Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 149 : Le pin's.

Bonjour à tous,

Un peu de géométrie pour finir le mois.

Un pin's* carré de côté 1 cm "roule" sans glisser sur le pourtour d'un triangle équilatéral de côté 3 cm.

La position initiale est représentée ci-dessous (figure 1)




Le pin's pivote tout d'abord autour du point A (figure 2) jusqu'à ce que la pointe du fleuret vienne en B. Puis il pivote autour du point B (figure 3) jusqu'à ce que le côté suivant du carré vienne sur [BC]. Il pivote ensuite autour du point C (figure 4)...



On fait ainsi tourner le pin's sur le pourtour du triangle équilatéral jusqu'à ce qu'il ait repris sa place de départ, et dans la position initiale.

Quelle est la longueur de la trajectoire parcourue par la pointe du fleuret dans ce périple?

(On pourra donner une valeur approchée arrondie au millimètre.)

*Pour ceux qui n'auraient pas connu, un pin's est une espéce de badge à épingle très à la mode au début des années 90.




Bonne réflexion.

minkus

Bonjour,

la formule exacte de la réponse est
soit 69.7 cm environ.

Il faut 36 mouvements pour que la pointe retrouve sa position initiale.

1. 12 mouvements à 1/4 de circonférence
2. 9 mouvements sans déplacement
3. 6 mouvements à 7/12 de circonférence
4. 6 mouvements à 2/4 de circonférence
5. 3 mouvements à 72/12 de circonférence

Donc au total (3+7/2 +6 2/4 + 72/4)=
(13/2 +13 2/4)=13/2(1+2/2) d'une circonférence.

Le côté étant égal à 1cm, la circonférence totale est égale à 2.
La longueur parcourue est donc de (1+2/2)*13=69,719cm 69,7 cm. (arrondi au mm le plus proche).

Bonjour,

La pointe du fleuret parcourt 13[1+(2)/2], soit environ 697 mm.

A+,
gloubi
-

Bonjour,

j'avoue que j'ai pris la méthode bourrin, en découpant le pin et en le faisant tourner sur une feuille...

Je trouve 69.7 cm

bonjour,

Alors, il y a 4 types de déplacement:
* une rotation de 90° de rayon 1, soit
* une rotation de 210° de rayon 1, soit
* une rotation de 90° de rayon 2; soit
* une rotation de 210° de rayon 2, soit

Il faut faire attention qu'après avoir fait un tour, le pin's est à sa place mais pas dans la même position, il a subi une rotation de 90°, il faudra donc faire 4 tours pour que le fleuret retrouve sa possition initiale.

En 4 tours, il parcourt: (13 + 62)
càd 67,5 cm (arrondi)

je joins la trajectoire totale. (l'image ne passe pas dans l'aperçu... ? )

merci pour l'énigme

la voilà:

Bonjour,

un petit coup de ciseau, un peu de patience pour faire les 4 tours, et je trouve :

Valeur exacte : 13*PI*(1+V2/2) cm

Valeur approchée : 69,7 cm

Bonjour,

La longueur de la trajectoire parcourue par la pointe du fleuret dans ce périple est exactement de
soit en valeur approchée arrondie au millimètre le plus proche

On pouvait remplacer le fleuretiste par une licorne de printemps...

...en mettant le bout de la corne dans un coin du carré !

Merci Minkus pour ce défi comme je les aime...

A+, KiKo21.

Le pin's a besoin de 9 rotations pour reprendre sa place originale, et de 4 rotations pour que la pointe du fleuret reprenne sa position originale par rapport aux côtés du triangle.

Il lui faudra donc 36 rotations au total, soit 4 pour chaque place.

De plus, pour chaque case, chacun des 4 sommets du pin's aura servi de pivot. Ainsi, la pointe du fleuret aura pris les 4 rayons suivants : 0, 1, 1, 2.

Des 9 poins de rotations sur le triangle, 3 engendreront une rotaion de 7/6, et les 6 autres, de /2.


Voici donc le calcul à faire :

3*7/6*(0+1+1+2)+6*/2*(0+1+1+2), ce qui nous donne (13(2+2))/2 cm, soit environ 6972 mm.

bonjour
la trajectoire de la pointe du fleuret est 69,7 cm = 697 mm arrondi
si on adapte le point de vue de façon à être toujours sous le côté du carré qui repose sur le triangle, la pointe change de coin de départ de 1 en 1 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre
il faut trente-six déplacements (ppcm de 4 et de 9) pour que la position de départ soit retrouvée
déplacements sur les côtés
la pointe part
six fois du coin inférieur droit : déplacement = 0
douze fois du coin supérieur droit ou du coin inférieur gauche : déplacement = 12*pi/2 = 6pi
six fois du coin supérieur gauche : elle décrit un quart de cercle dont le rayon est la diagonale du carré : 6pi/V2
total : 6pi(1 + 1/V2)
pivotements autour des sommets
ils sont chaque fois deux fois moins nombreux que les déplacements simples correspondants sur les côtés, mais aussi 7/3 + grands, car la rotation est de 210° au lieu de 90°
le total des pivotements est donc 7/6 du total des déplacements simples : 7pi(1 + 1/V2)
la longueur de la trajectoire est donc 13pi(1+1/V2) cm

Bonjour à tous

Enigme bien difficile en fait, tant les sources d'erreurs peuvent être nombreuses..

