Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 152 : Huit additions.

Bonjour,

Je ne vais pas vous refaire le coup du vieux recueil mais ce truc date un peu car il fut proposé par André Sainte-Lague au public du Palais de la Découverte créé il y a 70 ans.



L'addition 317 + 628 = 945 utilise une fois et une seule les chiffres de 1 à 9.

Trouver 7 autres additions respectant la même condition et telles que les 8 sommes (en comptant l'exemple 945) soient en progression arithmétique.

Bonne réflexion.

minkus

bonjour Minkus
918 = 675+243
927 = 346+581
936 = 152+784
945 = 317+628 (l'exemple)
954 = 216+738
963 = 245+718
972 = 314+658
981 = 357+624

Bonjour,


par exemple:

675 + 243 = 918
341 + 586 = 927
754 + 182 = 936
317 + 628 = 945
273 + 681 = 954
245 + 718 = 963
358 + 614 = 972
235 + 746 = 981

A+,
gloubi

^{PS: la "réflexion", ce fut pour mon PC.}
-

Bonjour,

voilà les 8 sommes :
675 + 243 = 918
586 + 341 = 927
784 + 152 = 936
783 + 162 = 945
738 + 216 = 954
748 + 215 = 963
658 + 314 = 972
746 + 235 = 981

Le 8 sommes sont (progression arithmétique de raison 9):
243+675=918
341+586=927
152+784=936
162+783+945
216+738=954
215+748=963
314+658=972
235+746=981

1)243+675=918
2)341+586=927, 927-918=9
3)152+784=936, 936-927=9
4)162+783=945, 945-936=9
5)216+738=954, 954-945=9
6)215+748=963, 963-954=9
7)314+658=972, 972-963=9
8)235+746=981, 981-972=9

Bonjour,

Voici un exemple de progression arithmétique de raison 9 :

342 + 576 = 918
341 + 586 = 927
152 + 784 = 936
317 + 628 = 945
218 + 736 = 954
218 + 745 = 963
318 + 654 = 972
324 + 657 = 981

Cordialement
Frenicle

bonsoir
voilà les sommes que j'ai trouvées :
243+675 = 918
341+586 = 927
152+784 = 936
317+628 = 945
216+738 = 954
215+748 = 963
314+658 = 972
324+657 = 981

les sommes sont en progression arithmétique de raison 9

  243+675=918
  341+586=927
  752+184=936
  738+216=954
  748+215=963
  618+354=972
  624+357=981

  avec 945 on a bien une progression arithmetique et de raison 9

  918-927-936-945-954-963-972-981

Bonjour,
Les additions
675  + 243  = 918
586  + 341  = 927
784  + 152  = 936
628  + 317  = 945
681  + 273  = 954
745  + 218  = 963
658  + 314  = 972
745  + 236  = 981
Merçi pour l'énigme.

On peut montrer, en étudiant la congruence modulo 3, qu'une équation pareille doit avoir comme somme un multiple de 9. (ce que j'ai est un peu lourd : sachant qu'il y a, parmi les chiffres de 1 è 9, 2 entiers congrus à 0 mod 3, 2 congrus à 1 mod 3 et 2 congrus à 2 mod 3, j'ai étudié les 10 cas possibles selon le nombre d'entiers de chaque type dans la somme. Il y a surement moyen de faire ça plus simplement)

Il faut maintenant trouver une suite arithmétique de 8 multiples de 9 dans lequels les chiffres ne se répètent pas et la somme des chiffres donne un multiple de 9.

On commence par regarder pour une progression de raison 9 autour de 945 et on tombe rapidement sur la suite :

918 (346+572)
927 (346+581)
936 (154+782)
945 (163+782)
954 (273+681)
963 (248+715)
972 (318+654)
981 (235+746)

Bonsoir
les 8 sommes sont en décroissant : 981 ; 972 ; 963 ; 954 ; 945 ; 936 ; 927 ; 918 de raison 9
on a
981 = 246 + 735 ; 972 = 358 + 614 ; 963 = 248 + 715 ; 954 = 281 + 673 ;
945 = 317 + 628 ; 936 = 184 + 752 ; 927 = 386 + 541 ; 918 = 275 + 643
A+

572+346=918
381+546=927
782+154=936
(317+628=945)
736+218=954
745+218=963
318+654=972
746+235=981

suite arithmétique de raison 9

On peut prendre par exemple:
273+645=918
381+546=927
152+784=936
317+628=945
416+538=954
215+748=963
314+658=972
236+745=981

Bonjour et merci pour cette énigme.

