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DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.


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1 *DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*

#msg1006602 Posté le 24-03-07 à 11:45
Posté par Profilminkus minkus Posteur d'énigmes

Bonjour a tous,

Jeudi 22 mars avait lieu le concours Kangourou 2007.

Je vous propose donc aujourd'hui un petit exercice très abordable car extrait des énonces niveau 6e-5e

DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.:*:


Cinq nombres sont écrits autour d'un cercle, de telle sorte qu'en ajoutant deux nombres ou trois nombres adjacents, la somme obtenue n'est jamais divisible par 3. Parmi les cinq nombres écrits, combien sont divisibles par 3 ?

Bonne réflexion.

minkus
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1006657 Posté le 24-03-07 à 11:57
Posté par Profiljamo jamo Moderateur

perduBonjour,

il est impossible de placer 5, 4 ou 3 nombres divisbles par 3 sur ce cercle.

L'énoncé ne demande pas combien on peut en placer au maximum, donc je réponds que c'est possible avec 2, 1 ou 0 nombres divisbles par 3.
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1006680 Posté le 24-03-07 à 12:03
Posté par ProfilNofutur2 Nofutur2

gagnéles 5 nombres peuvent être de la forme : 3k+1; 3k;3k+1;3k;3k+1.
Pris deux à deux consécutifs, leur somme n'est pas multiple de 3. Comme le total est multiple de 3, pris trois à trois consécutifs, leur somme n'est pas non plus multiple de 3.
Il y a donc 2 multiples de 3 parmi les 5..
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1006692 Posté le 24-03-07 à 12:07
Posté par nobody (invité)

Bonjour,

je pense qu'il n'y peut avoir que 2 multiples de 3 (pas plus, pas moins)
Par exemple, avec 1, 1, 3, 1 et 3
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1006760 Posté le 24-03-07 à 12:46
Posté par Profilmanpower manpower

gagnéBonjour,

je l'avais déjà fait

Je trouve \red \rm 2 nombres divisibles par 3 en raisonnant sur les restes modulo 3.
Par exemple, un générateur de solution est (à rotation près): 10101.

Merci pour l'énigme.
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1006778 Posté le 24-03-07 à 12:57
Posté par Profilinfophile infophile

gagnéBonjour

DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.:*:

Merci pour l'énigme
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1006938 Posté le 24-03-07 à 13:50
Posté par Profilsmil smil

gagnébonjour
parmi les 5 nombres, deux seront divisibles par 3
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1006945 Posté le 24-03-07 à 13:52
Posté par Profilfrenicle frenicle

gagnéBonjour,

S'il y avait plus de deux multiples de 3, au moins deux d'entre eux seraient adjacents, et leur somme serait divisible par 3. Il y a donc au plus deux multiples de 3.

S'il y avait moins de deux multiples de 3, il y aurait trois nombres adjacents non multiples de 3. Mais c'est impossible. Car si ces trois nombres sont congrus modulo 3, leur somme est divisible par 3, et s'ils sont incongrus modulo 3, il y en a deux adjacents et incongrus mod 3, dont la somme est donc divisible par 3.

La seule possibilité est qu'il y ait exactement deux multiples de 3 autour du cercle. Ces deux multiples de 3 ne doivent pas être adjacents, bien sûr. Et on voit facilement que les trois autres nombres doivent être congrus mod 3.

On a donc l'une des deux configurations ci-dessous (modulo 3 et à une rotation près).

