Convergence moyenne et moyenne quadratique

Posté par Riemann (invité)

Bonjour je bloque en ce moment sur certaines convergences.

J'ai la fonction suivante définie sur : fn(t)=(n)*e(-n²t²)

1) Etudier la convergence simple
2) Etudier la convergence uniforme
3) Etudier la convergence en moyenne
4) Etudier la convergence en moyenne quadratique

1) Je fais tendre n vers +00 ce qui me donne de qu'elle converge simplement vers 0.
2) la fonction est positive et décroissante elle est donc majorée par n qui est divergente, la fonction ne converge donc pas uniformément.

Pour les question 2 et 3 je n'ai aucune idée de la méthode à appliquer.

Posté par Rouliane Rouliane

Bonjour,

La convergence en moyenne, c'est la convergence dans

Posté par kaiser kaiser

Bonjour Riemann

Pour la 2), je ne suis pas d'accord : on ne peut pas conclure avec ce que tu as mis.

Kaiser

Posté par kaiser kaiser

salut Rouliane

Posté par Rouliane Rouliane

Salut kaiser

Posté par romu romu

euh , si f converge dans ,
ça équivaut à dire que f est lebesgue-intégrable?

Posté par kaiser kaiser

comment ça ?

Kaiser

Posté par Rouliane Rouliane

oui, c'est ça Romu.

Kaiser, on justifie comme la non-CVU ? en disant que le sup est plus grand que 1 à partir d'un certain rang, non ?

Posté par Rouliane Rouliane

oops j'ai mal lu , f est la limite donc ça veut rien dire qu'elle converge dans L1.
je pensais qu'il disait f est dans L1.

Posté par romu romu

désolé je reformule, en fait je voulais savoir si

f converge dans équivaut à .

Posté par kaiser kaiser

Rouliane > il faut dire que le sup est effectivement égal à .

Kaiser

Posté par romu romu

ok

Posté par kaiser kaiser

autre chose : il y a convergence vers la fonction nulle mais uniquement presque partout (en 0, il y a un problème).

Kaiser

Posté par Rouliane Rouliane

Oui, effectivement Kaiser, il suffit de dire que le sup ne tend pas vers 0 ...

Posté par kaiser kaiser

toutafé !

Kaiser

Posté par Rouliane Rouliane

Le language SMS est banni sur ce forum, Kaiser !

Posté par Riemann (invité)

Vous répondez vraiement tout de suite ici !

Je ne comprend pas pourquoi tu dis que je ne peux pas conclure Kaiser sur la question 2.
Arete moi si je me trompe, pour montrer la convergence uniforme je dois prouver que sup|fn - f| converge
c'est à dire que sup|fn| converge car f converge (effectivement presque partout) vers 0 quand n->00
Donc sup|fn|=n car la fonction exponentielle est décroissante.
la fonction ne converge donc pas uniformément car n diverge

Pour la convergence en moyenne, pourriez-vous m'expliquer plus en détails car je ne comprend vraiment pas.

Posté par kaiser kaiser

Pour la convergence uniforme, ce n'est pas ce que tu as laissé entendre.
Tu disais simplement que le sup était inférieur à , pas qu'il était égal.
Maintenant, c'est correct.

Kaiser

Posté par Riemann (invité)

désolé j'ai pas été super clair. Par contre je ne comprend pas comment il faut s'y prendre pour la convergence moyenne .

Posté par kaiser kaiser

déjà, si ça converge en moyenne, alors l'intégrale de la valeur absolue de la suite converge aussi.
Essaie alors de t'intéresser à la suite de ces intégrales.

Kaiser

Posté par Riemann (invité)

ok donc la fonction convergera en moyenne si elle converge dans L1 c'est-a-dire que

converge.

J'enleve la valeur absolue car fn(t) est définie sur -> +

Puisque donc

Est-ce que ca peux marcher comme ca? j'ai un gros doute

Posté par kaiser kaiser

cette majoration est trop brutale.
Tu peux calculer cette intégrale.

Kaiser

Posté par Ksilver Ksilver

enfin, tu peut par un changement de variable exprimer cette intégral en fonction de l'intégral sur R de exp(-x²) qui ne dépend plus de n, à ce moment le comportement de la suite quand n->infinit sera plus "evident"

la majoration que tu fais la est non seulement trop brutal, mais n'a aucun sens : l'intégral de sqrt(n) sur R diverge !


sinon petit errata : pour la convergence simple, ele n'est vrai que sur R*, en 0 la suite diverge !

Posté par Riemann (invité)

ok

l'intégrale donne et cette fonction converge donc en moyenne qd n tend vers +00. c'est bon?

Posté par kaiser kaiser

Je ne suis pas sûr d'avoir saisi cette expression.

Kaiser

Posté par Riemann (invité)

Bon laissez faire je crois que j'y arriverai pas. En tout cas merci d'avoir passé autant de temps à m'avoir aider.

Posté par kaiser kaiser

comme te le propose Ksilver effectue un changement de variable : u=nt

Kaiser

Posté par Riemann (invité)

En faisant le changement de variable u=nt:
dt=du/n

cela me donne :


On voit donc que ca ne converge pas en moyenne quand n tend vers +oo. Juste?

Posté par kaiser kaiser

eh bien si : ça tend vers 0

Kaiser

Posté par Riemann (invité)

Je comprend plus d'après Riemman on a 1/n^x avec x=1/2 pourquoi ca ne divergerai pas?

Posté par Riemann (invité)

ah mais l'intégrale c'est par rapport a u, je crois que je me suis bien embrouillé la.

Posté par Riemann (invité)

Bon kaiser j'arete d'abuser de ton temps, fallait bien que je sois le boulet de la journée lol.
Si tu connais un site pas mal sur les convergences et pas trop compliqué tu auras mon respect eternel . J'ai pas trop de matière sur quoi réviser en fait.
En tout cas merci à tous.

Posté par Ksilver Ksilver

fais un peu plus attention a ce que tu ecris : tu integre exp(-u²) pour u de -inf a +inf : ca converge .


pui tu divise le tous par 1/sqrt(n). et quand tu fais tendre n vers +inf, sqrt(n) tend vers plus l'infinit et donc le tous tend vers 0.

on integre pas en n, mais en u !