Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 153 : La forêt de Tom Bombadil.

Bonjour,

Bon c'est les vacances alors je me remets au boulot !

Au début du Seigneur des Anneaux, les quatre Hobbits (Frodo, Sam, Merry et Pippin) traversent une forêt triangulaire très dangereuse. Heureusement, ils rencontrent Tom Bombadil qui leur indique le chemin à suivre.



- Vous êtes au sommet d'un triangle et vous devez rejoindre la route qui est le côté opposé à ce sommet. Si vous voulez vous en sortir, il va falloir trouver le chemin le plus court. D'ailleurs ma femme sera de l'autre coté de la forêt pour vous accueillir mais elle vous laissera passer seulement si vous pouvez lui dire le nombre de mètres que vous aurez parcourus.

- Mais comment pouvons-nous le savoir ? Nous ne sommes jamais venus ici.  s'interroge Frodo.

- C'est très simple je vais vous donner un renseignement à chacun. Je parle toujours en mètres.

Tout d'abord, si j'ajoute 1 au grand côté de la forêt, je trouve le même nombre qu'en multipliant par 3 la différence entre le petit côté et 11.

D'autre part, si j'ajoute 1 au côté intermédiaire, j'obtiens les vingt-cinq neuvièmes du petit côté.

De plus, si j'ajoute mon année de naissance à chaque côté, alors le nouveau périmètre est 10 500.

Enfin, je suis né au vingtième siècle et mon année de naissance est la différence de deux cubes d'entiers impairs consécutifs.

Quelle est la distance (arrondie au mètre) parcourue par les quatre amis ?


Bonne reflexion.

minkus

(rere)Bonjour,

je pense que l'homme est né en 1946, que les longueurs sont 693, 1924 et 2045 (ce qui forme un triangle rectangle). S'il traverse la forêt, c'est qu'ils doivent aller de l'angle droit vers l'hypothénuse. Or la longueur de cette hauteur vaut le produit des 2 côtés adjacents sur l'hypothénuse ce qui fait ici environ 652 mètres.

Pas évident pour un défi 2 étoiles !!

Les 3 côtés du triangle sont 693,1924 et 2045.. ce qui donne un triangle rectangle.., donc une distance (en supposant qu'on ne longe pas la forêt) de 651,99m arrondi à 652m.

Bonjour,

la forêt est un triangle rectangle de côtés 693, 1924, 2045
en supposant qu'il ne sont pas sur l'angle droit, puisau'ils doivent traverser la forêt, la hauteur mesure 652m

PS: je n'ai aucun mérite, je la connaissais déjà _{(cela dit, je l'avais quand même trouvée)}

Bonjour,

La distance (arrondie au mètre) parcourue par les quatre amis est
Les côtés de la forêt mesurent 693 m, 1924 m et 2045 m
L'année de naissance de Tom Bombadil est 1946 = 19³ - 17³

Merci Minkus, et à bientôt.

KiKo21.

La solution du système d'équations nous donne les trois côtés du triangle : 693, 1924 et 2045. Il s'agit d'un triangle rectangle en plus.

On ne sait pas sur lequel des trois sommets on se trouve, mais j'imagine qu'il faut déduire que la route est l'hypoténuse du triangle et qu'on se trouve sur le sommet opposé, sans quoi le chemin le plus court serait aux frontières de la forêt.

J'opte donc pour 652 mètres, qui correspond à la hauteur du triangle par rapport à l'hypoténuse.

j'ai la forte impression qu'il manque une donnée, mais je me lance quand même...

voici la foret que l'on trouve :



Je considere que le chemin le plus court est la hauteur associée. Des lors, j'ai l'impression qu'il manque une information: duquel de ces sommets les les hobbits partent t'ils?

Parcque pour moi, 3 solutions sont possibles :

693 metres, 1924 metres, ou 652 metres

allez, ma solution, mais toujours convaincu qu'il manque un parametre

652 metres.

Bonjour Minkus,

Je trouve que la forêt est un triangle rectangle dont les côtés mesurent 693, 1924 et 2045 mètres.
Comme les Hobbits doivent traverser la forêt (et non la longer), le sommet où ils se trouvent est celui de l'angle droit. La hauteur issue de ce sommet mesure un peu moins de 652 mètres, et c'est la distance cherchée.

