Forum des énigmes mathématiques :
DEFI 155 : Casino Royale.

Bonjour,

James B. passe une semaine au casino. Il a mis au point une méthode pour gagner de l'argent. Le premier jour, il joue 5 fois 1 euro, le 2e jour il joue 5 fois 5 euros, le 3e jour 5 fois 25 euros etc…en continuant à multiplier par 5 les 5 mises de chaque jour, et ce jusqu'au 7e jour où il mise 5 fois 15625 euros.

S'il gagne à un jeu, on lui rend sa mise plus deux fois sa mise. S'il perd, il perd simplement sa mise.

Au cours de la semaine, il a gagné au moins une fois chaque jour mais n'a jamais gagné tous les jeux d'une journée.

Après 007 jours de jeu, James se retrouve avec un joli pécule de 22066 euros.

Combien de fois a-t-il gagné pendant la semaine ?

Question subsidiaire :



Quel acteur joue James Bond dans ce film ?

Bonne reflexion.

minkus

Je suppose que les 22066 euros représente les "gains" à la fin de la semaine.

Le nombre de parties gagnées au cours de la semaine est :
2     1     1     4     3     2     2    
soit un total de 15 parties.

(rererere)Bonjour !!

il suffit de décomposer en base 5 le nombre (22066+5*(5^7-1)/4)/3 : ce qui fait 2234112.
Il a donc gagné 2 fois la 1° journée, 1 fois la 2° journée, 1 fois la 3° journée. Au total, il a gagné 2+2+3+4+1+1+2=15 fois.

sympa

bond, james bond, a gagné :

2 fois le 1er jour
1 fois le 2eme jour
1 fois le 3eme jour
4 fois le 4eme jour
3 fois le 5eme jour
2 fois le 6eme jour
2 fois le 7eme jour

pour un superbe total de 15 victoires.

Quand a la question subsidiaire, je dirais David Niven

Merci pour l'enigme!

Bonjour,

Voici ma proposition :

Avec 25€ au départ, il arrive avec un pécule de 22066 € au bout de 7 jours en gagnant successivement : 4 4 1 4 2 4 1 parties chaque jour, soit 20 parties.

Merci pour cette énigme.

Si G_i est le nombre de gains à la (i+1)^e journée, on a :

22066 = _i=0..65ⁱ(2G_i-(5-G_i))

Donc 22066 = 3 _i=0..65ⁱG_i - 5 _i=0..65ⁱ

En simplifiant un peu :

39907 = _i=0..65ⁱG_i.

Comme 1G_i4, on obtiendra les G_i en écrivant 39907 en base 5.

39907 = 2234112 en base 5.

Donc James B. a gagné 2 fois aux jours 1, 6 et 7 ; 1 fois aux jours 2 et 3 ; 4 fois au jour 4 et 3 fois au jour 5, pour un total de 15 fois.

Bonsoir Minkus,

James B. a gagné 15 fois pendant la semaine :

deux fois le premier jour, une fois le deuxième jour, une fois le troisième, quatre fois le quatrième jour, trois fois le cinquième jour, et deux fois les sixième et septième jours.

Question subsidiaire : David Niven (et Peter Sellers...).


Cordialement
Frenicle

12

bonjour
le premier jour, il a gagné 2 fois, le deuxième, 1 fois, le troisième 1 fois, le quatrième, 4 fois, le cinquième, 3 fois, le sixième, 2 fois et le septième, 2 fois, soit en tout  : il a gagné 15 fois dans la semaine

bonjour
James a gagné quinze fois
le total de ses mises est 97655 euro
le total de ses mises gagnantes est (97655+22066)/3 = 39907 euro
puisqu'il n'a jamais gagné toutes les parties d'une même journée, on peut convertir ce nombre en base 5 : 2234112
les chiffres de ce nombre, lus de droite à gauche, donne le nombre de parties gagnées par journée

bonjour et merci pour cette énigme.

J'ai pas très bien compris l'énigme au début, puisqu'on nous dit que J.Bond se retrouve avec un joli pécule de 22066 euros alors qu'il en à joué
5 x (1+5+25+625+3125+15625) soit 97655 euros.

J'en ai alors déduit qu'il s'agissait du bénéfice (Tu m'acordera le bénéfice du doute Minkus!)

De toute façon, il est sensé gagner de l'argent non?

bref, dans cette optique, je trouve que

Jour 1: il gagne 4 parties et en perd 1
Jour 2: il gagne 3 parties et en perd 2
Jour 3: il gagne 3 parties et en perd 2
Jour 4: il gagne 4 parties et en perd 1
Jour 5: il gagne 1 parties et en perd 4
Jour 6: il gagne 2 parties et en perd 3
Jour 7: il gagne 3 parties et en perd 2

La somme totale récoltée est alors de 119721 euros.

Comme il a investi 97655 euros, son bénéfice s'élève à 22066 euros.

Ma réponse est donc:

James Bond a gagné 20 parties au cours de la semaine.

@ plus, Chaudrack

Bonjour,

James B. a gagné 15 fois dans la semaine:

  1er jour: 2 fois.
  2ème jour: 1 fois.
  3ème jour: 1 fois.
  4ème jour: 4 fois.
  5ème jour: 3 fois.
  6ème jour: 2 fois.
  7ème jour: 2 fois.

Cela correspond à des rentrées de 119 721 € pour une mise de 97 655 €. Bilan: 22 066 € de gains.

