posté le 24/03/2007 à 11:45DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.
Bonjour a tous,
Jeudi 22 mars avait lieu le concours
Kangourou 2007.
Je vous propose donc aujourd'hui un petit exercice très abordable car extrait des énonces niveau 6e-5e
Cinq nombres sont écrits autour d'un cercle, de telle sorte qu'en ajoutant deux nombres ou trois nombres adjacents, la somme obtenue n'est jamais divisible par 3.
Parmi les cinq nombres écrits, combien sont divisibles par 3 ?
Bonne réflexion.
minkus
posté le 24/03/2007 à 12:07re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : nobody (invité)
Bonjour,
je pense qu'il n'y peut avoir que 2 multiples de 3 (pas plus, pas moins)
Par exemple, avec 1, 1, 3, 1 et 3
posté le 24/03/2007 à 12:46re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : manpower 
Bonjour,
je l'avais déjà fait
Je trouve

nombres divisibles par 3 en raisonnant sur les restes modulo 3.
Par exemple, un générateur de solution est (à rotation près): 10101.
Merci pour l'énigme.
posté le 24/03/2007 à 14:48re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : macyoyo (invité)
Il faut 2 nombre divise par 3.
posté le 24/03/2007 à 15:35le parchemin
posté par : Euler (invité)
Exercice 2:
Sur le parchemin ci-dessous ne figurent qu'un carré, 3 segments et 3 indications de longueur.
Déterminer l'angle
ABCD est carre les 3 segments sont AP,CP et DP tel qe P est un poit interierur quelconque
determiner la mes de l'angle APD
AP=2,CP=6 et DP=4
cet exo est un exo d'olimpiades academiques
bonne chance à tous
posté le 24/03/2007 à 17:35re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : TiT126
bonjour,
les nombres sont placer autour du cercle dans l'ordre :
1+6=7
6+10=16
10+7=17
7+12=19
12+1=13
1+6+10=17
6+10+7=23
10+7+12=29
7+12+1=20
12+1+6=19
Je pence donc que mon cercle respect les conditions...
Je compte donc

multiple de 3 :
6 et 12
En esperant ne pas metre tromper ^^
posté le 24/03/2007 à 23:01re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : serialgamer (invité)
aucun
posté le 25/03/2007 à 10:35re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : geo3
Bonjour
Je dirais
2 sans conviction

n verra.
A+
posté le 26/03/2007 à 09:40re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : Delool (invité)
Bonjour,
Si on écrit les nombres dans

, on obtient, autour du cercle, deux possibilités :
01011 ou 02022.
Dans chaque cas, il y a autour du cercle
2 nombres divisible par 3.
posté le 26/03/2007 à 10:29re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : kiko21 
Bonjour,
Je trouve que parmi les cinq nombres écrits,

sont obligatoirement divisibles par 3.
exemple : 10
12 13
16
15
Merci Minkus. A+, KiKo21.

Divisible par 3, dans l'aube...
posté le 26/03/2007 à 18:11re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : davidlab
2 de ces nombres sont des multiples de 3.
Preuve :
Soit N, le nombre de multiples de 3 parmi ces nombres.
N ne doit pas dépasser 2, car sinon, deux de ces nombres seront adjacents.
Si N

1 , alors on aura au moins 4 nombres adjacents non-divisibles par 3.
Il y a deux cas.
1) Tous ces nombres sont égaux (mod 3)
Dans ce cas, la somme de 3 nombres adjacents sera un multiple de 3.
2) Il existe 2 nombres adjacents a et b tels que a = 1 (mod 3) et b = 2 (mod 3).
Dans ce cas, a + b est un multiple de 3.
Donc forcément, N = 2. On y arrive en prenant 2 nombres non-adjacents comme multiples de 3, puis tous les autres équivalents modulo 3.
posté le 26/03/2007 à 18:51re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : savoie (invité)
Bonjour,
Sympa ce petit problème à 1 étoile.
Si 2 nombres adjacents sont divisibles par 3, leur somme l'est aussi, ce qui est interdit. Donc il reste les possibilités suivantes :
1-/ soit 2 nombres divisibles par 3, non adjacents
2-/ soit un seul nombre divisible par 3
3-/ soit aucun nombre divisible par 3.
Les nombres non divisibles par 3 s'écrivent (x étant un nombre entier)
catégorie 1 : 3x + 1, catégorie 2 : 3x + 2
Si deux nombres d'une catégorie différente sont adjacents, leur somme est égale à 3x + 3y + 3 est divisible par 3, ce qui est interdit. Donc un nombre d'une catégorie 1 ou 2 ne peut avoir à côté de lui qu'un nombre d'une même catégorie, ou un multiple de 3.
Prenons 3 nombres adjacents, non divisibles par 3, et respectant la condition ci-dessus (donc d'une même catégorie) : leur somme est divisible par 3, ce qui est interdit.
On ne peut donc pas avoir 3 nombres adjacents, dont aucun n'est multiple de 3.
Il y a donc forcément 2 nombres parmi les 5, divisibles par 3. Exemple :
1 4 3 7 6
Merci pour cette énigme.
posté le 27/03/2007 à 10:40re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : veuchdeuf (invité)
Il y en aurait exactement 2
posté le 31/03/2007 à 16:58re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : Dan-G (invité)
Bonjour,
2 nombres multiples de 3 non adjacents
posté le 02/04/2007 à 16:32re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : jazzegag (invité)
Aucun ne doit etre divisble par 3
posté le 04/04/2007 à 16:20re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : b16582002 (invité)
aucun
posté le 05/04/2007 à 14:00re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : solidus (invité)
Salut
Pour la reponse je pense que c'est 3
posté le 09/04/2007 à 09:17re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : Sinika (invité)
Quelle jolie enigme...
Je répondrai 2.
Exemple :
8
3 2
2 3
posté le 10/04/2007 à 14:26re : DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

posté par : orb (invité)
pour mon premier jour d'inscription, je me lance, mais bon, du taf, pas plus de 5 secondes de reflexion permise ^^
je dirais 2
exemple :
3-1-1-3-1.