Cordialement
Frenicle

691 m

bonsoir
je trouve que la forêt est un triangle rectanglede côtés 693, 1924 et 2045
je pense qu'ils sont au sommet où se trouve l'angle droit et qu'ils doivent parcourir 652 menviron pour arriver à la route

Bonjour,

La mise en équation permet de trouver les dimensions du triangle : 693, 1924 et 2045.

(Tom est né en 1946=19³-17³)

On vérifie que ce triangle est rectangle (2045²=1924²+693²)

L'énoncé ne précise pas sur quel sommet du triangle se trouvent nos 4 Hobbits !!

Avec les notations de la figure ci-dessous :

S'ils sont en A : distance parcourue = 1924 mètres

S'ils sont en B : distance parcourue = 693 mètres

S'ils sont en C : distance parcourue = 652 mètres (arrondie à l'unité)

Mais on peut penser qu'ils sont en C, car s'ils étaient en A ou B, ce ne serait pas vraiment traverser la forêt, mais plutôt la longer ...

bonjour
le chemin à parcourir est de 652 mètres
la date de naissance est 6859-4913 = 1945
le périmètre est 10500-5835 = 4665
si a est le plus petit côté, le plus grand est 3a-34 et le moyen 25a/9 - 1
61a/9 - 35 = 4700
a = 42300/61
on constate que le triangle est légèrement obtusangle; le chemim est donc la hauteur reliant le sommet de l'angle obtus au plus grand côté
aire (d'après la formule de Héron) : 667518,1
plus grand côté : 2046,328
hauteur : aire*2/côté = 652?406 mètres

Bonjour tout le monde..

Petit système d'équation et on trouve:

Petit-coté = 693m
Coté intermédiaire = 1924m
Grand-coté = 2045m

(il aura d'abord fallu déterminer l'année de naissance qui est 1946: 19³ - 17³)

On constate alors que le triangle est rectangle.

Ceci étant, on n'a aucune indication sur le sommet sur lequel nos quatres amis sont situés.

Il existe donc 3 distances les plus courtes entre le sommet et le coté opposé.

* Si on est situé sur le sommet qui fait l'intersection entre le petit et le grand coté:

Distance = coté petit = 693m

* Si on est situé sur le sommet qui fait l'intersection entre le petit et le moyen coté:

Distance = hauteur = 652m (arrondi au plus proche)

* Si on est situé sur le sommet qui fait l'intersection entre le moyen et le grand coté:

Distance = coté grand = 1924m

Je ne sais pas si c'est comme cela qu'il fallait répondre, alors voilà!

Seule remarque: L'énoncé stiplulant tout de même:

citation :
il va falloir trouver le chemin le plus court

ainsi que

citation :
la distance (arrondie au mètre)

je dirai que si une seule réponse est acceptable, ce serait 652m

Merci pour l'énigme

@ plus, Chaudrack

Salut Minkus!

Alors les longueurs des côtés du triangle formant la forêt sont : 693m, 1924m et 2045m.
En supposant que nos 4 hobbits aillent rejoindre Baie d'Or (car tel est le nom de la compagne de Tom Bombadil) en restant sur les côtés du triangle, la distance la plus courte parcourue par les hobbits sera de 693 mètres!
Mais sinon il faudrait calculer la longueur des hauteurs du triangle, mais on ne sait pas sur lequel des sommets nos amis se trouvent!
Bref, bon jour le

@+ et merci pour l'énigme!

Bonjour,

La forêt est un triangle rectangle de côtés 2045, 1924 et 693 mètres.
Puisqu'il s'agit de la traverser, je me place sur l'angle droit pour rejoindre l'hypoténuse,
après avoir parcouru 652 mètres environ.

A+,
gloubi
-

La distance  peut etre
652,693 ou 962, en fonction du sommet ou se trouvent les quatre Hobbits.
Merçi pour l'énigme.

Bonjour,

après quelques équations, je trouve un triangle dont les côtés sont 2045  1924 et 693 mètres

ce qui fait une aire de 666 666 m² et explique le côté maléfique du lieu.

