Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 150 : Le théodolite.

Bonjour,

Et encore un peu de géométie...

Le père de Geoffroy qui est très riche vient d'offrir à son fils ce magnifique théodolite pour réviser la géométrie :



Geoffroy réunit donc tous ses copains Nicolas, Alceste, Clotaire, Eudes et Joachim et ils se rendent au terrain vague qui se trouve être parfaitement plat. Agnan n'est pas venu parce que lui il n'a pas besoin de réviser.

Les six amis se placent alors chacun à un endroit et plantent un bâton pour repérer leurs positions. (On assimilera chaque bâton à son propriétaire.)

Chacun peut déjà remarquer que :

    * Geoffroy, Nicolas, et Alceste sont alignés.
    * Geoffroy, Clotaire, et Joachim sont alignés.
    * Nicolas, Eudes, et Joachim sont alignés.
    * Clotaire, Eudes, et Alceste sont alignés.

Mais Geoffroy, Nicolas, et Clotaire ne sont pas alignés!

Ensuite, ils commencent à effectuer des mesures d'angles au théodolite.

    * Nicolas voit Eudes et Alceste sous le même angle que celui sous lequel elle voit Clotaire et Joachim.
    * Clotaire voit Nicolas et Alceste sous le même angle que celui sous lequel il voit Eudes et Joachim.
    * Eudes voit Nicolas et Clotaire sous un angle double de celui sous lequel Geoffroy voit Nicolas et Clotaire.


Sous quel angle Geoffroy peut-il voir Alceste et Joachim ?

S'il existe plusieurs solutions, on les donnera toutes.

Bonne réflexion.

minkus

(re)Bonjour,

j'appelle x, y et z la valeur des angles calculées par le théodolite (dans l'ordre). Alors,
* dans le triangle CNE, la somme des angles valent 180° :
* dans le triangle GNC, la somme des angles valent 180° :
soit
Alors, , soit . On remarque que z est l'angle demandé.
Donc 60°. Mais 0° est également possible dans le cas où ils sont tous alignés (triangles précédents sont plats).

Soit a l'angle ENA=CNJ et b l'angle NCA=ECJ.
On a GNC=180°-2a et GCN = 180°-2b
NGC=180°-(GNC+GCN)=2(a+b)-180°
NEC=180°-(a+b)=2NGC=4(a+b)-360°
Donc 5(a+b)=540°
a+b= 108°
NGC=2(a+b)-180°=216-180°=36°

On trouve une autre solution avec A entre G et N
NGC=60°.
Mais a priori, je n'en vois pas d'autre..Je crains le pire..
Impressionnant nobody (extraterrestre !!!)..

Bonjour,

Geoffroy voit Alceste et Joachim sous un angle de 60°.

A+
-

Bonjour,

je trouve une solution : 36°.

Bonjour
A l'aide de : la somme des angles d'un triangle = 180° je n'ais trouvé qu'une solution.
L'angle sous lequel Geoffroy peut voir Alceste et Joachim est  de  36°
A+

bonjour
je ne trouve qu'une solution, quelle que soit la configuration, : Geoffroy voit Alceste et Joachim sous un angle de 60°