Voila 8 additions (dont celle donné par l'énnoncé).

Elles se composent de tous les chiffres de 1 à 9 et le résultat est en progression arithmétique ( +9 à chaque fois)

243 + 675 = 918
341 + 586 = 927
152 + 784 = 936
317 + 628 = 945
216 + 738 = 954
215 + 748 = 963
314 + 658 = 972
235 + 746 = 981

@ plus, Chaudrack

pas si evident.
suite arithmétique de raison 9.

245 + 673 = 918
341 + 586 = 927
152 + 784 = 936
162 + 783 = 945
271 + 683 = 954
215 + 748 = 963
314 + 568 = 972
654 + 327 = 981

Merci pour l'enigme.

Bonsoir,

voici les 8 sommes en progression arithmétique de raison 9 :

243 + 675 = 918

341 + 586 = 927

152 + 784 = 936

317 + 628 = 945

216 + 738 = 954

215 + 748 = 963

314 + 658 = 972

235 + 746 = 981

Je n'ai pas trouvé de bon raisonnement à ce défi, mais j'ai tout de même une solution :

918 = 243 + 675 = 342 + 576
927 = 341 + 586
936 = 152 + 784
945 = 317 + 628
954 = 271 + 683 = 216 + 738
963 = 215 + 748
972 = 314 + 658
981 = 324 + 657 = 235 + 746

Bonsoir,

1  273 + 645 = 918
2  346 + 581 = 927
3  154 + 782 = 936
4  317 + 628 = 945
5  216 + 738 = 954
6  215 + 748 = 963
7  318 + 654 = 972
8  235 + 746 = 981


Merci pour l'énigme  

243+675=918
341+586=927
152+784=936
318+627=945
(317+628=954) exemple
245+718=963
314+658=972
235+746=981

Voici les huit additions

243 + 675 = 918
341 + 586 = 927
152 + 784 = 936
162 + 783 = 945
216 + 738 = 954
215 + 748 = 963
314 + 658 = 972
235 + 746 = 981
A+
Torio

316+627=943

Bonjour Minkus, bonjour à tous!

Tout d'abord, merci pour cette énigme.
Voici mes huit opérations:
736+245=981
358+614=972
718+245=963
673+281=954
317+628=945 (donnée par l'énoncé)
154+782=936
541+386=927
675+243=918

Les huit sommes précédentes sont de progression arithmétique de raison 9.

Bonne journée. A Bientôt.

Voici une solution possible, sauf erreur de calcul (est-ce la SEULE possible? aucune idée! toute réponse est bienvenue!):

918 = 243 + 675

927 = 341 + 586

936 = 152 + 784

945 = 317 + 628

954 = 271 + 683

963 = 245 + 718

972 = 314 + 658

981 = 324 + 657

Bonjour et bon dimanche,

Bravo a presque tous. Comme le montrent les reponses il y avait plusieurs solutions dans le choix des additions.

Vivement dimanche prochain !

minkus

Concernant le classement du mois, Nofutur2 et Nobody sont encore au coude a coude.

Et si vous regardez les enigmes restantes vous constaterez qu'ils ne se lachent plus :

- toujours les deux premiers a repondre pour les 4 defis suivants !!

- au moins dans les 5 premiers a repondre pour les 3 derniers du mois.

Tout ceci risque d'etre encore tres serre

Bravo à (presque) tout le monde pour cette énigme !!

En effet, Nofutur2 et Nobody toujours les premiers, vous pensez qu'ils couchent devant leur écran ? (avec un réveil connecté aux énigmes de l'ile ...)

Salut

=> luciole : Tu devais trouver 7 solutions et pas une seule, mais le fait d'avoir trouver déjà une est pas mal

Je suis fier de toi mon grand

Sauf que la seule solution trouvée par luciole n'est pas bonne ...