C'est un triangle rectangle, et on ne sait pas à priori sur quel sommet on est. En réfléchissant, compte tenu qu'on doit traverser la forêt, je pensa qu'on est sur le sommet opposé à l'angle droit. Si ce n'était pas le cas, on verrait la route, et on n'aurait pas à traverser la forêt.

On prend donc la hauteur qui joint l'angle droit au côté opposé, pour une distance de 652 mètres.

Merci pour l'énigme.

salut,

je trouve premierement que   19³-17³ = 1946  est la seule solution qui corespond aux dire de Tom, donc Tom serait né en 1946.

Les trois autres phrases de Tom donnent trois equations :

Soit

a = grand coté
b = coté intermédiaire
c = petit coté

En resolvant je trouve :

a= 2045 m
b= 1924 m
c= 693 m


En applicant Pythagore dans ce triangle, je trouve qu'il est rectangle d'hypotenus a.
Le chemin, le plus court pour aller d'un sommet au coté opposée d'un triangle est de passer par la hauteur or dans un triangle rectangle , deux des trois hauteurs sont confonduent avec les cotés.

Dans l'enoncé on parle bien de "traverser" la foret et non pas de la longer, je suis donc parti du faite que frodon et sa bande se trouvaient sur le sommet en face du grand coté et qu'il allaient traverser la foret pour le rejoindre.

Je trouve donc que le chemin le plus court pour rejoindre la route serait de parcourir la hauteur perpendiculaire au grand coté.

Je trouve

voila ^^

Trouvons d'abord l'année de naissance: (2n+1)^3-(2n-1)^3=24n^2+2; la seule valeur de n qui donne une année comprise entre 1900 et 2000 est n=9 soit l'année 1948.
On en déduit que le périmètre est 4662, ce qui donne pour les cotés dans l'ordre décroissant 2045, 1924 et 693; ce triangle est rectangle (pythagore), et sa hauteur vaut 1924*693/2045=652 à chouia près... ce qui est donc la distance parcourue par les hobbits 652 m

  la distance est de 652 metres

Je pense que la distance à parcourir est 652 m

Quelques petites remarques :
Ils sont au départ au sommet du triangle, mais rien n'indique que le plus grand coté de ce triangle est opposé à leur sommet. J'ai fait cette hypothèse.

Les 3 cotés font respectivement 693=3^2.7.11 ; 1924=2^2.13.37 ; 2045=5.409. Les solutions sont des entiers. De plus, le sommet d'où ils partent est exactement un angle droit. La valeur exacte de la hauteur est 693*1924/2045, rationnel irréductible.

Pour trouver l'année de naissance de Tom Bombadil:
1900 ≤ (2x + 1)³ - (2x-1)³ < 2000
1900 ≤ (8x³+12x²+6x+1) - (8x³-12x²+6x-1)  < 2000
1900 ≤ 24x²+2 < 2000
950 ≤ 12x²+1 < 1000
949 ≤ 12x² < 999
√(949/12) ≤ x < √(999/12)
8,89 ≤ x < 9,124
x=9
19³-17³ = 1946

Soit un triangle dont les côtés mesures (en mètres) a ≤ b ≤ c
c+1 = 3(a-11)            c = 3a-34
b+1 = 25a / 9            b = 25a/9 -1
a+b+c+3(1946) = 10500    a+b+c=4662

a + (25a/9 -1) + (3a-34) = 4662
a=693m.
b=1924m.
c=2045m.

angle AB = 90˚
le côté "c" est donc le seul à avoir une hauteur sur aucune de ces extrémités
donc nous pouvons en déduir que les hobbits sont sur le sommet opposé au côté "c", c'est à dire sur l'angle de 90˚

ch = ab
h = ab/c
h = (693)(1924)/(2045) = 651,996 ≈ 652m.

La distance parcourue par les 4 hobits est d'environ 652 mètres

Anné de naissance = 19^3 - 17^3 = 1946

a = grand côté
b = coté moyen
c = petit coté

système à résoudre :
a+1 = 3*(c-11)
b+1  = 25/9 * c
a+b+c + 3*1946 = 10500

On trouve  :

a = 2045
b = 1924
c = 693

On remarque que ce traingle est rectangle.