bonjour
les réponses possibles sont 36°, 60° et, si les enfants se considèrent comme transparents, 0° et 180 °
       si les enfants ne sont pas tous alignés, ils se disposent comme suit : les sommets d'un triangle pointe vers le haut, les pieds sur les côtés gauche et droit de droites partant des sommets du côté bas et l'intersction de ces deux droites (la figure est aussi un quadrilatère complet si on ôte le côté du bas)
       on pose l'ordre des dispositions : sommet haut, pied gauche, pied droit, intersection, sommet gauche, sommet droit
       beaucoup de dispositions ne conviennent pas parce que dans le cas de Nicolas ou de Clotaire un des angles contient l'autre
       dans la disposition Geoffrey, Nicolas, Clotaire, Eudes, Alceste, Joachim (ou sa 'symétrique')
       ena = jnc = a; nca = ecj = b
       ngc = 180°-(180°-2a)-(180°-2b)= 2a+2b-180°
       nec = 180°-a-b = 4a+4b-360°; 5a+5b = 540°; a+b = 108°; nec = 72°; agj = 72°/2 = 36°
       dans la disposition Eudes, Nicolas, Clotaire, Geoffrey, Joachim, Alceste (ou sa 'symétrique')
       ena = jnc -> enc = anj = a
       nca = ecj -> ecn = jca = b
       ngc, nec et agj (qui cette fois est opposé à ngc) se calculent comme dans la disposition précédente
       dans la disposition Geoffrey, Alceste, Joachim, Eudes, Nicolas, Clotaire (ou sa 'symétrique')
       ena = jnc = a; nca = ecj = b
       nec = 180°-a-b
       ngc = 180°-2a-2b = 90° - a/2 - b/2; 90° = 3a/2 + 3b/2 = 3(a+b)/2; (a+b) = 60°; nec = 120°; agj = 120°/2 = 60°
       si les enfants sont tous alignés :
       l'ordre Nicolas, Joachim, Clotaire, Alceste, Eudes, Geoffrey respecte l'énoncé et donne la solution 0°
       l'ordre Nicolas, Joachim, Clotaire, Eudes, Geoffrey, Alceste respecte l'énoncé et donne la solution 180°

Soit G, N, A, C, E, J : les points représentant les positions de Geoffroy, Nicolas, Alceste, Clotaire, Eudes et Joachim respectivement.

D'abord, on peut vérifier que si 4 de ces 6 points sont colinéaires, alors tous les points sont alignés, dont G, N et C, ce qui viole une condition.

On trouve 2 configurations (je crois qu'il n'y en a pas d'autres) illustrées ci-dessous.

On trouve alors deux solutions pour l'angle (voir figure) recherché.

1re configuration :

Il suffit de résoudre le système :

(i) 2+2+=180 degrés. (pour le triangle GCN)
(ii) ++2=180 degrés. (pour le triangle ECN)

De 2(ii) - (i), on trouve :

3=180 degrés, donc =60 degrés.

2e configuration :

Il suffit de résoudre le système :

(i) 180 - 2+ 180 - 2 + = 180 degrés. (pour le triangle GCN)
(ii) ++2=180 degrés. (pour le triangle ECN)

De 2(ii) + (i), on trouve :

5=180 degrés, donc =36 degrés.

Ainsi, l'angle recherché peut être 36 ou 60 degrés.

Salut à tous!

j'ai commencé par faire une petite figure représentative de la situation.



On appelle a l'angle sous lequel Nicolas voit Eudes et Alceste (ou Clotaire et Joachim)

On appelle b l'angle sous lequel Clotaire voit Nicolas et Alceste (ou Eudes et Joachim)

On appelle c le demi-angle sous lequel Eudes voit Nicolas et Clotaire (ou l'angle sous lequel Geoffroy voit Nicolas et Clotaire)

Comme G,N et A sont alignés, que G,C et J le sont aussi et que G,N et C ne le sont pas, alors l'angle c est celui recherché.

On voit alors que 1 et 2 sont définit par 3 triangles chacun.

Petite expérimentation par Excel, et on se rend vite compte que les trois équations de 1 et les trois equations de 2 ne seront identiques que si c=36°


Geoffroy voit donc Alceste et Joachim sous un angle de 36°

Je pense que c'est la seule solution possible.

@ plus, Chaudrack

bonjour,

je ne trouve qu'une seule solution:
Geoffroy voit Alceste et Joachim sous le même angle que celui sous lequel il voit Nicolas et Clotaire

en image ci-dessous

merci pour cette énigme.

PS: j'ignorais que Nicolas pouvait être un prénom féminin...

citation :
Nicolas voit Eudes et Alceste sous le même angle que celui sous lequel elle voit Clotaire et Joachim.

Bonjour Minkus,
Je ne suis pas sûr de l'unicité de la réponse.

Geoffroy peut voir Alceste et Joachim sous un angle de degrés.

