Asymptotes et centre de symétrie

Posté par xxMissYxx xxMissYxx

Bijour,
J'ai un petit problème avec un exercice ...

f(x)= (2x-2)²/2x-1 sa courbe est nommée C.
Les premières questions nous demandées les limites en 1/2, en + et -; de démontrer que y=2x-3 était l'asymptote à C; la dérivée f'(x) et les variations de f(x). Ca j'ai réussi à le faire.

Mais à partir d'ici ... je suis bloquée ...
Soit I le point d'intersection des 2 asymptotes de C. Démontrer que I est le centre de symétrie de C.
Y-a-t-il un rapport avec les fonctions paires et impaires ?

Merci de votre aide ^^

Posté par Rafalo Rafalo

bonjour,

I(a;b) est le centre de symétrie ssi f(a+h)+f(a-h)=2b
donc...

Posté par xxMissYxx xxMissYxx

Merci,
Est-ce qu'on était censé voir cette formule en cours ?!
Je crois ne l'avoir jamais vu ... que représente h ?

Posté par Rafalo Rafalo

oui tu aurais du voir cette formule.
en fait h représente une variable et a l'absciise du point I

Posté par jacqlouis jacqlouis

    Bonjour Miss. Tu as déterminé les coordonnées du point d'intersection des 2 asymptotes ?
    Oui, alors tu peux faire une changement de coordonnées avec cette nouvelle origine, et dans ces conditions , tu constates que la fonction est assurément impaire.

Posté par Rafalo Rafalo

normalement tu dois trouver I(1/2,-2). Par contre je ne sais pas comment tu as appris à demontrer que I est centre de symétrie (soit par changement de repère ou par la formule que je t'ai donnée).

Avec ma formule: f(1/2+h)+f(1/2-h)=...

Posté par xxMissYxx xxMissYxx

Oui, j'ai bien les coordonnées de I (1/2;-2), et je crois qu'on a vu la méthode par changement de repère.
Mais je ne sais pas comment démontrer qu'elle est impaire ... puisque en temps normal il faut montrer que Df est centré en 0 et que f(x)= -f(-x)...

Merci déjà pour votre aide ^^

Posté par Rafalo Rafalo

non si tu prouve que la fonction est impaire cela veut dire que la courbe admet un centre de symétrie à l'origine du repère et non au point I

Posté par xxMissYxx xxMissYxx

Mais ... je ne comprends pas comment faire alors ...

Posté par jacqlouis jacqlouis

    Quand tu auras fait le changement de coordonnées, tu constateras que la nuvelle fonction est impaire, par rapport bien sûr à sa nouvelle origine I.

Posté par xxMissYxx xxMissYxx

Mais comment fait-on le changement de coordonnées ?
Je ne comprends pas ...

Posté par Rafalo Rafalo

jacqlouis elle n'a pas appris de changement de repère.

xxMissYxx fait avec ma formule.

Posté par littleguy littleguy

Bonjour

Mais si Miss n'a pas appris avec ta formule Rafalo ?

On peut imaginer une troisième attitude (sans formule) :

Démontrer que si un point M(x;y) appartient à (C), alors son symétrique M'(x';y') par rapport à I(1/2;-2) appartient aussi à (C).

I est par définition le milieu de [MM'],
donc x_I=(x+x')/2 et y_I=(y+y')/2, ce qui conduit à

x = -x'+2x_I = -x'+1,
et y = -y'+2y_I = -y'-4

Or on a pris M élément de(C) donc ses coordonnées vérifient l'équation de (C), autrement dit :

y = 2x-3 + 1/(2x-1)

par conséquent :

-y'-4 = 2(-x'+1)-3 + 1/(2(-x'+1)-1)

qui conduit rapidement à :

y' = 2x'-3 + 1/(2x'-1)

ce qui prouve que M' est également élément de (C)

sauf erreur.

Posté par xxMissYxx xxMissYxx

Merci pour votre aide ^^
Je vais une fois essayer la dernière méthode ...

Posté par jacqlouis jacqlouis

   Alors, Miss, tu as choisi ta solution ?...

Posté par Tidad Tidad

Bonjour tout le monde!
Je dois avoir le même DM que xxMissYxx! ^^
Petit problème ceci dit car je suis aussi bloqué!
Et il me semble pas avoir vu une de vos méthodes, déjà le point I je l'ai vu graphiquement une fois avoir tracé mes 2 asymptotes. Donc sa ok, mais j'arrive pas à démontrer que I est le centre de symétrie de C.
Vous avez pas une méthode simple, que je peux utilisé car ces méthodes-ci me semble bien compliqué et pas au programme.

Merci!

