Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 147 : Cinq nombres sur un cercle.

Bonjour a tous,

Jeudi 22 mars avait lieu le concours Kangourou 2007.

Je vous propose donc aujourd'hui un petit exercice très abordable car extrait des énonces niveau 6e-5e




Cinq nombres sont écrits autour d'un cercle, de telle sorte qu'en ajoutant deux nombres ou trois nombres adjacents, la somme obtenue n'est jamais divisible par 3. Parmi les cinq nombres écrits, combien sont divisibles par 3 ?

Bonne réflexion.

minkus

Bonjour,

il est impossible de placer 5, 4 ou 3 nombres divisbles par 3 sur ce cercle.

L'énoncé ne demande pas combien on peut en placer au maximum, donc je réponds que c'est possible avec 2, 1 ou 0 nombres divisbles par 3.

les 5 nombres peuvent être de la forme : 3k+1; 3k;3k+1;3k;3k+1.
Pris deux à deux consécutifs, leur somme n'est pas multiple de 3. Comme le total est multiple de 3, pris trois à trois consécutifs, leur somme n'est pas non plus multiple de 3.
Il y a donc 2 multiples de 3 parmi les 5..

Bonjour,

je pense qu'il n'y peut avoir que 2 multiples de 3 (pas plus, pas moins)
Par exemple, avec 1, 1, 3, 1 et 3

Bonjour,

je l'avais déjà fait

Je trouve nombres divisibles par 3 en raisonnant sur les restes modulo 3.
Par exemple, un générateur de solution est (à rotation près): 10101.

Merci pour l'énigme.

Bonjour



Merci pour l'énigme

bonjour
parmi les 5 nombres, deux seront divisibles par 3

Bonjour,

S'il y avait plus de deux multiples de 3, au moins deux d'entre eux seraient adjacents, et leur somme serait divisible par 3. Il y a donc au plus deux multiples de 3.

S'il y avait moins de deux multiples de 3, il y aurait trois nombres adjacents non multiples de 3. Mais c'est impossible. Car si ces trois nombres sont congrus modulo 3, leur somme est divisible par 3, et s'ils sont incongrus modulo 3, il y en a deux adjacents et incongrus mod 3, dont la somme est donc divisible par 3.

La seule possibilité est qu'il y ait exactement deux multiples de 3 autour du cercle. Ces deux multiples de 3 ne doivent pas être adjacents, bien sûr. Et on voit facilement que les trois autres nombres doivent être congrus mod 3.

On a donc l'une des deux configurations ci-dessous (modulo 3 et à une rotation près).

1 1  
3   3
  1

2 2  
3   3
  2

Cordialement
Frénicle

Il faut 2 nombre divise par 3.

Exercice 2:
Sur le parchemin ci-dessous ne figurent qu'un carré, 3 segments et 3 indications de longueur.
Déterminer l'angle




ABCD est carre les 3 segments sont AP,CP et DP tel qe P est un poit interierur quelconque
  determiner la mes de l'angle APD

AP=2,CP=6 et DP=4
cet exo est un exo d'olimpiades academiques
      bonne chance à tous

bonjour
deux nombres parmi les cinq sont divisibles par 3
s'il y en avait plus, deux au moins seraient voisins, dont la somme serait divisible par 3
s'il y en avait moins, il y aurait trois nombres consécutifs non divisibles par trois; si leur reste est le même, leur somme est divisible par 3; s'ils ont deux restes différents, on ne peut éviter deux nombres consécutifs dont la somme est divisible par 3
en parcourant le cercle, on peut trouver lS suiteS de restes : 1 1 0 1 0 ou 2 2 2 0 2 0

bonjour,

les nombres sont placer autour du cercle dans l'ordre :

1+6=7
6+10=16
10+7=17
7+12=19
12+1=13

1+6+10=17
6+10+7=23
10+7+12=29
7+12+1=20
12+1+6=19

Je pence donc que mon cercle respect les conditions...

Je compte donc multiple de 3 : 6 et 12


En esperant ne pas metre tromper ^^

Bonjour Minkus,


Il existe deux entiers parmi les cinq entiers écrits divisibles par 3

mais il peut exister

0,1,2 entier(s) parmi les cinq réels écrits divisibles par 3.

aucun

Bonjour,
Deux nombres sont divisibles par 3.
Merçi pour l'énigme.

Il y a deux nombres divisibles par 3, les trois autres étant congrus entre eux modulo 3 (à 1 ou 2) et imbriqués: 10101 par exemple...

Bonjour
Je dirais  2  sans conviction n verra.
A+

Il y en a 2

je crois ke c 2
merci...

Bonjour,

Si on écrit les nombres dans , on obtient, autour du cercle, deux possibilités :
01011 ou 02022.

Dans chaque cas, il y a autour du cercle 2 nombres divisible par 3.

Bonjour,

Je trouve que parmi les cinq nombres écrits, sont obligatoirement divisibles par 3.

exemple :           10
                  12             13

                      16     15

Merci Minkus. A+, KiKo21.