Bonjour,

Je trouve seulement deux possibilités :

Si Eudes est à l'intérieur du triangle Geoffroy, Nicolas, Clotaire, l'angle cherché est de /3 ou 60° et s'il est à l'extérieur, l'angle est de /5 ou 36°.


Cordialement
Frénicle

Bonsoir,

encore une très jolie énigme.

Partant du principe que G,N,C ne sont pas alignés le triangle GNC n'est pas aplati, la dernière condition fait appel au théorème de l'angle inscrit qui permet d'affirmer que E est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Reste à examiner les 3 cas possibles: triangle ayant 3 angles aigus, triangle rectangle et triangle avec un angle obtus.

1er cas: Triangle ayant 3 angles aigus :
A[GN] et J[GC], ainsi E doit appartenir aux bissectrices intérieures de et , donc E doit être également le centre du cercle inscrit. La seule possibilité est que le triangle soit équilatéral, d'où .


2ème cas: Si GNC est un triangle rectangle :
S'il est rectangle en N, alors  , G=A et E=J mais l'avant dernière condition ne peut être réalisée. De même s'il est rectangle en C.
Enfin, s'il est rectangle en G ( ), alors N=A et C=J (E milieu de [CN]), les angles sont nuls mais égaux.
Mathématiquement, nous tenons une solution particulière _{(même si physiquement elle est à rejeter car on ne peut planter deux bâtons au même endroit… )}.

3ème cas: Triangle avec un angle obtus :
Déjà, le théorème de l'angle inscrit pose un léger problème car il faudrait avec (en considérant l'angle rentrant ), ensuite il faudrait pour vérifier les deux autres conditions angulaires avoir un losange GCEN, ce qui contredit l'existence de A et J (A intersection de [GN] et [CE]). Impossible.

Facile de trouver la première solution mais un peu moins d'être exhaustif…
Finalement, je retiendrais donc et, _{un peu poussé par la phrase « S'il existe plusieurs solutions, on les donnera toutes. »}, je rajoute   (malgré les points confondus).

Merci pour l'énigme.

15°

2 solutions : 36° et 60°

Si je lis bien (le pronom désignant Nicolas devrait être "il plutôt que "elle"...) NJ est bissectrice de CNA et CA de NCJ (donc E est centre d'un cercle exinscrit du triangle CGN)
Donc 2CEN=pi-AGJ, et comme CEN=2AGJ, 5AGJ=pi.

Si l'on suppose que l'on parle ici d'angles arithmétiques et que l'on mesure au théodolite des angles convexes (donc la phrase "Eudes voit Nicolas et Clotaire sous un angle double de celui sous lequel Geoffroy voit Nicolas et Clotaire" entraine AGJ<pi/2)
, il n'y a qu'une solution à savoir AGJ=pi/5 (36 degrés)

J'obtient un angle de 36 degrés à l'aide de systèmes d'équations.
Considérant le premier angle comme a.
Considérant le deuxième angle comme b.
Considérant l'angle recherché comme x.

x=  180-(180-2a)-(180-2b)
x= -180+2a+2b

2x= 180-a-b  
x= (180-a-b)/2

et pour les visuels..

Ces trois étoiles sont bien méritées...!

Je ne trouve qu'une seule configuration "viable" pour ce problème, qui m'amène à un angle de 60°

J'espère ne pas regretter le risque que je prends en ne réfléchissant pas plus longtemps...

où allez vous dénicher ces énigmes ?

Je pense avoir trouvé l'unique réponse :

La première remarque porte sur l'angle double, caractéristique entre un segment vu d'un cercle et vu depuis son centre.

Donc E voit [NC] sous un angle et G le voit sous l'angle

Donc on choisit un point P sur la médiatrice de [NC], et E sur l'arc de cercle d'extrémités N et C et passant par P

Et on envisage l'arc de cercle C1 de centre P, d'extrémités N et C, du même coté de P, et l'arc C2, symétrique de C1 par rapport à (NC).

G est sur C1 ou C2.

