DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

Posté par minkus minkus

Bonjour a tous,

Jeudi 22 mars avait lieu le concours Kangourou 2007.

Je vous propose donc aujourd'hui un petit exercice très abordable car extrait des énonces niveau 6e-5e




Cinq nombres sont écrits autour d'un cercle, de telle sorte qu'en ajoutant deux nombres ou trois nombres adjacents, la somme obtenue n'est jamais divisible par 3. Parmi les cinq nombres écrits, combien sont divisibles par 3 ?

Bonne réflexion.

minkus

Posté par jamo jamo

Bonjour,

il est impossible de placer 5, 4 ou 3 nombres divisbles par 3 sur ce cercle.

L'énoncé ne demande pas combien on peut en placer au maximum, donc je réponds que c'est possible avec 2, 1 ou 0 nombres divisbles par 3.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

les 5 nombres peuvent être de la forme : 3k+1; 3k;3k+1;3k;3k+1.
Pris deux à deux consécutifs, leur somme n'est pas multiple de 3. Comme le total est multiple de 3, pris trois à trois consécutifs, leur somme n'est pas non plus multiple de 3.
Il y a donc 2 multiples de 3 parmi les 5..

Posté par nobody (invité)

Bonjour,

je pense qu'il n'y peut avoir que 2 multiples de 3 (pas plus, pas moins)
Par exemple, avec 1, 1, 3, 1 et 3

Posté par manpower manpower

Bonjour,

je l'avais déjà fait

Je trouve nombres divisibles par 3 en raisonnant sur les restes modulo 3.
Par exemple, un générateur de solution est (à rotation près): 10101.

Merci pour l'énigme.

Posté par infophile infophile

Bonjour



Merci pour l'énigme

Posté par smil smil

bonjour
parmi les 5 nombres, deux seront divisibles par 3

Posté par frenicle frenicle

Bonjour,

S'il y avait plus de deux multiples de 3, au moins deux d'entre eux seraient adjacents, et leur somme serait divisible par 3. Il y a donc au plus deux multiples de 3.

S'il y avait moins de deux multiples de 3, il y aurait trois nombres adjacents non multiples de 3. Mais c'est impossible. Car si ces trois nombres sont congrus modulo 3, leur somme est divisible par 3, et s'ils sont incongrus modulo 3, il y en a deux adjacents et incongrus mod 3, dont la somme est donc divisible par 3.

La seule possibilité est qu'il y ait exactement deux multiples de 3 autour du cercle. Ces deux multiples de 3 ne doivent pas être adjacents, bien sûr. Et on voit facilement que les trois autres nombres doivent être congrus mod 3.

On a donc l'une des deux configurations ci-dessous (modulo 3 et à une rotation près).

1 1  
3   3
  1

2 2  
3   3
  2

Cordialement
Frénicle

Posté par macyoyo (invité)

Il faut 2 nombre divise par 3.

Posté par Euler (invité)

Exercice 2:
Sur le parchemin ci-dessous ne figurent qu'un carré, 3 segments et 3 indications de longueur.
Déterminer l'angle




ABCD est carre les 3 segments sont AP,CP et DP tel qe P est un poit interierur quelconque
  determiner la mes de l'angle APD

AP=2,CP=6 et DP=4
cet exo est un exo d'olimpiades academiques
      bonne chance à tous

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour
deux nombres parmi les cinq sont divisibles par 3
s'il y en avait plus, deux au moins seraient voisins, dont la somme serait divisible par 3
s'il y en avait moins, il y aurait trois nombres consécutifs non divisibles par trois; si leur reste est le même, leur somme est divisible par 3; s'ils ont deux restes différents, on ne peut éviter deux nombres consécutifs dont la somme est divisible par 3
en parcourant le cercle, on peut trouver lS suiteS de restes : 1 1 0 1 0 ou 2 2 2 0 2 0

Posté par TiT126 TiT126

bonjour,

les nombres sont placer autour du cercle dans l'ordre :

1+6=7
6+10=16
10+7=17
7+12=19
12+1=13

1+6+10=17
6+10+7=23
10+7+12=29
7+12+1=20
12+1+6=19

Je pence donc que mon cercle respect les conditions...

Je compte donc multiple de 3 : 6 et 12


En esperant ne pas metre tromper ^^

Posté par caylus caylus

Bonjour Minkus,


Il existe deux entiers parmi les cinq entiers écrits divisibles par 3

mais il peut exister

0,1,2 entier(s) parmi les cinq réels écrits divisibles par 3.

Posté par serialgamer (invité)

aucun

Posté par Livia_C Livia_C

Bonjour,
Deux nombres sont divisibles par 3.
Merçi pour l'énigme.

Posté par piepalm piepalm

Il y a deux nombres divisibles par 3, les trois autres étant congrus entre eux modulo 3 (à 1 ou 2) et imbriqués: 10101 par exemple...

Posté par geo3 geo3

Bonjour
Je dirais  2  sans conviction n verra.
A+

Posté par Eric1 Eric1

Il y en a 2

Posté par omaryto omaryto

je crois ke c 2
merci...

Posté par Delool (invité)

Bonjour,

Si on écrit les nombres dans , on obtient, autour du cercle, deux possibilités :
01011 ou 02022.

Dans chaque cas, il y a autour du cercle 2 nombres divisible par 3.

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

Je trouve que parmi les cinq nombres écrits, sont obligatoirement divisibles par 3.

exemple :           10
                  12             13

                      16     15

Merci Minkus. A+, KiKo21.


Divisible par 3, dans l'aube...

