équation différentielle

Posté par smarty smarty

Bonjour,
J'ai besoin de votre aide pour cet exercice que je ne comprend pas
1. On se propose de résoudre l'équation différentielle: (E):y'+y=x
a) on pose z=y-x; écrire l'équation différentielle (F) satisfaite par z.
b) Résoudre (F) puis (E).
2. On appelle fa solution de (E) telle que: fa(0)=a. On note (Ca) la courbe représentative de fa( où a appartient à R).
a) Montrer que pour tout x de R, fa(x)=(a+1)e^-x + x-1.
b) Que peut-on dire de f-1?
c)Dèterminer lim(lorsque x tend vers -oo) de fa(x) et lim(lorsque x tend vers +oo) de fa(x) selon les valeurs de a.
3. Déterminer les sens de variations de fa lorsque: a<-1.
Dresser alors le tableau de variations de f.
4. On suppose a>-1.
a)Calculer f'a(x) et étudier son signe.
b) Dresser le tableau de variations de fa.
5. Soit a appartient à R. Montrer que la tangente à (Ca) au point d'abscisse 0 passe par le point I(1;0).
6. Construire: C-2, C-1 et Co sur [-1;3]

Ce que j'ai fait :
On pose z=y-x

1.On remarque que : z'=y'-1

On a donc (F) z'=y'-1

La solution de l'équation différentielle est avec zk=ke^-x avec k appartenant à R

z est solution de (F) et y est solution de (E)
z=y-x
z=ke^-x
y=ke^-x + x
Les solutions de E sont alors de forme: yk=ke^-x+x

pour la suite j'arrive pas.
Dites moi si c'est bien juste ou pas.

Je vous remercie d'avance.

Posté par Redman Redman

Salut smarty,

1)

a)  y'+y = x
tu pose z=y-x
z' = y' -1

donc tu as  y= z+x et y' = z+1 d'ou  y+y' = z+z'+x+1 = x d'ou z+z' = -1

ce changement de variable est interressant car il permet de donner z = A exp(x) pour A dans IR
et donc l'ensemble des solution en y est de la forme :

S: { f: x-> x + A exp(x),  A dans IR}

une autre facon de voir c'est de résoudre l'équation homogène et de trouver la sol particuliere évidente en x.

Posté par Redman Redman

pardon c'est  -1 + A (exp(-x)) + x

Posté par Redman Redman

et donc  fa(0) = A-1 = a  ssi  A = a+1

donc fa( x) = (a+1)exp(-x) + x-1

Posté par Redman Redman

f-1 est une droite

si x -> +oo
exp(-x) -> 0

donc fa(x) tend vers +oo


si x-> -oo
exp(-x) -> +oo et donc si a <-1 ca tend vers -oo et en ajoutant x-1 qui tend vers -oo, fa tend vers -oo
si a>-1 :

a+1)exp(-x) + x-1 =  1/exp(x)   *  ( (a+1) + xexp(x) - exp(x))
et quand x tend vers -oo la parenthese tend vers a+1 donc comme le denom tend vers 0 on a du +oo

Posté par smarty smarty

Bonsoir
merci beaucoup beaucoup pour votre aide

Posté par smarty smarty

Bonjour,
Merci Redman, mais j'arrive pas à terminer mon exercice.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider?

je vous remercie d'avance.

Posté par drioui (invité)

salut
fa(x)=(a+1)e^-x + x-1.
a)Calculer f'a(x) et étudier son signe.
f'a(x)=-(a+1)e^-x +1
f'a(x)0
-(a+1)e^-x +10
-(a+1)e^-x-1
e^-x1/(a+1)  car -(a+1) est negatif
-xln(1/(a+1))
    x-ln(1/(a+1))
   xln(a+1)

Posté par drioui (invité)

b) Dresser le tableau de variations de fa.
  x    |-00                 ln(a+1)                 +00
--------------------------------------------------------
f'a(x) |           -           0            +
-------------------------------------------------------
fa(x)  |   decrois            ln(a+1)    crois
----------------------------------------------------------

Posté par drioui (invité)

5. Soit a appartient à R. Montrer que la tangente à (Ca) au point d'abscisse 0 passe par le point I(1;0).
f'a(0)=-a et fa(0)=a
equation de la tangente  à (Ca) au point d'abscisse 0 est
y=-ax+a
si x=1 alors y=0 donc la tangente à (Ca) au point d'abscisse 0 passe par le point I(1;0).

Posté par smarty smarty

Bonjour,
Je vous remercie beaucoup beaucoup.
Merci encore.

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