équation différentielles : mélange azote, oxygène

Posté par Moicguillaume Moicguillaume

J'ai trouvé un exercice intéressant dans mon livre de terminal aussi je tiens a le partager avec vous, en apparence il a l'air simple et pourtant je bloque dessus car je n'ai aucune idée de comment commencer, ci joint l'énoncé :

Un réservoir contient 20 L d'air. Il reçoit 0,1 L d'azote par seconde et 0,1 L de mélange, supposé homogène s'échappe du réservoir chaque seconde.

Inf. : dans cet exercice on considère grossièrement que l'air contient 80% d'azote et 20 % d'oxygène.

1) Etudier en fonction du temps, le pourcentage d'azote dans le mélange.
2) Déterminer a l'aide de la calculatrice une valeur approchée du temps au bout duquel le mélange contiendra 95% d'azote.

Et c'est tout !! Je pense que le % d'azote dans le réservoir vas augmenté rapidement au début puis vas augmenter un peu moins vite en s'approchant de l'asymptote a 100 %, en gros je pense que ça va faire une fonction du même style que l'étude de la tension au borne d'un condensateur qui se charge en fonction du temps.

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Bonjour,

Soit Va(t) le volume d'azote (L) en fonction du temps, exprimé en secondes.
Soit Pa(t) la part d'azote dans le mélange en fonction du temps, exprimé en secondes.
La relation entre les deux est simple : Pa(t) = Va(t) / 20

Au début :
Pa(0) = 0,8
Va(0) = 20*0,8 = 16 L

Entre t et t+dt :
On rajoute 0,1*dt L d'azote : le volume d'azote devient Va(t)+0,1*dt
On enlève 0,1*dt L de mélange : le volume d'azote devient donc :
Va(t+dt) = Va(t) + 0,1*dt - Pa(t)*0,1*dt
Donc, en divisant par 20 :
Pa(t+dt) = Pa(t) + 0,1*dt/20 - Pa(t)*0,1*dt/20
( Pa(t+dt)-Pa(t) ) / dt = (0,1/20)*(1-Pa(t))
Pa '(t) = (0,1/20)*(1-Pa(t))

Je ne suis pas 100% sûr de moi. A confirmer...

Nicolas

Posté par orelo orelo

Bonjour, je sais que cela fait un petit moment que le sujet a été posé mais je voudrais ajouter cette méthode utilisant les suites...

on a:
Va(t+1)=Va(t)-0.1*Pa(t)+0.1
d'où
20*Pa(t+1)=20*Pa(t)-0.1*Pa(t)+0.1

Pa(t+1)=Pa(t)-0.005*Pa(t)+0.005

Pa(t+1)=0.995*Pa(t)+0.005

ce qui revient à étudier la suite arithmético-géométrique U_n+1=0.995*U_n+0.005

On pose V_n=U_n-1

V_n+1=U_n+1-1=0.995*U_n+0.005-1=0.995*U_n-0.995=0.995*(U_n-1)=0.995*V_n

donc V_n est géométrique et V_n=V₀*0.995ⁿ

d'où

U_n-1=(U₀-1)*0.995ⁿ

U_n=(U₀-1)*0.995ⁿ+1

Dans notre cas U₀=Pa(0)=0.8 et U_n=Pa(t)

Pa(t)= -0.2*0.995^t+1

A la calculette je trouve que Pa=95% pour t=277 secondes soit 4min37s

Posté par Moicguillaume Moicguillaume

merci beaucoup pour ces réponses précieuses