) est dérivable et à sa propre dérivée donc g'(3x) = 3x
Ω'(x)=3*g'(3x) <=> Ω'(x)= 9x
Ω''(x)= 9
après on remplace mais je trouve pas 0 ...
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 21:02
Posté le 19-03-07 à 21:02Posté par lilo59 (invité)
dans ces cas là comment j'ariv a 0 ?
dans ces cas là comment j'ariv a 0 ?
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 21:13
Posté le 19-03-07 à 21:13Posté par jamo jamo
O(x)=g(3x)
O'(x)=3*g'(3x)
O''(x)=9*g''(x)
Donc :
O''(x) - O'(x) - 6*O(x) = 9g''(3x) - 3g'(3x) - 6g(3x)
Or g est égal à sa dérivée g', donc g' est aussi égal à sa dérivée g'', donc : g''(3x)=g'(3x)=g(3x)
Donc O''(x) - O'(x) - 6*O(x) =(9-3-6)g(3x) = 0 !!
jamo jamo O(x)=g(3x)
O'(x)=3*g'(3x)
O''(x)=9*g''(x)
Donc :
O''(x) - O'(x) - 6*O(x) = 9g''(3x) - 3g'(3x) - 6g(3x)
Or g est égal à sa dérivée g', donc g' est aussi égal à sa dérivée g'', donc : g''(3x)=g'(3x)=g(3x)
Donc O''(x) - O'(x) - 6*O(x) =(9-3-6)g(3x) = 0 !!
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 21:42
Posté le 19-03-07 à 21:42Posté par lilo59 (invité)
okay merci
j'ai donc trouvé pour g(-2x ) ( question 2-a)ii) )
okay merci
j'ai donc trouvé pour g(-2x ) ( question 2-a)ii) )re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 21:46
Posté le 19-03-07 à 21:46Posté par lilo59 (invité)
oui ça donne
∂''-∂'-6∂ = (4+2-6)g(-2x)=0
merci pr le conseil !!
oui ça donne
∂''-∂'-6∂ = (4+2-6)g(-2x)=0
merci pr le conseil !!
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 21:49
Posté le 19-03-07 à 21:49Posté par jamo jamo
Personnelement, je trouve cet exercice un peu bizarre !!
Je ne le donnerais pas à mes élèves pour leur faire découvrir les équa. diff. dès la 1ère, je n'en vois pas l'interet, je ne le trouve pas évident, et de plus, je pense qu'il doit pas mal embrouiller une notion qui n'est pas si compliquée que ça !
Mais bon, ce n'est que mon avis
jamo jamo Personnelement, je trouve cet exercice un peu bizarre !!
Je ne le donnerais pas à mes élèves pour leur faire découvrir les équa. diff. dès la 1ère, je n'en vois pas l'interet, je ne le trouve pas évident, et de plus, je pense qu'il doit pas mal embrouiller une notion qui n'est pas si compliquée que ça !
Mais bon, ce n'est que mon avis
re : équation différentielle Posté le 19-03-07 à 21:53
Posté le 19-03-07 à 21:53Posté par lilo59 (invité)
il trouvais que nos exercices étaient trop facile, là c'est bien plus difficile mais on fait avec, les dérivations c'est pas mon fort ...
il trouvais que nos exercices étaient trop facile, là c'est bien plus difficile mais on fait avec, les dérivations c'est pas mon fort ...
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 20:14
Posté le 20-03-07 à 20:14Posté par lilo59 (invité)
coucou, pour la question 2)c) j'ai trouver
h est solution de (e1) donc
h''-h'-6h = 0
k est un réel
<=< k(h''-h'-6h) = kh'' - kh' - k6h = 0
donc kh est aussi solution de (e1)
et pour le 2)d)
h et i sont solution de (e1)
h est solution de (e1) donc h''-h'-6h = 0
i " " " " i''-h'-6h = 0
(h+i)'' - (h+i) ' - 6(h +i)
= h''+i'' - h' - i' - 6h - 6i
= (h''-h'-6h)+(i''-i'-6i)
=0+0 = 0
donc h+i est solution de (e1)
ai-je bon ?
sinon j'ai toujours pas trouver pour l'équation du second degrè et c'est pour demain, auriez vous une piste svp ??