Posté par lo5707 lo5707

bonjour,

il y a forcément 2 nombres divisibles par 3.

exemple: 3 - 1 - 1 - 3 - 1 (en cercle)

merci pour ce défi

Posté par chaudrack chaudrack

Bonjour, et merci pour cette énigme

je trouve qu'il y a nécessairement 2 nombres divisibles par 3 sur les cinq inscrits

ainsi, deux où trois nombres adjacents n'auront jamais une somme divisible par 3.

@ plus, Chaudrack

Posté par masterfab2 masterfab2

2

Posté par davidlab davidlab

2 de ces nombres sont des multiples de 3.

Preuve :

Soit N, le nombre de multiples de 3 parmi ces nombres.

N ne doit pas dépasser 2, car sinon, deux de ces nombres seront adjacents.

Si N 1 , alors on aura au moins 4 nombres adjacents non-divisibles par 3.

Il y a deux cas.

1) Tous ces nombres sont égaux (mod 3)

Dans ce cas, la somme de 3 nombres adjacents sera un multiple de 3.

2) Il existe 2 nombres adjacents a et b tels que a = 1 (mod 3) et b = 2 (mod 3).

Dans ce cas, a + b est un multiple de 3.

Donc forcément, N = 2. On y arrive en prenant 2 nombres non-adjacents comme multiples de 3, puis tous les autres équivalents modulo 3.  

Posté par cohlar cohlar

Bonjour, je pense que parmis ces 5 nombres, 2 sont divisibles par 3.
Merci pour l'énigme ^^

Posté par savoie (invité)

Bonjour,

Sympa ce petit problème à 1 étoile.

Si 2 nombres adjacents sont divisibles par 3, leur somme l'est aussi, ce qui est interdit. Donc il reste les possibilités suivantes :
1-/ soit 2 nombres divisibles par 3, non adjacents
2-/ soit un seul nombre divisible par 3
3-/ soit aucun nombre divisible par 3.

Les nombres non divisibles par 3 s'écrivent (x étant un nombre entier)
catégorie 1 : 3x + 1, catégorie 2 : 3x + 2

Si deux nombres d'une catégorie différente sont adjacents, leur somme est égale à 3x + 3y + 3 est divisible par 3, ce qui est interdit. Donc un nombre d'une catégorie 1 ou 2 ne peut avoir à côté de lui qu'un nombre d'une même catégorie, ou un multiple de 3.

Prenons 3 nombres adjacents, non divisibles par 3, et respectant la condition ci-dessus (donc d'une même catégorie) : leur somme est divisible par 3, ce qui est interdit.

On ne peut donc pas avoir 3 nombres adjacents, dont aucun n'est multiple de 3.

Il y a donc forcément 2 nombres parmi les 5, divisibles par 3. Exemple :
1 4 3 7 6

Merci pour cette énigme.

Posté par lafol lafol

Bonjour
ou aucun n'est divisible par 3, ou un seul, ou deux non voisins
Dans le concours Kangourou, une aide est apportée par l'allure des cinq réponses proposées .... bon, on est un peu plus grands que les 6° 5° ... mais jamais à l'abri d'un poisson ...

Posté par Nyavlys Nyavlys

Bonjour,

les 5 nombres sont de la forme :
(3n) (3n+1) (3n+1) (3n) (3n+1)
OU BIEN
(3n) (3n+2) (3n+2) (3n) (3n+2)

Ce qui revient au même pour la réponse :

2 nombres sont multiples de 3

Posté par borneo borneo

Bonsoir,

il y en a deux.



(la honte si je me suis trompée...)

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Parmi les cinq nombres, deux sont divisibles par trois.

Posté par veuchdeuf (invité)

Il y en aurait exactement 2

Posté par omblechevalier omblechevalier

Il faut que 2 nombres soient multiple de trois.

Posté par rezoons rezoons

2 sont divisibles par 3

Posté par Dan-G (invité)

Bonjour,

2 nombres multiples de 3 non adjacents

Posté par evariste evariste

Il y en a exactement 2 qui sont divisibles par 3 et non voisins.
Les trois autres doivent soit tous être de la forme 3n+1 ou soit tous de la forme 3n+2.

Posté par purdy purdy

bonjour,

    2 nombres (non adjacents) sont divisibles par 3, parmi les cinq,
merci pour cette énigme

Posté par jazzegag (invité)

Aucun ne doit etre divisble par 3

Posté par Yami89 (invité)

2

Posté par Yami89 (invité)

3

Posté par o_0 o_0

Bonjour,

Je trouve au moins un nombre divisible par 3,
ex: 1-3-4-6-7

1+3=4   1+3+4=8
3+4=7   3+4+6=13
4+6=10  4+6+7=17
6+7=13  6+7+1=14
7+1=8   7+1+3=11

Merci pour l'énigme

Posté par b16582002 (invité)

aucun

Posté par solidus (invité)

Salut
Pour la reponse je pense que c'est 3

Posté par matthieu73 matthieu73

Je trouve que deux de ces cinq nombres sont divisibles par 3.

Ma configuration:

       3k+1

3l             3m

  3n+1     3p+1

Posté par Mathieucote Mathieucote

Il y a nécessairement 2 nombres divisibles par 3
Soit a b c d e, des constantes :

             (3a+1)
    
     (3b+1)           (3c)
        
      
        (3d)      (3e+1)

où l'on peut changer tous les "+1" par des "+2"

Posté par Sinika (invité)

Quelle jolie enigme...
Je répondrai 2.

Exemple :  

    8
   3 2
   2 3

Posté par thomas thomas

2

Posté par orb (invité)

pour mon premier jour d'inscription, je me lance, mais bon, du taf, pas plus de 5 secondes de reflexion permise ^^

je dirais 2

exemple :

3-1-1-3-1.

Posté par Andrei Andrei

2

Posté par simon92 simon92

bonjours, je dirais 2, mais il ne faut evidement pas que c'est deux nombres soit a coté...