A intersection de (CE) et (GN)

J intersection de (GC) et (NE)

Si G est sur C1, alors
quelles que soient les positions de E et de G, A est sur la demi droite [NG) et J sur la demi droite [CG)
donc avec les égalités des angles, on a (NE), donc (NJ) bissectrice de et (CE), donc (CA) bissectrice de . Donc E est centre du cercle inscrit du triangle NCG.

On note
alors par les sommes des angles intérieurs aux triangles NGC et NEC, on obtient


par soustraction :
donc
on élimine car G donc E n'est pas sur (NC)
on élimine car G est dans le demi plan passant par E

donc
A ce moment, puisque E est centre du cercle inscrit, A est sur le segment [NG], J sur le segment [CG], donc


Et si G est sur C2 ?
Alors A et J sont à l'extérieur des segments [NG] et [CG]
si A dans le 1/2 plan de C2 et J extérieur, alors
si J dans le 1/2 plan de C2 et A extérieur, alors

Je manque de temps et d'arguments pour étudier les deux autres cas même s'il me semble qu'ils mènent aussi à une impossibilité.

Bonjour,
Deux solutions:
1.   36 degrés
2.   60 degrés
Merçi pour l'énigme.

Salut

c'est l'angle Sous lequel Geoffroy voit Nicolas et Clotaire .

Bonjour
Si Nicolas est entre Geffroy et Alceste, l'angle cherché est 36°
Si Alceste est entre Nicolas et Geffroy, l'angle est 60°
et tant pis pour le poisson si j'en ai oublié....

Je n'ai trouvé que deux solutions :
(je sais pas si mes dessins resteront intactes, mais bon, je m'essaie...)

G     N   A
       E
    C
      
         J

angle AGJ = 36 degrés


G     A      N
       E
    J  
      
        C

angle AGJ = 60 degrés

*les lettres correspondent aux initiales de Geoffroy et de ces copains!

Sous quel angle Geoffroy peut-il voir Alceste et Joachim ?

Du même angle que Clotaire Geoffroy Nicolas , c'est à dire 1/2 de l' angle :

Clotaire  Eudes Nicolas

et par les triangles semblabes on peut dire :  1/2 de l' angle Joachim Eudes Alceste ,ou encore 1/2 de l' angle Joachim Alceste Nicolas ou Joachim Alceste Geoffroy.

Le prénom du milieu est la pointe de l'angle.

il les voit sous un angle double de celui  sous lequel Eudes voit Nicolas et Clotaire .

Allez je ne vais pas vous refaire le coup du suspense.

60 comme certains ou 36 comme d'autres ?

Les deux mon capitaine !

Le grand vainqueur du mois est donc plumemeteore malgre une reponse un peu bizarre sur ce defi

L'enonce disait quand meme bien :

citation :
Mais Geoffroy, Nicolas, et Clotaire ne sont pas alignés!

Bravo donc pour cette etoile bien meritee apres des mois de perseverance.



Desole pour ceux qui n'ont pas donne de reponse numerique mais quelque chose du genre :

citation :
Geoffroy voit Alceste et Joachim sous le même angle que celui sous lequel il voit Nicolas et Clotaire

Comme je demandais toutes les solutions, il me semble qu'une telle reponse ne pouvait convenir.

PS : Concernant le sexe de Nicolas, avouez qu'une seule erreur d'adaptation pour un enonce ou il fallait modifier tous les prenoms, ce n'est pas si mal

minkus

Bravo à plumemeteore, ça change un peu pour le vainqueur du mois ...

Bravo Plumemeteore !

Pour l'occasion enfile ta robe de soirée

Félicitations Plumemeteore

Bonsoir,

Bravo à Plumemeteore

Et chapeau à Minkus : sortir à ce rythme endiablé  des énigmes aussi originales et amusantes, c'est digne d'Henry Dudeney ou de Sam Lloyd


Cordialement
Frenicle

Bonjour,

on a ouvert un topic spécial félicitations : pour un premier   il faut ça !
Cliquez sur la maison     

Merci Frenicle pour les references ! Sam Lloyd ou encore Martin Gardner que j'apprecie bcp.