Merci
coucou, pour la question 2)c) j'ai trouver
h est solution de (e1) donc
h''-h'-6h = 0
k est un réel
<=< k(h''-h'-6h) = kh'' - kh' - k6h = 0
donc kh est aussi solution de (e1)
et pour le 2)d)
h et i sont solution de (e1)
h est solution de (e1) donc h''-h'-6h = 0
i " " " " i''-h'-6h = 0
(h+i)'' - (h+i) ' - 6(h +i)
= h''+i'' - h' - i' - 6h - 6i
= (h''-h'-6h)+(i''-i'-6i)
=0+0 = 0
donc h+i est solution de (e1)
ai-je bon ?
sinon j'ai toujours pas trouver pour l'équation du second degrè et c'est pour demain, auriez vous une piste svp ??
Merci
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 20:33
Posté le 20-03-07 à 20:33Posté par jamo jamo
Pour la question Ba, je suis d'accord avec ta réponse initiale, 0 n'est pas une solution ...
jamo jamo Pour la question Ba, je suis d'accord avec ta réponse initiale, 0 n'est pas une solution ...
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 20:36
Posté le 20-03-07 à 20:36Posté par jamo jamo
Ensuite, tu dois trouver une fonction du 2nd degré solution de l'équation différentielle (e2).
Une fonction du 2nd degré est de la forme :
P(x)=ax²+bx+c
Donc :
P'(x) = ........
P''(x) = ..........
Ensuite, tu écris que :
P''(x) - P'(x) - 6P(x) = x²+1
Et par identification, tu trouveras les coefficients a, b et c ...
jamo jamo Ensuite, tu dois trouver une fonction du 2nd degré solution de l'équation différentielle (e2).
Une fonction du 2nd degré est de la forme :
P(x)=ax²+bx+c
Donc :
P'(x) = ........
P''(x) = ..........
Ensuite, tu écris que :
P''(x) - P'(x) - 6P(x) = x²+1
Et par identification, tu trouveras les coefficients a, b et c ...
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 20:38
Posté le 20-03-07 à 20:38Posté par lilo59 (invité)
p(x) = ax²+bx+c
p'(x)=2ax+b
p''(x)=2a
p(x) = ax²+bx+c
p'(x)=2ax+b
p''(x)=2a
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 20:49
Posté le 20-03-07 à 20:49Posté par lilo59 (invité)
2a - (2ax+b) - (2ax²+bx+c) = x²+1
2a - 2ax-b - 2ax²-bx + c = x²+1
-2ax²- x(2a+b) + 2a-b+c = x²+1
-2ax²=x²
a=-1/2
x(2a+b)=0
x(2*(-1/2)+b)=0
x(-1+b) =0
b=1
2a-b+c=1
2*(-1/2)-1+c=1
-1-1+c=1
c=3
la fonction de second degré est -1/2x²+x+3 ??
2a - (2ax+b) - (2ax²+bx+c) = x²+1
2a - 2ax-b - 2ax²-bx + c = x²+1
-2ax²- x(2a+b) + 2a-b+c = x²+1
-2ax²=x²
a=-1/2
x(2a+b)=0
x(2*(-1/2)+b)=0
x(-1+b) =0
b=1
2a-b+c=1
2*(-1/2)-1+c=1
-1-1+c=1
c=3
la fonction de second degré est -1/2x²+x+3 ??
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 20:53
Posté le 20-03-07 à 20:53Posté par jamo jamo
Tu as oublie le 6 devant P(x) ...
Donc, tu recommences !!
Et pourquoi avoir écrit (2ax²+bx+c) ???
jamo jamo Tu as oublie le 6 devant P(x) ...
Donc, tu recommences !!
Et pourquoi avoir écrit (2ax²+bx+c) ???
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 21:04
Posté le 20-03-07 à 21:04Posté par lilo59 (invité)
lol c repartit
c'est une faute désolé
alors
2a - (2ax+b) - 6(ax²+bx+c) = x²+1
2a - (2ax+b) - (6ax²+6bx +6c) = x²+1
2a - 2ax -b - 6ax²-6bx - 6c = x²+1
-6ax² - x(2a+6b) - 2a-b-6c = x²+1
-6a=1
a=-1/6
-2a+b=0
-2*(-1/6)+b=0
1/3+b=0
b=-1/3
-2a-b-6c=1
-2*(-1/6)+1/3-6c=1
6c=1-1/3
6c=2/3
c=1/9
fonction du second degré : -1/6x²-1/3x+1/9
???
lol c repartit
c'est une faute désolé
alors
2a - (2ax+b) - 6(ax²+bx+c) = x²+1
2a - (2ax+b) - (6ax²+6bx +6c) = x²+1
2a - 2ax -b - 6ax²-6bx - 6c = x²+1
-6ax² - x(2a+6b) - 2a-b-6c = x²+1
-6a=1
a=-1/6
-2a+b=0
-2*(-1/6)+b=0
1/3+b=0
b=-1/3
-2a-b-6c=1
-2*(-1/6)+1/3-6c=1
6c=1-1/3
6c=2/3
c=1/9
fonction du second degré : -1/6x²-1/3x+1/9
???