1 1  
3   3
  1

2 2  
3   3
  2

Cordialement
Frénicle
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1007141 Posté le 24-03-07 à 14:48
Posté par macyoyo (invité)

gagnéIl faut 2 nombre divise par 3.
le parchemin#msg1007343 Posté le 24-03-07 à 15:35
Posté par Euler (invité)

Exercice 2:
Sur le parchemin ci-dessous ne figurent qu'un carré, 3 segments et 3 indications de longueur.
Déterminer l'angle




ABCD est carre les 3 segments sont AP,CP et DP tel qe P est un poit interierur quelconque
  determiner la mes de l'angle APD

AP=2,CP=6 et DP=4
cet exo est un exo d'olimpiades academiques
      bonne chance à tous
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1007724 Posté le 24-03-07 à 17:10
Posté par Profilplumemeteore plumemeteore

gagnébonjour
deux nombres parmi les cinq sont divisibles par 3
s'il y en avait plus, deux au moins seraient voisins, dont la somme serait divisible par 3
s'il y en avait moins, il y aurait trois nombres consécutifs non divisibles par trois; si leur reste est le même, leur somme est divisible par 3; s'ils ont deux restes différents, on ne peut éviter deux nombres consécutifs dont la somme est divisible par 3
en parcourant le cercle, on peut trouver lS suiteS de restes : 1 1 0 1 0 ou 2 2 2 0 2 0
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1007800 Posté le 24-03-07 à 17:35
Posté par ProfilTiT126 TiT126

gagnébonjour,

les nombres sont placer autour du cercle dans l'ordre : \red 1, 6, 10, 7, 12

1+6=7
6+10=16
10+7=17
7+12=19
12+1=13

1+6+10=17
6+10+7=23
10+7+12=29
7+12+1=20
12+1+6=19

Je pence donc que mon cercle respect les conditions...

Je compte donc \red 2 multiple de 3 : 6 et 12


En esperant ne pas metre tromper ^^
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1007868 Posté le 24-03-07 à 18:13
Posté par Profilcaylus caylus

gagnéBonjour Minkus,


Il existe deux entiers parmi les cinq entiers écrits divisibles par 3

mais il peut exister

0,1,2 entier(s) parmi les cinq réels écrits divisibles par 3.
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1008587 Posté le 24-03-07 à 23:01
Posté par serialgamer (invité)

perduaucun
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1008651 Posté le 24-03-07 à 23:47
Posté par ProfilLivia_C Livia_C

gagnéBonjour,
Deux nombres sont divisibles par 3.
Merçi pour l'énigme.
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1008796 Posté le 25-03-07 à 08:27
Posté par Profilpiepalm piepalm

gagnéIl y a deux nombres divisibles par 3, les trois autres étant congrus entre eux modulo 3 (à 1 ou 2) et imbriqués: 10101 par exemple...
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1008862 Posté le 25-03-07 à 10:35
Posté par Profilgeo3 geo3

gagnéBonjour
Je dirais  2  sans conviction n verra.
A+
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1010746 Posté le 25-03-07 à 17:23
Posté par ProfilEric1 Eric1

gagnéIl y en a 2
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1011638 Posté le 25-03-07 à 20:22
Posté par Profilomaryto omaryto

gagnéje crois ke c 2
merci...
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1012419 Posté le 26-03-07 à 09:40
Posté par Delool (invité)

gagnéBonjour,

Si on écrit les nombres dans \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, on obtient, autour du cercle, deux possibilités :
01011 ou 02022.

Dans chaque cas, il y a autour du cercle 2 nombres divisible par 3.
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1012434 Posté le 26-03-07 à 10:29
Posté par Profilkiko21 kiko21

gagnéBonjour,

Je trouve que parmi les cinq nombres écrits, 5$ \magenta \fbox{2} sont obligatoirement divisibles par 3.

exemple :           10
                  12             13

                      16     15

Merci Minkus. A+, KiKo21.

DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.:*:
Divisible par 3, dans l'aube...
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1012530 Posté le 26-03-07 à 12:47
Posté par Profillo5707 lo5707

gagnébonjour,

il y a forcément 2 nombres divisibles par 3.

exemple: 3 - 1 - 1 - 3 - 1 (en cercle)

merci pour ce défi
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1012727 Posté le 26-03-07 à 16:09
Posté par Profilchaudrack chaudrack

gagnéBonjour, et merci pour cette énigme

je trouve qu'il y a nécessairement 2 nombres divisibles par 3 sur les cinq inscrits

ainsi, deux où trois nombres adjacents n'auront jamais une somme divisible par 3.