Mais vous connaissez ma philosophie, Qui ne tente rien n'a rien!

D'abord, j'ai remarqué que pour que le carré reprenne

citation :
sa place de départ, et dans la position initiale.

il fallait faire 4 fois le tour du triangle équilatéral.

Ensuite, il s'agit de faire l'accumulation de trajectoire circulaire de rayon 1 et de rayon 2.

Je trouve d'après dessin (voir schéma des trajectoires) que le parcours se compose de 2340° de courbes circulaires de rayon 1 et de 1170° de courbes circulaires de rayon 2.



Comme chacun le sait, le périmètre d'un cercle est égal à 2.R (pour 360°)

On a donc:

Trajet de rayon 1: (2340x2.1)/360 soit 13.
Trajet de rayon 2: (1170x2.2)/360 soit 6.5.2.

Soit un total de 13 + 6.5.2. (cm bien sur)

La valeur approchée du resultat nous indique alors que la pointe du fleuret a parcouru environ 69.72 cm.

Merci pour cette énigme

@ plus, Chaudrack

Bonjour, je trouve comme distance parcourue 13+(132)/2
soit une valeur approchée de : 69,719 cm

Voici en plus, les trajets séparés, et le retour à la position d'origine



@ plus, Chaudrack

Bonjour
=   7*+8*(2)/3 cm
=  338 mm
A+

bonsoir
je propose 69,7 cm

Bonjour,

Je trouve qu'après quatre tours du triangle, le pin's revient à sa position initiale. La pointe du fleuret a alors parcouru une distance de
cm
soit approximativement 69,7 cm.


Cordialement
Frénicle

bonsoir,

La pointe du fleuret a parcouru :16,48 cm, donc, arrondi au mm : 16,5 cm
merci pour ce défi.

la longueur est 16.4857

Bonsoir,

"Un peu de géométrie pour finir le mois" : Bonne idée !

Alors, sans détails _{(semaine vraiment très chargée et pas finie en plus...)}, je propose:
(en un tour le pins parcourre mais a tourné d'un quart de tour...
il faudra 4 tours "jusqu'à ce qu'il ait repris sa place de départ, et dans la position initiale").
Ce qui donne une valeur approchée de 65,9 cm.

Merci pour cette jolie énigme. Piège à souhait

^{PS: Si j'ai le courage et le temps je posterais demain une figure...}

Bonjour Minkus,

La longueur de la trajectoire parcourue par la pointe du fleuret dans ce périple est de 338 (mm). [(7+8V2/3)*PI (cm)]

Ceci n'est pas une pipe mais peut-être ses volutes
(je commets un impair! le site est un lieu public)

salut,

Je pence que pour revenir en position initial, le pins devra acomlir 4 tours ce qui lui fera un trajet total de

voila ^^

Bonsoir, l'image promise juste pour le plaisir :

36 cm

Salut!

La pointe du fleuret aura parcouru 65.4 mm!

@+

27,314cm

Bonjour,
23/12 ème de la circonférence d'un cercle de rayon 1 + 1/2 circonférence d'un cercle de rayon 2
soit (23/12)*2* + *2
16,5 cm

Je dirais 47.6cm

16,5 cm

La pointe du fleuret décrit d'abord 1/4 de cercle de rayon 1, puis reste immobile, puis décrit 7/12 de cercle de rayon 1, et recommence le même parcours trois fois.
Soit en tout 5/2 fois la circonférence d'un cercle de rayon 1 cm, soit 5pi ou encore environ 15,7 cm

Par rapport à l'image:
1. (1²+1²)^0,5 = 1,41421cm = 14mm
2. 2r / 360^o * 210^o = 3,66588 cm =37mm
3. 2*1 = 2cm = 20mm
4. (1²+1²)^0,5 = 1,41421cm = 14mm
5. (1²+1²)^0,5 = 1,41421cm = 14mm
6. (1²+1²)^0,5 = 1,41421cm = 14mm
7. 2r / 360^o * 210^o = 3,66588 cm =37mm

total = 150mm

Bonjour,

Pour retourner dans sa position initiale, le pin's doit faire 4 tours de triangle.
La longueur parcourue par la pointe de l'épée sera de :
, soit 69,7 cm environ.