Si on suppose que l'on se trouve au sommet de l'angle droit on peut écrire :

693*1924 = 2045*d  où d est la distance à parcourir (hauteur)

on trouve  d = 652 m (arrondi)

A+
Torio

Bonjour,

Je dirais qu'ils ont parcouru environ 652 mètres.

La méthode : à la main (une calculatrice peut aider pour les opérations trop fastidieuses). On commence par chercher l'année de naissance mystérieuse. Par tâtonnements, on se rend compte assez vite qu'elle ne peut être que la différence des cubes de 19 et 17, soit 1946.

Ensuite on pose le système. Soient A, B, et C les longueurs des 3 côtés du triangle, A étant la plus petite, et C la plus grande. L'énoncé nous dit que :



On résout, pour trouver :


La réciproque du théorème de Pythagore nous montre que ce triangle est rectangle.

Je suppose alors que nos quatre amis sont au sommet opposé à l'hypoténuse, sinon il leur suffirait de longer l'orée de la forêt pour retrouver la route.

On doit donc calculer la longueur de la hauteur issue du sommet de l'angle droit. En calculant de deux façons différentes l'aire du triangle, on obtient cette longueur par (A*B)/C, où A, B, et C sont les longueurs précédemment calculées.

BA

commencons par trouver sa date de naissance
on sait qu'il est né au 20eme siecle cela nous fait donc comprendre
que l'annee sa naissance commence par 19
la deuxieme partie c'est  de trouver la difference entre les nombres aux cubes
on sait que ces nombres sont impaires
les nombres de deux chiffres sortant de 10 a 19 une fois elever  nous donne des nombres
4 chiffres.
       alors on aura
13^3-11^3= 866 hors de l'interval 20eme siecle
15^3-13^3= 1538 de meme
17^3-15^3= 1176 ecore un
et en fin
19^3-17^3 =1946 c'est donc l'annee que nous cherchons
maintenant revenons a les equations.
(b+1) = 3(a-11) avec b le plus grand cote et a le plus petit cote
c+1  = (25/9)a avec c le cote intermediaire
(b+1946)+(c+1946)+(a+1946) = 10500
si l'on resout le systeme on aura
a = 693m  b = 2045m et c =1924m
on voit que 2045^2 = 693^2+1946^2 cela revient donc
a dire que le triangle est rectangle
le triangle etant rectangle alors le chemin le plus court sortira
de l'angle droit a l hypothenuse
  soit h cette hauteur
2045h = 1924 * 693 tirons h
h  = (1924 *693)/2045
   h =651,99... en arrondissant on a 652m
         alors le chemin le court c'est 652m
                 c'est fini
      

Salut mes amis
Alors par excès j'ai trouvé 652m pour le plus court chemin.

Démonstration:
Sa date de naissance étant un nombre de quatre chiffres, alors il importe de choisir deux nombres entiers impairs consécuitifs qui soient deux nombres de deux chiffres tels que leurs cubes donnent un nombre de quatre chiffres ainsi que leur différence.
D'ou on déduit qu'ils font parti de cet intervalle [11,21].
Il est né au XXe siècle, donc sa date de naissance peut être écrite sous la forme: 19ab
D'autre part, nous avons les différentes possibilités pour les deux nombres

(11,13) à rejeter, (13,15) à rejeter, (15,17) à rejeter, (17,19) qui est valide
car 19^3 - 17^3 = 1946 qui est sa date de naissance

posons les équations
x : le plus grand coté, y: le plus petit, z: l'intermédiaire

x+1= 3(y-11)
z+1= (25/9)y
(x+1946)+(y+1946)+(z+1946)=10500

J'ai résolu le système a 3 inconnues et j'ai trouvé les valeurs suivantes

x = 2045m , y = 693m, z = 1924m

étant donné que 2045^2 = 693^2 + 1924^2, on conclut que le triangle est rectangle et l'hypothénuse est 2045m.
Alors le chemin le plus court serait la hauteur issue de l'angle droit.
d'ou: 2045*H = 1924*693 ou H = 651,99... alors par excès H = 652m

Voila ce fut très facile à résoudre merci pour l'énigme.

voici ce que j'ai trouvé :
né en 1946. les trois cotés du triangle mesurent respectivement 693, 1924 et 2045 mètres, donc le triangle est rectangle. Ainsi, la plus petite distance à parcourir correspond au trajet qui part du sommet de l'angle droit pour arriver à l'hypothénuse perpendiculairement, et cela mesure 651.996, soit 652 mètres en arrondissant.