@ plus, Chaudrack
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1012925 Posté le 26-03-07 à 18:03
Posté par Profilmasterfab2 masterfab2

gagné2
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1012944 Posté le 26-03-07 à 18:11
Posté par Profildavidlab davidlab

gagné2 de ces nombres sont des multiples de 3.

Preuve :

Soit N, le nombre de multiples de 3 parmi ces nombres.

N ne doit pas dépasser 2, car sinon, deux de ces nombres seront adjacents.

Si N 1 , alors on aura au moins 4 nombres adjacents non-divisibles par 3.

Il y a deux cas.

1) Tous ces nombres sont égaux (mod 3)

Dans ce cas, la somme de 3 nombres adjacents sera un multiple de 3.

2) Il existe 2 nombres adjacents a et b tels que a = 1 (mod 3) et b = 2 (mod 3).

Dans ce cas, a + b est un multiple de 3.

Donc forcément, N = 2. On y arrive en prenant 2 nombres non-adjacents comme multiples de 3, puis tous les autres équivalents modulo 3.  
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1012966 Posté le 26-03-07 à 18:22
Posté par Profilcohlar cohlar

gagnéBonjour, je pense que parmis ces 5 nombres, 2 sont divisibles par 3.
Merci pour l'énigme ^^
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1013022 Posté le 26-03-07 à 18:51
Posté par savoie (invité)

gagnéBonjour,

Sympa ce petit problème à 1 étoile.

Si 2 nombres adjacents sont divisibles par 3, leur somme l'est aussi, ce qui est interdit. Donc il reste les possibilités suivantes :
1-/ soit 2 nombres divisibles par 3, non adjacents
2-/ soit un seul nombre divisible par 3
3-/ soit aucun nombre divisible par 3.

Les nombres non divisibles par 3 s'écrivent (x étant un nombre entier)
catégorie 1 : 3x + 1, catégorie 2 : 3x + 2

Si deux nombres d'une catégorie différente sont adjacents, leur somme est égale à 3x + 3y + 3 est divisible par 3, ce qui est interdit. Donc un nombre d'une catégorie 1 ou 2 ne peut avoir à côté de lui qu'un nombre d'une même catégorie, ou un multiple de 3.

Prenons 3 nombres adjacents, non divisibles par 3, et respectant la condition ci-dessus (donc d'une même catégorie) : leur somme est divisible par 3, ce qui est interdit.

On ne peut donc pas avoir 3 nombres adjacents, dont aucun n'est multiple de 3.

Il y a donc forcément 2 nombres parmi les 5, divisibles par 3. Exemple :
1 4 3 7 6

Merci pour cette énigme.
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1013084 Posté le 26-03-07 à 19:13
Posté par Profillafol lafol Correcteur

perduBonjour
ou aucun n'est divisible par 3, ou un seul, ou deux non voisins
Dans le concours Kangourou, une aide est apportée par l'allure des cinq réponses proposées .... bon, on est un peu plus grands que les 6° 5° ... mais jamais à l'abri d'un poisson ...
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1013192 Posté le 26-03-07 à 19:53
Posté par ProfilNyavlys Nyavlys

gagnéBonjour,

les 5 nombres sont de la forme :
(3n) (3n+1) (3n+1) (3n) (3n+1)
OU BIEN
(3n) (3n+2) (3n+2) (3n) (3n+2)

Ce qui revient au même pour la réponse :

2 nombres sont multiples de 3
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1014083 Posté le 27-03-07 à 01:59
Posté par Profilborneo borneo

gagnéBonsoir,

il y en a deux.



