Forum des énigmes mathématiques :
Jogging

Paul fait du jogging, il court à vitesse modérée (premier jogging de la saison) mais constante de 5 m/s sur une piste circulaire de 200 m de rayon.

Paul a attaché son chien Youki à un piquet juste au bord de la piste.

Youki, parvient à détacher sa laisse du piquet juste au moment où Paul est sur la piste au point diamétralement opposé à Youki.

Youki s'élance vers son maître, mais gêné par la laisse qui traîne à terre, il ne peut courir qu'à une vitesse constante de 7m/s.

Evidemment, comme tous les chiens, Youki se dirige en permanence vers l'endroit où se trouve son maître qui continue son jogging.

Combien de temps Youki mettra-t-il pour rejoindre son maître ?

Le temps sera arrondi à la seconde la plus proche.

Aucune justification ou calcul n'est demandé.

Bonne chance à tous

Bonjour,

Je trouve, par une méthode numérique, environ 62 secondes.

Cordialement
Frenicle

Je pense que le chien a rejoint son maître en 62 secondes.

Bonjour,

je pense qu'il mettra 62 secondes pour rejoindre son maître. Voilà les trajectoires : en noir, le maître, en rouge, le Youki. J'ai placé des ronds à des temps particuliers.

Je trouve t=62.130s soit 62s arrondi.

bonjour,

Je dirait qu'il va lui falloir pour rattraper son maitre.

Bonjour

Chouette, une courbe du chien qui fait plus appel à de la physique qu'à des maths ...

Sauf erreur d'excel ou de mise en équation différentielle ( que je ne sais pas résoudre mathématiquement ) :

En appelant les coordonnées x(n);y(n) et x(n+1);y(n+1) les coordonnées de Youki, entre deux temps tn et tn+1, dans un repère d'origine O d'où part Youki à t=0 et où P(400;0) est l'endroit où se trouve Paul à t=0 en tournant dans le sens trigo ( Paul revient vers O en tournant trigo ).

En appelant X(n);Y(n) les coord. de Paul en fonction du temps tn :
X(n) = 200(1+cos(5tn/100)
Y(n) = 200sin(5tn/100)
avec la valeur 5 m/s = vitesse linéaire de Paul

l'équadiff sur les positions de Youki pour lesquelles les tangentes visent Paul donne :
x(n+1) = x(n) plusoumoins 7.dt/racine( 1 + ( (Yn - yn)/(Xn - xn) )² )
y(n+1) = y(n) plusoumoins 7.dt/racine( 1 + ( (Xn - xn)/(Yn - yn) )² )
avec la valeur de 7 m/s = vitesse linéaire de Youki

               je trouve que Youki ne rattrapera jamais Paul

J'en suis étonné, (généralement vos énigmes admettent des solutions ), mais je ne parviens pas à trouver l'erreur, si erreur il y a.
( à noter que j'ai pris un delta tn = 0,01 seconde, j'espère que cette non-convergence n'est pas liée au bruit de calcul d'excel avec une valeur d'incrément aussi faible... )
je maintiens donc cette solution qui sens le poisson :snif:

Je joins le schéma qu'excel donne :



sans garantie pour cette jolie énigme !

bonjour
le chien rejoindra l'homme en 50 secondes
la trajectoire du chien est constamment perpendiculaire à celle de l'homme; les changements de diretion des deux coureurs vont de concert et le chien parcourt aussi un cercle, de 200*7/5 = 280 mètres de rayon
un rayon du cercle du chien est le segment commençant du point de départ et tangent au cercle de l'homme
au moment de la jonction, le chien a parcouru un arc double de celui dont la tangente est 200/280
le chien a parcouru 560*pi*2*arctan(200/280)/360 = 347,34 mètres

bonjour à tous

Enigme bien difficile..

Apres bidouillages intempestifs sur Excel, je dirai que Youki retrouve son mâitre au bout d'environ 44s.

_{(En réalité, 43.81s)}

Ca sent le poisson tout ça, mais c'est le jeu

@ plus, Chaudrack

Bonjour,

Youki mettra pour rejoindre son maître, temps sera arrondi à la seconde la plus proche.