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour

essaie de traduire mathématiquement ce qui se "voit" sur le graphe

soit (xI;yI) les coord de I le centre de symétrie

si pour tout x tel que xI+x et xI-x appartient au domaine de définition, tu as

la demi-somme des ordonnées des points d'abscisses xI+x et xI-x vaut yI

( f(xI+x) + f(xI-x) )/2 = yI

ceci, tu dois pouvoir le "voir" pour bien comprendre les recherches de centres de symétrie,
plutôt que d'apprendre -sans nécessairement les comprendre- des formules toutes faites...

Posté par Tidad Tidad

Est ce que la méthode de Littleguy, que je comprends le mieux parmi toutes les méthodes est juste?

J'ai du mal avec ta méthode mikayaou! Sorry!

Posté par mikayaou mikayaou

pas de souci Tidad, prends celle qui te convient le mieux

Posté par Tidad Tidad

Je suis aussi ouvert à d'autres méthodes si vous en connaissez et qu'elles restent simples!^^

Posté par mikayaou mikayaou

la méthode que je t'indiquais est assez visuelle et permet de visualiser la symétrie autour du point I

après, ce n'est qu'une question d'évaluation des distances en abscisse et en ordonnée autour de I

il faut uniquement faire cet effort-là

le reste est visuel...

Posté par Tidad Tidad

Je le vois bien la symétrie autour du point I mais je dois trouver une formule qui me permets de démontrer que cette symétrie existe bien avec une formule et là est le problème car j'ai jamais fait sa, ou alors je m'en souviens pas d'où pourquoi je fais un appel à l'aide! ^^

Posté par mikayaou mikayaou

prenons un exemple simple

supposons un point M(x;y) tel que y = (x+1)/(x-1)

ok ?

Posté par mikayaou mikayaou

pour que ce soit moins ambigu, disons plutôt y = (2x+1)/(x-1)

tu essaies de représenter la courbe avec ta calculette, si tu en as une, ou avec un grapheur ?

Posté par mikayaou mikayaou

La représentation de cette hyperbole est la suivante :



le point I(1;2) semble être un centre de symétrie

en reprenant l'explication que je t'ai donnée, tu "vois" que si tu t'éloignes, en abscisse, de X à droite de 1 et que tu cherches l'image par f de 1+X, tu auras une certaine image qui est 2+Y



de même, si tu t'éloignes, en abscisse, de X à gauche de 1 et que tu cherches l'image par f de 1-X, tu auras une autre image qui seras 2-Y

si tu fais la somme de ces deux images, tu devrais avoir (2+Y)+(2-Y) = 4

Autrement dit, le point I(1;2) sera centre de symétrie si f(1+X) + f(1-X) = 2f(1) = 2*2 = 4

cherchons à le démontrer

f(1+X) = ( 2(1+X) + 1 )/( (1+X) - 1 ) = (2X+3)/X

f(1-X) = ( 2(1-X) + 1 )/( (1-X) - 1 ) = (-2X+3)/(-X) = (2X-3)/X

f(1+X) + f(1-X) = (2X+3)/X + (2X-3)/X = (2X+3+2X-3)/X = 4X/X

f(1+X) + f(1-X) = 4 = 2*2 = 2f(1)

I(1;2) est bien centre de symétrie

Posté par Tidad Tidad

Je comprends mieux! ^^
Ta technique rejoins un peu celle de littleguy du fait de prendre le point A et B! ^^

Enfin attends, laisse moi environ 45 min', que je scanne mon graph' que j'ai dans mon énoncé et je fais tout sa que je posterais ici! ^^
Tu pourras me dire si cela est correct!

Nota : 45 min', je prévois large au cas où, possible que je finisse bien avant! ^^

Posté par mikayaou mikayaou

souvent, avec un dessin, on voit mieux les choses ( un certain Monsieur N. l'a dit avant moi )

Posté par littleguy littleguy

Bonjour

C'est exactement la même, vue judicieusement par mika d'un point de vue graphique ; d'ailleurs en généralisant la méthode que je suggérais il y un peu plus d'un an on parvient aux formules classiques. Si j'ai le temps dans la journée je compléterai.

Posté par Tidad Tidad

4. On appelle I le point d'intersection des deux asymptotes de C. Démontrer que I est centre de symétrie de C.

Graphiquement nous pouvons observer que I a pour coordonnées (1/2;-2).

J'ai relis ton exemple, mais je vois pas comment l'écrire. Et puis je vais être obligé de faire aussi tout les tracés comme tu as fais sur ton graph'?

Posté par mikayaou mikayaou

non, les tracés étaient pour te faire comprendre

ta fonction est bien y = f(x) = 2x-3 + 1/(2x-1) = 4(x-1)²/(2x-1) ?

