Forum : énigmes :
JFF_addition mathîlienne

Bonjour à tous,

Sur l'île, on a décidé de créer un nouveau type d'addition (notons-la §)
Elle consiste à additionner la somme de deux nombres à leur produit
Par exemple: 3§5 = 23

Les webmasters ont mis au point une calculatrice fonctionnant comme ceci:
Lorsque l'on entre un nombre, elle effectue son addition mathîlienne avec le nombre précédemment affiché, puis affiche le nouveau résultat.

Initialement, elle affiche 0.
Après avoir entré 4 nombres, elle afiche 2007
Quels sont les 4 nombres que j'ai entré dans la calculatrice?
_{s'il y a plusieurs solutions, donnez-les toutes}

bonne recherche
merci de répondre en blanké

Bonjour lo

Pour résoudre : (a+b+ab)+c+(a+b+ab)c +d +((a+b+ab)+c+(a+b+ab)c)d = 2007 utilises-tu un programme ?

déjà 0 0 0 2007 convient

ensuite, yaka faire tourner un soft ou excel...

Mika > c'est faisable à la main
quelque raisonnement et quelques calculs...
trop facile avec un programme hein !

bonjour, voilà déjà le début de ma réflexion :
On cherche x et y tels que x + y + xy = 2007, c'est-à-dire (x+1)(y+1)=2008 = 2.2.2.251.
donc x+1 = 1 et y+1 = 2008 : x = 0 et y = 2007
ou x+1 = 2 et y+1 = 1004 : x = 1 et y = 1003
ou x+1 = 4 et y+1 = 502 : x= 3 et y = 501
ou x+1 = 8 et y+1 = 251 : x=7 et y = 250
(les autres combinaisons sont symétriques)
reste à reprendre chaque combinaison pour voir si on peut remonter jusquà 0 avec un des deux nombres : plus tard ...

orb > d'abord l'ordre des nombres n'est pas important, tu as donc des solutions symétriques, mais passons
le fait, dans ton 1er post, que tu partes de l'équation xy + x + y = 2007 ne peut te donner que des solutions avec deux 0
Après tu essais de décomposer un des deux nombres, ok mais il te manques des solutions
Il y a une méthode (un peu) plus simple _{(je pense)}, sans le pifomètre

Lafol > comme pour orb _{je ne sais pas si tu lis les blankés} tu pars de la décomposition de 2007 en deux nombres alors qu'il y en a 4,
tu as donc pour l'instant les solutions avec deux 0
maintenant je ne sais pas trop ce que tu veux dire par "remonter jusqu'à zero" ...
m'enfin tu m'as l'air bien partie

orb > en fait, oui, j'étais partis sur ma solution (qui n'est pas tellement différente mais bon...)
et en effet, avec le raisonnement de lafol, tu devrais trouver les autres solutions

un p'tit Up avant de donner les réponse...

j'ai bien dit que je donnais le début : pour chaque couple que je donne, il faudrait revenir en arrière, considérer un des nombres comme le dernier entré et l'autre comme le résultat affiché précédemment, puis recommencer ...

bonjour,
j'indique les solutions (une méthode):

On a a§b = a + b + ab = (a + 1)(b + 1) - 1
donc (a§b)§c = (a + 1)(b + 1)(c + 1) - 1
(a§b§c)§d = (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) - 1

On arrive à: (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = 2008
Il suffit donc de décomposer 2008 en produits de 4 nombres:

1*1*1*2008
1*1*2*1004
1*1*4*502
1*1*8*251
1*2*2*502
1*2*4*251
2*2*2*251

Il y a donc 7 solutions:

0-0-0-2007
0-0-1-1003
0-0-3-501
0-0-7-250
0-1-1-501
0-1-3-250
1-1-1-250

encore plus simple qu'imaginé !

merci lo

En fait, il n'y avait pas besoin de procéder "à reculons" ... joli !