(la honte si je me suis trompée...)
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1014182 Posté le 27-03-07 à 10:29
Posté par Profilgloubi gloubi

gagnéBonjour,

Parmi les cinq nombres, deux sont divisibles par trois.
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1014186 Posté le 27-03-07 à 10:40
Posté par veuchdeuf (invité)

gagnéIl y en aurait exactement 2
Réponse#msg1019189 Posté le 30-03-07 à 08:35
Posté par Profilomblechevalier omblechevalier

gagnéIl faut que 2 nombres soient multiple de trois.
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1020860 Posté le 31-03-07 à 13:44
Posté par Profilrezoons rezoons

gagné2 sont divisibles par 3
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1021246 Posté le 31-03-07 à 16:58
Posté par Dan-G (invité)

gagnéBonjour,

2 nombres multiples de 3 non adjacents
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1022908 Posté le 01-04-07 à 11:51
Posté par Profilevariste evariste

gagnéIl y en a exactement 2 qui sont divisibles par 3 et non voisins.
Les trois autres doivent soit tous être de la forme 3n+1 ou soit tous de la forme 3n+2.
défi 147 :cinq nombres sur un cercle#msg1024367 Posté le 01-04-07 à 17:56
Posté par Profilpurdy purdy

gagnébonjour,

    2 nombres (non adjacents) sont divisibles par 3, parmi les cinq,
merci pour cette énigme
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1026388 Posté le 02-04-07 à 16:32
Posté par jazzegag (invité)

perduAucun ne doit etre divisble par 3
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1027004 Posté le 02-04-07 à 20:01
Posté par Yami89 (invité)

gagné2
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1028014 Posté le 03-04-07 à 14:06
Posté par Yami89 (invité)

gagné3
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1028736 Posté le 03-04-07 à 19:02
Posté par Profilo_0 o_0

perduBonjour,

Je trouve au moins un nombre divisible par 3,
ex: 1-3-4-6-7

1+3=4   1+3+4=8
3+4=7   3+4+6=13
4+6=10  4+6+7=17
6+7=13  6+7+1=14
7+1=8   7+1+3=11

Merci pour l'énigme
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1030599 Posté le 04-04-07 à 16:20
Posté par b16582002 (invité)

perduaucun
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1032833 Posté le 05-04-07 à 14:00
Posté par solidus (invité)

perduSalut
Pour la reponse je pense que c'est 3
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1033843 Posté le 05-04-07 à 21:50
Posté par Profilmatthieu73 matthieu73

gagnéJe trouve que deux de ces cinq nombres sont divisibles par 3.

Ma configuration:

       3k+1

3l             3m

  3n+1     3p+1
5 nombres sur 1 cercle#msg1034148 Posté le 06-04-07 à 05:29
Posté par ProfilMathieucote Mathieucote

gagnéIl y a nécessairement 2 nombres divisibles par 3
Soit a b c d e, des constantes :

             (3a+1)
    
     (3b+1)           (3c)
        
      
        (3d)      (3e+1)

où l'on peut changer tous les "+1" par des "+2"
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1039271 Posté le 09-04-07 à 09:17
Posté par Sinika (invité)

gagnéQuelle jolie enigme...
Je répondrai 2.

Exemple :  

    8
   3 2
   2 3
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1042308 Posté le 10-04-07 à 11:25
Posté par Profilthomas thomas

gagné2
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1042691 Posté le 10-04-07 à 14:26
Posté par orb (invité)

pour mon premier jour d'inscription, je me lance, mais bon, du taf, pas plus de 5 secondes de reflexion permise ^^

je dirais 2

exemple :

3-1-1-3-1.
2#msg1043080 Posté le 10-04-07 à 17:22
Posté par ProfilAndrei Andrei

gagné2
re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.*#msg1044419 Posté le 11-04-07 à 10:54
Posté par Profilsimon92 simon92

gagnébonjours, je dirais 2, mais il ne faut evidement pas que c'est deux nombres soit a coté...

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