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 21:08
Posté le 20-03-07 à 21:08Posté par jamo jamo
Ok pour a et b
Mais petite erreur pour le terme constant :
le terme constant est égal à 2a-b-6c, et non pas -2a-b-6c ...
Regarde bien le terme 2a ...
jamo jamo Ok pour a et b
Mais petite erreur pour le terme constant :
le terme constant est égal à 2a-b-6c, et non pas -2a-b-6c ...
Regarde bien le terme 2a ...
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 21:11
Posté le 20-03-07 à 21:11Posté par lilo59 (invité)
exact merci
2a-b-6c=1
2*(-1/6)+1/3-6c=1
-6c=1
c=-1/6
fonction = -1/6x²-1/3x+1/6
exact merci
2a-b-6c=1
2*(-1/6)+1/3-6c=1
-6c=1
c=-1/6
fonction = -1/6x²-1/3x+1/6
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 21:14
Posté le 20-03-07 à 21:14Posté par jamo jamo
Si c=-1/6, alors mets -1/6 dans la fonction, ne met pas +1/6 ...
Ca me semble correct, attend je vérifie sur ma calculatrice ...
jamo jamo Si c=-1/6, alors mets -1/6 dans la fonction, ne met pas +1/6 ...
Ca me semble correct, attend je vérifie sur ma calculatrice ...
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 21:15
Posté le 20-03-07 à 21:15Posté par lilo59 (invité)
je suis étourdie lol
Merci beaucoup, Vous êtes prof de maths ?
je suis étourdie lol
Merci beaucoup, Vous êtes prof de maths ?
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 21:18
Posté le 20-03-07 à 21:18Posté par lilo59 (invité)
Merci je cherche aussi
Merci je cherche aussi
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 21:20
Posté le 20-03-07 à 21:20Posté par jamo jamo
Ben oui, j'ai trouvé ...
Le terme devant x est égal à 2a+6b !!
Donc, il faut résoudre 2a+6b=0 ...
Puis à nouveau chercher c ...
Allez, au boulot
jamo jamo Ben oui, j'ai trouvé ...
Le terme devant x est égal à 2a+6b !!
Donc, il faut résoudre 2a+6b=0 ...
Puis à nouveau chercher c ...
Allez, au boulot
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 21:30
Posté le 20-03-07 à 21:30Posté par lilo59 (invité)
b=-1/18
c=23/108
sa m'parait bizar
b=-1/18
c=23/108
sa m'parait bizar
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 21:33
Posté le 20-03-07 à 21:33Posté par jamo jamo
2a+6b=0
a+3b=0
b=-a/3
b=1/18 !!!! (erreur de signe !!)
2a-b-6c=1
-6c=1-2a+b
-6c=1+1+1/18
-6c=2+1/18
-6c=37/18
c=37/108
Et je vérifie, attend 1 min ...
jamo jamo 2a+6b=0
a+3b=0
b=-a/3
b=1/18 !!!! (erreur de signe !!)
2a-b-6c=1
-6c=1-2a+b
-6c=1+1+1/18
-6c=2+1/18
-6c=37/18
c=37/108
Et je vérifie, attend 1 min ...
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 21:39
Posté le 20-03-07 à 21:39Posté par jamo jamo
Bah oui, j'ai pris a égal à -1/2 !!
-6c=1-2a+b
-6c=1+1/3+1/18
-6c=25/18
c=-25/108
jamo jamo Bah oui, j'ai pris a égal à -1/2 !!
-6c=1-2a+b
-6c=1+1/3+1/18
-6c=25/18
c=-25/108
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 21:42
Posté le 20-03-07 à 21:42Posté par lilo59 (invité)
okay merci beaucoup, on dirait mon prof de maths il dit toujours "Ouffff" c'est marrant
Encore Merci pour l'aide, et bonne soirée
okay merci beaucoup, on dirait mon prof de maths il dit toujours "Ouffff" c'est marrant
Encore Merci pour l'aide, et bonne soirée
re : équation différentielle Posté le 20-03-07 à 21:44
Posté le 20-03-07 à 21:44Posté par lilo59 (invité)
elle est bien bonne celle-là lol
Sa serait bisar ... mais sa m'arrange au moins je comprend avec des pistes
elle est bien bonne celle-là lol
Sa serait bisar ... mais sa m'arrange au moins je comprend avec des pistes
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