* challenge en cours *

Je crois avoir quelque chose, mais il me semble que j'ai faux^^
648m ?

L'année de naissance est 1946 (=19^3-17^3).
On trouve alors un système d'inconnues a,b et c les côtés du triangle et en le résolvant (valeurs arrondies au mètre près):

a = 1267;   b = 3519;   c = 3768

La relation d'Al-Kashi permet de calculer la plus petite hauteur de ce triangle, et, au mètre près on trouve:

1183 mètres.

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises. @+

Le triangle étant rectangle, il n'y a qu'une hauteur traversant la forêt.
Elle mesure 652 mètres.

Bonjour
Au risque d'un poisson, car je ne suis pas sûre de bien interpréter le texte : 652 m
(l'année de naissance : 1946 = 24*9²+2 = 19³-17³, le périmètre de la forêt qui se trouve être un triangle rectangle : 4662 m, les trois côtés de cette forêt : environ 693 m, environ 1924 m et environ 2045 m et on se trouverait à l'angle droit de cette forêt, sinon le chemin le plus court fait longer et non traverser la forêt.... on cherche donc la hauteur issue de l'angle droit et là j'avoue que j'en ai eu assez de calculer et que j'ai laissé à Geoplan le soin de mesurer ce segment )

l'année de naissance est 19^3-17^3=1946

soit a le petit coté, b le moyen et c le grand.

On a: a<b<c
c+1=3(a-11)
b+1=(25/9)a
a+b+c+3*1946=10500
donc a+b+c=4662
a(1+(25/9)+3)-1-34=4662
a=4697*(9/61)=77*9=693

d'où b=1924
et c=2045.

le chemin le plus court constitue l hauteur du triangle ABC, avec A sommet opposé au coté A, etc... Donc la longueur la plus courte est la hauteur de ABC issue de C (en supposant qu'on commence où on veut, car il n'est pas dit où se situe le point de départ).

En appelant x la longueur entre B et le point d'intersection de la hauteur avec (BC), on a:

h^2=a^2+x^2=b^2+(c-x)^2
=480 249+x^2=3 701 776+4 182 025-4090x+x^2

D'où 4090x=7 403 552
et h^2=480249^2+(7403552/4090)^2

donc h=480 252,411, soit en arrondissant au metre: 480252... un bonne petite trotte

Bonsoir,

citation :
Le Vieux Tom Bombadil était un gai luron ; bleu vif était sa jaque, jaunes ses bottillons, verte sa ceinture, ses hauts de chausses en peau, il portait plume de cygne à son grand chapeau, vivait sous la colline, où de sa source herbue le Tournesaules courait dans le val pentu.

Bien entendu, les hobbits devaient traverser la foret et donc la seule reponse possible etait 652 metres.

Comme le montrent le lien de lo5707 et la remarque de Borneo, le titre original de cette enigme etait "la foret des 1001 diables."

>Eric1 : Une hauteur plus grande que les trois cotes ?

minkus

Salut Minkus,

je ne la connaissais pas (contrairement à l'horloge de J-P) mais quand j'ai vu 666 666 j'ai tout de suite pensé au

j'avoue que je sais pas ce que j'ai fait

Publius SYRUS a dit "Le temps de la réflexion est une économie de temps". Dans un sens, c'est une économie de poisson.

Bonjour,

631 m ??? Je ne sais même pas d'où vient cette valeur car sur mon brouillon, j'avais bien trouvé 652 m !!!

J'ai voulu répondre rapidement avant de partir en vacances en ecosse, et patatra...

On essaiera de faire mieux en Mai.

A+, KiKo21.