Posté par mikayaou mikayaou

calcule, comme je l'ai fait :

f(1/2 + X) + f(1/2 - X) et montre que c'est égal à 2*f(1/2) = 2*(-2) = -4

Posté par Tidad Tidad

Pour les fonctions, oui c'est bien sa! ^^
Je comprends pas à quoi correspond le X, c'est pour sa! :s

Posté par mikayaou mikayaou

reprends mon dessin, X c'est un nombre quelconque non nul ( ici 1/2 +X ou 1/2 - X doit appartenir au domaine de définition )

c'est, en fait, l'écart, en abscisse, par rapport à l'axe x=1/2

Posté par Tidad Tidad

2x-3 + 1 / (2x-1)

Soit X, un nombre quelconque non nul.



f(1/2+X) = ( 2(1/2+X) + 3 )+ 1/ ( 2(1/2+X) - 1 ) = (2X+4) + 1/2X

f(1/2-X) = ( 2(1/2-X) + 3 )+ 1/ ( 2(1/2-X) - 1 ) = (-2X+4) - 1/2X

f(1/2+X) + f(1/2-X) = (2X+4)+ 1/2X + (-2X+4)- 1/2X = 4+4 = 8

f(1+X) + f(1-X) = 8 = ? = ?


Help je suis perdu!

Posté par mikayaou mikayaou

vérifie

tes "+3" sont, en fait, des "-3"...

Posté par Tidad Tidad

Quel boulet je suis! XD

4. On appelle I le point d'intersection des deux asymptotes de C. Démontrer que I est centre de symétrie de C.

Graphiquement nous pouvons observer que I a pour coordonnées (1/2;-2).
Soit X, un nombre quelconque non nul.


f(1/2+X) = ( 2(1/2+X) - 3 )+ 1/ ( 2(1/2+X) - 1 ) = (2X-2) + 1/2X

f(1/2-X) = ( 2(1/2-X) - 3 )+ 1/ ( 2(1/2-X) - 1 ) = (-2X-2) - 1/2X

f(1/2+X) + f(1/2-X) = (2X-2) + 1/2X + (-2X-2) - 1/2X = -4

f(1/2+X) + f(1/2-X) = -4 = 2* f(1/2) = 2* (-2) = -4

I (1/2;-2) est bien un centre de symétrie!

Eurikaa!!!

Niveau rédaction c'est bon, j'ai rien à rajouté?!

Posté par Tidad Tidad

Autre petite question, comment on peut trouver des solutions d'une équation graphiquement, car on me demande, mais je reconnais pas graphiquement les solutions?
Vous pouvez me donner un exemple s'il vous plait à l'aide du graph' que j'ai posté. En m'expliquant comment vous avez fait pour le voir! ^^
Merci!

Posté par mikayaou mikayaou

Je laisse la main, quittant l'île

c'est f(x) = combien, sinon ?

bon courage

Posté par Tidad Tidad

f(x) = (2x-2)² / (2x-1) ^^

Merci j'en aurai besoin!

Posté par littleguy littleguy

Re-bonjour



Quelle équation, précisément ?

Posté par Tidad Tidad

L'équation (2x-3) + 1/(2x-1)! ^^
Enfin celle représenté par mikayaou quelques posts au dessus! ^^

Posté par Tidad Tidad

La fonction est d'ailleurs écrit dans l'angle inférieur droit de sa représentation!

Posté par littleguy littleguy

Si c'est f(x) = m, les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la courbe d'équation y=f(x) et de la droite d'équation y=m.

Il te suffit alors de tracer la droite d'équation y=m et d'observer graphiquement le nombre de points d'intersection de cette droite avec la courbe (ça te donnera le nombre de solutions), et les abscisses de ces éventuels points (ça te donnera des valeurs approchées des solutions)
.

Posté par littleguy littleguy

Je te demandais quelle équation était à résoudre graphiquement, pas l'équation de la courbe (que j'avais vue) .

Posté par Tidad Tidad

L'énoncé me dit :
Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation f(x) = k, où k est un réel donné. (On discutera selon les valeurs de k)

J'espère que la réponse à ta question se trouve là! ^^

Posté par littleguy littleguy

oui et j'y ai répondu à 13:50 (sauf que ton k je l'ai appelé m)

Posté par Tidad Tidad

Tu peux me donner un exemple s'il te plait avec le graph' s'il te plait!
Merci!

Posté par littleguy littleguy

Bien par exemple :

si k = 3 il y a deux points d'intersection donc deux solutions (une comprise entre 1/2 et 1, l'autre comprise entre 2 et 3)

si k = -2 il n'y a aucun point d'intersection donc aucune solution.

si k = -4 il y a une solution (égale à 0)

A toi donc de discuter suivant les valeurs de k.

Posté par Tidad Tidad

Pour la valeur de k je prends au hazard?

Posté par littleguy littleguy

Tu fais varier k de - à +, tu observes, tu conclus :

si k < -4, deux points d'intersection donc deux solutions

si k = -4, un point d'intersection donc une solution

si -4 < k < 0, ....

etc.