Divisible par 3, dans l'aube...

bonjour,

il y a forcément 2 nombres divisibles par 3.

exemple: 3 - 1 - 1 - 3 - 1 (en cercle)

merci pour ce défi

Bonjour, et merci pour cette énigme

je trouve qu'il y a nécessairement 2 nombres divisibles par 3 sur les cinq inscrits

ainsi, deux où trois nombres adjacents n'auront jamais une somme divisible par 3.

@ plus, Chaudrack

2

2 de ces nombres sont des multiples de 3.

Preuve :

Soit N, le nombre de multiples de 3 parmi ces nombres.

N ne doit pas dépasser 2, car sinon, deux de ces nombres seront adjacents.

Si N 1 , alors on aura au moins 4 nombres adjacents non-divisibles par 3.

Il y a deux cas.

1) Tous ces nombres sont égaux (mod 3)

Dans ce cas, la somme de 3 nombres adjacents sera un multiple de 3.

2) Il existe 2 nombres adjacents a et b tels que a = 1 (mod 3) et b = 2 (mod 3).

Dans ce cas, a + b est un multiple de 3.

Donc forcément, N = 2. On y arrive en prenant 2 nombres non-adjacents comme multiples de 3, puis tous les autres équivalents modulo 3.  

Bonjour, je pense que parmis ces 5 nombres, 2 sont divisibles par 3.
Merci pour l'énigme ^^

Bonjour,

Sympa ce petit problème à 1 étoile.

Si 2 nombres adjacents sont divisibles par 3, leur somme l'est aussi, ce qui est interdit. Donc il reste les possibilités suivantes :
1-/ soit 2 nombres divisibles par 3, non adjacents
2-/ soit un seul nombre divisible par 3
3-/ soit aucun nombre divisible par 3.

Les nombres non divisibles par 3 s'écrivent (x étant un nombre entier)
catégorie 1 : 3x + 1, catégorie 2 : 3x + 2

Si deux nombres d'une catégorie différente sont adjacents, leur somme est égale à 3x + 3y + 3 est divisible par 3, ce qui est interdit. Donc un nombre d'une catégorie 1 ou 2 ne peut avoir à côté de lui qu'un nombre d'une même catégorie, ou un multiple de 3.

Prenons 3 nombres adjacents, non divisibles par 3, et respectant la condition ci-dessus (donc d'une même catégorie) : leur somme est divisible par 3, ce qui est interdit.

On ne peut donc pas avoir 3 nombres adjacents, dont aucun n'est multiple de 3.

Il y a donc forcément 2 nombres parmi les 5, divisibles par 3. Exemple :
1 4 3 7 6

Merci pour cette énigme.

Bonjour
ou aucun n'est divisible par 3, ou un seul, ou deux non voisins
Dans le concours Kangourou, une aide est apportée par l'allure des cinq réponses proposées .... bon, on est un peu plus grands que les 6° 5° ... mais jamais à l'abri d'un poisson ...

Bonjour,

les 5 nombres sont de la forme :
(3n) (3n+1) (3n+1) (3n) (3n+1)
OU BIEN
(3n) (3n+2) (3n+2) (3n) (3n+2)

Ce qui revient au même pour la réponse :

2 nombres sont multiples de 3

Bonsoir,

il y en a deux.



(la honte si je me suis trompée...)

Bonjour,

Parmi les cinq nombres, deux sont divisibles par trois.

Il y en aurait exactement 2

Il faut que 2 nombres soient multiple de trois.

2 sont divisibles par 3

Bonjour,

2 nombres multiples de 3 non adjacents

Il y en a exactement 2 qui sont divisibles par 3 et non voisins.
Les trois autres doivent soit tous être de la forme 3n+1 ou soit tous de la forme 3n+2.

bonjour,

    2 nombres (non adjacents) sont divisibles par 3, parmi les cinq,
merci pour cette énigme

Aucun ne doit etre divisble par 3

2

3

Bonjour,

Je trouve au moins un nombre divisible par 3,
ex: 1-3-4-6-7

1+3=4   1+3+4=8
3+4=7   3+4+6=13
4+6=10  4+6+7=17
6+7=13  6+7+1=14
7+1=8   7+1+3=11

Merci pour l'énigme

aucun

Salut
Pour la reponse je pense que c'est 3

Je trouve que deux de ces cinq nombres sont divisibles par 3.

Ma configuration:

       3k+1

3l             3m

  3n+1     3p+1

Il y a nécessairement 2 nombres divisibles par 3
Soit a b c d e, des constantes :

             (3a+1)
    
     (3b+1)           (3c)
        
      
        (3d)      (3e+1)

où l'on peut changer tous les "+1" par des "+2"

Quelle jolie enigme...
Je répondrai 2.

Exemple :  

    8
   3 2
   2 3

2

pour mon premier jour d'inscription, je me lance, mais bon, du taf, pas plus de 5 secondes de reflexion permise ^^

je dirais 2

exemple :

3-1-1-3-1.

2

bonjours, je dirais 2, mais il ne faut evidement pas que c'est deux nombres soit a coté...