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fonction indicatrice Lebesgue-intégrable


maths supfonction indicatrice Lebesgue-intégrable

#msg1027729#msg1027729 Posté le 03-04-07 à 09:13
Posté par ProfilHighSchool2005 HighSchool2005

Bonjour,

pourriez-vous m'aider pour cet exercice ?

Si E est un ensemble et A une partie de E, rappelons que l'on note 1A la fonction indicatrice
de A, qui vaut 1 sur A et 0 partout ailleurs.
(a) Exprimer, en fonction de 1A et 1B, les fonctions indicatrices des parties suivantes :
A \cap B \, A \cup B, A△B, E − A.
(b) Si J est un intervalle borné, exprimer la longueur de J en fonction de 1J. On appelle cette
longueur la mesure (de Lebesgue) de J.
(c) En déduire qu'on peut définir la mesure d'une union dénombrable d'intervalles ouverts bornés disjoints (penser aux théorèmes de convergence vus en cours).
(d) Montrer qu'un ouvert borné est union dénombrable d'intervalles ouverts disjoints. En déduire qu'on peut définir la mesure des ouverts et des fermés bornés de R. Exprimer ces mesures comme des intégrales.
(e) Montrer directement en utilisant la définition d'ouvert, que la fonction indicatrice d'un ouvert borné de R est Lebesgue-intégrable (construire une suite croissante convergent
vers la fonction indicatrice).
(f) En examinant les théorèmes de convergence vus en cours, à quelle classe de parties de R pensez-vous que l'on puisse étendre la mesure ?

(a) ok
(b) longueur(J) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{1_J(x) \, dx}
(c) Soit (J_n) n\in N une suite d'intervalles ouverts bornés disjoints. Leur borne inférieure est (a_n) n \in N et supérieure (b_n) n \in N.
a_0 < b_0 < a_1 < b_1 <...<a_n < b_n (disjoints)
Comme l'union est dénombrable, n est fini et on a donc,
longueur( \bigcup_{k=0}^{n}{J_k} )= \sum_{k=0}^{n}{\int_{a_k}^{b_k}{1_{J_k}(x) \, dx}} <= b_n - a_0
donc la mesure de l'union est définie. Ici, je n'ai pas utilisé de théorème de convergence alors que c'était indiqué alors quelque chose doit être faux...
(d) Soit U un ouvert borné par a et b. U est de la forme I_0 \cup I_1 \cup ... \cup I_n . Comme U est ouvert, I_0,...,I_n sont aussi ouverts.
I_0 est minoré par a et I_n est majoré par b donc I_0,...,I_n sont bornés.
Comme les intervalles de la suite (I_n) n \in N sont ouverts, il existe r_k \in Q (rationnels), 0 <= k <= n tel que r_k \in I_k. On a donc construit une application injective de [0,n] dans Q (car les I_k sont disjoints). Or Q est dénombrable donc [0,n] est dénombrable donc U s'écrit comme une union dénombrable d'intervalles ouverts bornés disjoints.
Si U est un ouvert de R,
longueur(U) = \sum_{k=0}^{n}{\int_{-\infty}^{+ \infty}{1_{J_k}(x) \, dx}}
Si F est un fermé de R, ?
(e) Je pensais poser
f_n(x) = 1- \frac{1}{n} si  x \in U , ouvert
f_n(x) = \frac{-1}{n} si  x \not{\in} U
Elle est bien croissante et elle converge vers la fonction 1_U
(\int{f_n}) n \in N est majoré par la longueur de U donc on peut appliquer le théorème de convergence monotone et donc la fonction indicatrice est Lebesgue-intégrable.
(f) A mon avis, on doit pouvoir étendre la mesure à tout intervalle borné de R.

Merci pour toute l'aide que vous pourrez m'apporter...
re : fonction indicatrice Lebesgue-intégrable#msg1027816#msg1027816 Posté le 03-04-07 à 10:47
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Bonjour HighSchool2005

c) dénombrable ne veut absolument pas dire fini.

Kaiser
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re : fonction indicatrice Lebesgue-intégrable#msg1027970#msg1027970 Posté le 03-04-07 à 13:39
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Pour la d), je ne comprends pas : un ouvert n'est pas nécessairement une union finie d'intervalles.

Kaiser
re : fonction indicatrice Lebesgue-intégrable#msg1035800#msg1035800 Posté le 07-04-07 à 13:41
Posté par ProfilHighSchool2005 HighSchool2005

Pour la d)l'ouvert est borné, je crois que c'est pour ça.
Pour la c), je crois qu'il faut que j'utilise le fait qu'un ensemble dénombrable et de mesure nulle. Donc [|0,n|] est de mesure nulle (au lieu de poser n fini) mais les théorèmes de mon cours concernent les intégrales par les séries...

PS : désolé, j'ai un peu abandonné ce poste car j'étais malade
re : fonction indicatrice Lebesgue-intégrable#msg1036073#msg1036073 Posté le 07-04-07 à 16:05
Posté par Profilotto otto

Une série est une intégrale non?
re : fonction indicatrice Lebesgue-intégrable#msg1036238#msg1036238 Posté le 07-04-07 à 17:10
Posté par ProfilHighSchool2005 HighSchool2005

euh, c'est vrai que j'ai remarqué que le cours sur les séries et celui sur les intégrales se ressemblent beaucoup mais jusqu'à dire que c'est la même chose, je ne sais pas : cela dépasse ce que j'ai appris. Pourrais-tu développer un petit peu ton affirmation otto ?
re : fonction indicatrice Lebesgue-intégrable#msg1036248#msg1036248 Posté le 07-04-07 à 17:14
Posté par Profilotto otto

Une série est une intégrale. Celle où la mesure est la mesure de dénombrement sur N.
re : fonction indicatrice Lebesgue-intégrable#msg1036737#msg1036737 Posté le 07-04-07 à 20:17
Posté par ProfilHighSchool2005 HighSchool2005

je ne suis pas vraiment sure de comprendre ta dernière phrase. Est-ce que tu veux dire que si la somme est faite sur un ensemble dénombrable (donc de mesure nulle) alors la somme/série est une intégrale ?
re : fonction indicatrice Lebesgue-intégrable#msg1036804#msg1036804 Posté le 07-04-07 à 20:54
Posté par Profilotto otto

Non je veux dire que l'on change la mesure, mais si tu ne comprends pas c'est peut être que tu ne sais pas ce qu'est une mesure.
As tu vue la définition d'intégrale de Lebesgue sans aborder le concept de mesure?

Si oui, oublie mon intervention (auquel cas c'est un peu stupide aussi d'introduire la mesure de Lebesgue sans la mesure)
re : fonction indicatrice Lebesgue-intégrable#msg1044381#msg1044381 Posté le 11-04-07 à 10:15
Posté par ProfilHighSchool2005 HighSchool2005

Merci Otto, oui en effet, j'ai vu l'intégrale de Lebesgue et on a introduit la notion d'ensemble de mesure nulle mais nous n'avons pas parlé de la mesure de Lebesgue. J'imagine que cet exercice est sensé donner une approche de cette notion.
D'après ce que je comprends, donc, n n'est pas forcément fini mais cela n'empêche pas ma somme d'être définie.
J'ai vu le théorème de convergence monotone et de convergence dominée de Lebesgue, lemme de Fatou...

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