A bientôt, KiKo21.

Bonjour,

après résolution numérique du système différentiel, je trouve que le chien rejoint son maitre en 62,13... secondes, donc arrondi à 62 secondes.

Ci-joint une courbe pour visualiser les trajectoires.

Petite remarque : cette variante de la "courbe du chien" avait déjà été plus ou moins traitée ici :

bonsoir
je réponds 62 s avec l'impression de sentir autour de moi une petite odeur de poisson !!!

J'arrive à 62 secondes.

Bonjour,

Youki rejoindra son maître au bout de 224 secondes environ.

A+,
gloubi
-

A priori, la courbe de poursuite avec un objectif circulaire est assez complexe (on obtient un système différentiel qui ne s'intègre que numériquement)... on tentera donc une approximation, par un arc de cercle orthogonal à la trajectoire du jogger. Le rapport des rayons est alors celui des vitesses; l'angle au centre parcouru par le jogger est alors 71° soit 1,24 rd, donc une distance de 248 m, en un peu moins de 50 secondes.
La vraie courbe reste plus près de la tangente au point de départ, mais sa courbure augmente ensuite... on ne doit pas être trop loin de ce résultat

Pour le plaisir, une 'tite image, où l'on voit Youki qui rejoint son maître un peu avant le quart de tour.

A+,
gloubi

62 secondes

Bonjour,

Ma réponse est : 1 minute et 41 secondes. Ceci dit, je n'en suis pas très sûre, mes souvenirs de cinématique étant lointains...

J'ai en effet considéré deux repères, le fixe (le sol disons), et le mobile (centré en le coureur). Le mouvement du cycliste par rapport au sol est circulaire, de vitesse 5. Le mouvement du chien par rapport au cycliste est rectiligne, de vitesse 2 (les vitesses relatives s'additionnent je crois). Et on cherche le mouvement du chien par rapport au sol.

Bref, après mise en équation (courbe paramétrée), utilisation de la formule de changement de repère affine, je trouve qu'ils se rencontrent après 201/2 secondes, ce qui s'arrondit à 1 minute 41 secondes.

BA

merci j-p pour cette magnifique enigme dont très peu d'entre nous sont capable de repondre.
Elle depasse mes competences mais je suis vraiment très curieux de voir la maniere de resoudre une tel enigme.
Je tente quand meme ma chance et je dirai 45 secondes

SLT A TOUS LE MONDE..........
votre probléme de math etait d'une difficulté exquise ...
pour trouvé la solution j'ai dus improviser dans l'equation mathématique
g trouvé 70 s ( 1 minute et 10 s)
merçi pour ce probléme !!!!!!!!!!

Enigme clôturée.

Youki rejoint son maître en 62 s

Une méthode numérique était la plus simple, je pense, pour arriver au résultat.

Très jolie énigme, J-P  

Oui, jolie énigme !

J'avais donné le lien suivant dans ma réponse, pour ceux qui ne lisent pas tout :

dommage pour kiko21...:snif:

Mikayaou : dommage aussi pour toi  

Jamo : tu as lu tous les anciens topics ?

Bonjour

On peut m'expliquer rapidement ?

merci borneo

elle était trop dure pour moi :snif:

et celle du lien de jamo encore plus dure

citation :
On peut m'expliquer rapidement ?

Il est vrai que personne n'a détaille sa démarche ...

Tu vas sur Google, et tu tapes "Courbe du chien", et tu trouveras beaucoup de choses ...

Ok je vais me renseigner, merci Jamo

Demain bac blanc...

Effectivement. Et dans le moteur de l'île, "courbe du chien" mène directement à "Youpi, Minkus et l'hirondelle".

Bien vu !  

Ici pour le bac 2007 :

Merci jamo

J'ai regardé pour le chien ici , j'ai tout compris mais je n'aurais pas réussi seul, les changements de variables par exemple.