36 mouvements, de différentes natures donc de différentes longueurs :
- l'épée est sur un coté adjacent au pivot et le mouvement reste sur le même coté du triangle
: 12 mouvements
-l'épée est en diagonale par rapport au pivot et le mouvement reste sur le même coté du triangle
: 6 mouvements
-l'épée est sur le pivot
0 : 9 mouvements
-l'épée est sur le coté adjacent perpendiculaire au triangle et le pins bascule sur l'autre coté
: 3 mouvements
-l'épée est sur le coté adjacent parallèle au triangle et le pins bascule sur l'autre coté
: 3 mouvements
-l'épée est sur la diagonale et le pins bascule
: 3 mouvements

en tout,

Bonjour,
     La longueur de la trajectoire parcourue par la pointe du fleuret dans ce périple est 69,6 cm (pour pi=3.14 et racine 2=1.41)
                    69,7 cm (pour pi=3.1415 et racine 2=1.4142)
La
Donc la longueur est 69,7 cm ou 697 mm

Bonjour,
j'ai déjà répondu,mais en calculant un tour!
mais bien sûr, pour retrouver la position initiale du fleuret, le pin's doit faire 4 fois le tour du triangle équilatéral; ainsi sa trajectoire sera de:69,71cm donc :
                              70 cm     arrondi au mm

Bonjour,
* 1 tour du triangle = 9 basculements
* 4 basculenents pour retrouver le fleuret dans la même position
* il faut donc 36 basculements
* basculement sur la pointe du fleuret = 0
* basculement sur un sommet avant et après le fleuret :un diamètre de 1cm
* basculement sur le sommet opposé au repère:un diamètre de [smb]racine[2]cm
* basculement sur un côté du triangle : angle de 90°
* basculement sur un sommet du triangle : angle de 210°

En tenant compte des remarques si dessus je trouve 34,9 cm (arrondi au mm)

(/6)*(61+642)
Environ 79.33 cm

traj=4pi²+6pi=58.3279cm
il faut remarquer que le pin's doit faire deux tours de triangle avant de revenir à sa position initiale.
Il fait donc trois fois le tour des angles(soit un angle de 2pi/3) = 3*2*pi*2pi/3=4pi²
Il fait en tout 6 fois un demi cercle(un par coté et par tour) =6*1/2*2pi=6pi

salut tt le monde
La longueur de la trajectoire est :
39./2 cm

l'orsque le pin's retrouve sa position la pointe du fleuret a fait 12 tours de cercle de rayon le cotè du carrè.donc la longueur parcourue par la pointe du fleuret est de 75,36cm.

bonjour

Au risque d'erreur de calcul près, je trouve une distance de (41+16V2)pi/6 soit 333 mm

Jolie énigme, minkus, qui m'inspire celle-ci :

citation :
Sur le même principe que l'énigme de minkus, quelle serait la distance parcourue par la pointe du fleuret du pin's carré de 1 cm de côté "roulant" sans glisser sur le pourtour du triangle équilatéral de k cm de côté, k étant un entier naturel supérieur ou égal à 2 ?

Merci

J'ai trouvé que longeur de la trajectoire parcourue par la pointe du fleuret est d'environ 697 millimètres

j'ai obtenu 5(2+2), soit environ 53.63cm, en espérant n'avoir pas cumulé trop d'erreurs...

Bonjour,

Voilà ma réponse : , ce qui vaut à peu près 69.7 cm.

Pour cela, j'ai étudié le parcours de la pointe de l'épée. La pièce fait quatre fois le tour du triangle avant que le motif ne revienne à sa position initiale. La pointe de l'épée fait :
. 12 quarts de tour de rayon 1cm
. 6 quarts de tour de rayon cm
. 6 "morceaux de tour" d'angle au centre et de rayon 1cm
. 3 "morceaux de tour" d'angle au centre et de rayon cm

BA

la reponse est soit environ  14,92cm

bonjour,
je dirai que pour revenir a sa place dans sa position initiale, le pin's doit parcourir 4 fois le tours du triangle.
La pointe du fleuret aura donc parcouru 69,7 cm

Salut :

la longueur de la trajectoire parcourue par la pointe du fleuret dans ce périple est tel que:

salut

la longueur de la trajectoire est

4*(/2)  cm égale à environ  6.283

Bonsoir,

Je vais essayer de revenir a des delais de correction plus courts (environ 2 semaines) pour eviter les chevauchements d'un mois sur l'autre.  

Si certains pensent que ce delai est trop court (ou bien encore trop long), qu'ils le fassent savoir

La longueur totale du parcours etait 69,7 cm.

Comme l'ont dit certains, il y avait plusieurs sources d'erreurs, a commencer par le fait qu'il fallait faire 4 tours pour revenir a la position initiale.

Merci a tous ceux qui ont joint de bien belles images Celle de Chaudrak par exemple montre bien que les 4 tours n'ont pas la meme longueur, un ecueil supplementaire pour certains.

minkus

Eh oui ! Trois des cinq premiers ex-aequo ont chute sur ce defi de geometrie.

Il ne reste plus que deux candidats en lice ! Plumemeteore est bien place et le meriterait bien apres plusieurs podiums, a moins que Frenicle - nouvelle (nouveau ?) arrivante et inscrite juste a temps pour participer au challenge de mars - ne lui vole la premiere place au dernier moment.