De toute façon, sauf erreur de ma part, la "courbe du chien" se résoud de manière exacte seulement dans quelques cas particuliers, par exemple quand le coureur se déplace en ligne droite et à vitesse constante.

Mais pour le cas du cercle, le système différentiel ne se résoud pas ... il faut alors passer par une résolution numérique !

Quelques explications sur une des possibilités de l'approche numérique.

Dans un tableur (Excel par exemple)

On fait une colonne pour le temps. On part de t=0 en ligne 1 et on augmente t d'une valeur "delta t" à chaque ligne.
En choisissant le centre du cercle trajectoire de Paul comme origine, l'axe des abscisses passant par la position initiale de Paul et l'axe des ordonnées pour former un repère orthonormé ..., on a:
une colonne avec l'abscisse de Paul: XP = 200*cos(t/40)
une colonne avec l'ordonnée de Paul: XP = 200*sin(t/40)
On crée une colonne avec l'abscisse de Youki: X, on écrit -200 dans la première ligne de cette colonne.
On crée une colonne avec l'ordonnée de Youki: Y, on écrit 0 dans la première ligne de cette colonne.
On crée un colonne delta X = 7*((XP-X)/RACINE((XP-X)^2+(YP-Y)^2))*Delta t (elle calcule la distance parcourue par Youki dans la direction des abscisses sur l'espace de temps delta t)
On crée un colonne delta Y = 7*((XP-X)/RACINE((YP-Y)^2+(YP-Y)^2))*Delta t (elle calcule la distance parcourue par Youki dans la direction des aordonnées sur l'espace de temps delta t)

A partir de la ligne 2, les colonnes X sont calculées par = X(de la colonne au dessus) + delta X
et les colonnes Y sont calculées par = Y(de la colonne au dessus) + delta Y

On "tire" ces lignes vers le bas et on a le tableau qui se fait tout seul.

On dispose donc à tout moment de la position de Paul et de celle de Youki...
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La seule difficulté est de choisir correctement la valeur du "delta t" à utiliser.

Si elle est trop grande, les courbes trajectoires sont "coupées à la hache" et on risque d'avoir un résultat final (moment de la rencontre) trop loin de la vérité.
Si elle est trop petite, cela multiplie le nombre des calculs à réaliser et comme il y a une mini erreur possible à chaque calcul nombre de chiffre significatifs par exemple des possibilités de calculs de Excell), on peut aussi arriver à une erreur trop importante. Ou bien on peut dépasser le nombre de lignes disponibles dans le tableur.
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Si on choisit par exemple delta t = 1 s, on aura du mal à prétendre avoir la réponse à la seconde près.
On trouve dans ce cas t final = 64 s (c'est déjà pas très loin de la vérité mais pas bon assez)

Avec delta t = 0,1s, le résultat trouvé est de 62,3 s
Avec delta t = 0,01s, le résultat trouvé est de 62,14 s

Il reste à démontrer que l'arrondi de 62 s est OK avec le delta t choisi ...
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On peut évidemment écrire un programme en C ou autre chose qui réalise les même fonctions que le tableur ci dessus.
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Bonjour,

Juste pour "justifier" mes 224 s.

5 et 7 ... m/s, pas km/h !

Décidément, je n'en loupe pas une.   _{Piégé par : "il court à vitesse modérée".}

A+,
gloubi

Salut Gloubi

grâce à ton poisson, on a pu constater qu'on peut être au palmarès des énigmes avec 0 points... tu es encore devant moi, qui ai 0 points, mais ne suis pas au palmarès  

Salut bornéo,

Pourtant, je cours à vitesse modérée (22 heures de moyenne par énigme et 56 le mois dernier ).

c'est vrai. Je suis derrière toi car je n'ai pas participé aux 3 premières. Je crois que j'ai bien fait  

gloubi - youki - cookie - ....

-Just for FUN gloubi -

Bonjour,

> Mikayaou

citation :
dommage pour kiko21...:snif:

Comme tu dis... La méthode graphique avec une discrétisation de 0,5 seconde n'était pas assez précise ici, hélas pour moi !!

A+, KiKo21.