A+,
gloubi
-

James a gagné 2 parties le 1er jour, 1 le 2ème, 1 le 3ème, 4 le 4ème, 3 le 5ème, 2 le 6ème et 2 le 7ème, soit en tout 15 parties.
Cela apparait très simplement en comparantr les restes des divisions euclidiennes par les puissances de 5

Bonsoir,

Je trouve qu'il a gagné 15 fois pendant la semaine.

2 fois le 1er jour
1 fois le 2e jour
1 fois le 3e jour
4 fois le 4e jour
3 fois le 5e jour
2 fois le 6e jour
2 fois le 7e jour

  James B a gagné 15 fois dans la semaine.

Bonjour,

j'ai un doute sur l'énoncé. En effet, on ne sait pas combien d'argent James a emporté au casino... J'en déduis donc que les 22066 € sont ce qu'il a gagné net, et pas ce qu'il a en main à la fin de la semaine.

En net, il gagne 2X sa mise quand il gagne et il la perd 1x quand il perd.

Je trouve qu'il a gagné 15 fois pendant les 7 jours.

Merci pour l'énigme  

PS C'est David Niven.

Il a gagné 15 fois :
2+1+1+4+3+2+2=15

Il a gagné 15 fois durant la semaine.

Il a gagné 2 fois le jour 1. [(-1)*3    + (2)*2    ] = 1
Il a gagné 1 fois le jour 2. [(-5)*4    + (10)*1   ] = -10
Il a gagné 1 fois le jour 3. [(-25)*4   + (50)*1   ] = -50
Il a gagné 4 fois le jour 4. [(-125)*1  + (6250)*4 ] = 875
Il a gagné 3 fois le jour 5. [(-625)*2  + (1250)*3 ] = 2500
Il a gagné 2 fois le jour 6. [(-3125)*3 + (6250)*2 ] = 3125
Il a gagné 2 fois le jour 7. [(-15625)*3+ (31250)*2] = 15625

1-10-50+875+2500+3125+15625 = 22066

Question subsidiaire:
Daniel Craig joue le rôle de James Bond dans Casino Royale.

4 fois

Question 1 : 15 parties gagnées.


      Gagnées   Perdues Balance(Euros)
Journée 001 2 3 1
Journée 002 1 4 -10
Journée 003 1 4 -50
Journée 004 4 1 875
Journée 005 3 2 2500
Journée 006 2 3 3125
Journée 007 2 3 15625


Total : 22066


Question2 :     Daniel Graig



A+
Torio

Bonjour,

Je dirais qu'il a gagné en tout 15 fois.

La méthode : à la main ! J'essaie d'expliquer ci-dessous.

Disons que sa mise du jour est x. Quatre cas peuvent se présenter :
1) s'il gagne 1 fois et perd 4 fois, il aura en poche à la fin de cette journée : 2x-4x = -2x.
2) s'il gagne 2 fois et perd 3 fois, il aura en poche à la fin de cette journée : 4x-3x = x.
3) s'il gagne 3 fois et perd 2 fois, il aura en poche à la fin de cette journée : 6x-2x = 4x.
4) s'il gagne 4 fois et perd 1 fois, il aura en poche à la fin de cette journée : 8x-x = 7x.

Chaque jour, il gagne donc sa mise multipliée par un certain coefficient k, avec k valant soit -2, soit 1, soit 4, soit 7.

Par ailleurs, on connait ses mises journalières : 1, 5, 25, 125, 625, 3125 et 15625.

Soit k_i le coefficient multiplicateur obtenu le ième jour.
A la fin de la semaine il aura un pécule de :
k_1 + 5 * k_2 + 25 * k_3 + 125 * k_4 + 625 * k_5 + 3125 * k_6 + 15625 * k_7.

Et on sait que ce pécule vaut 22066.

On en déduit donc que 22066 - k_1 doit être divisible par 5. Par conséquent k_1 = 1.

Puis on réitère ce raisonnement. Maintenant qu'on a la valeur de k_1, on en déduit que :
k_2 + 5 * k_3 + 25 * k_4 + 125 * k_5 + 625 * k_6 + 3125 * k_7 = 4413.

Et on trouve k_2 = -2.
Puis k_3 = -2, k_4 = 7, k_5 = 4, k_6 = 1 et k_7 = 1.

Enfin, on revient à la correspondance "valeur de k"/"nombre de gains", et on trouve qu'il a gagné : 2 fois le 1er jour, 1 fois le 2ème, 1 fois le 3ème, 4 fois le 4ème, 3 fois le 5ème, 2 fois le 6ème et 2 fois le 7ème, ce qui donne 15 fois en tout.

BA

nombre de victoires de la semaine : 15
détail du nombre de victoires par jour
2 1 1 4 3 2 2

Daniel Graig a endossé le rôle.

Pourquoi les contraintes 0<NbVictoiresParJour<5 ?

Avec NbVictoiresParJour , on a les mêmes résultats.

bonjour,

je trouve que Daniel Craig a gagné 15 fois

2x le 1er jour
1x le 2eme
1x le 3eme
4x le 4eme
3x le 5eme
2x le 6eme
2x le 7eme

merci pour l'énigme

James a parié sur toute la semaine, soit 19530 €.
Cette même semaine lui a rapporté 22066 €.
Donc la somme qui lui a été rendue au total pour toutes les parties gagnées est 22066+19530=41596€
On a :
41596= 2** = *


où  1 <5 est le nombre de parties gagnées le jour n+1, et le gain par partie remportée le jour n+1.
n 0 1 2 3 4 5 6
2 10 50 250 1250 6250 31250

On recherche donc les .
Pour obtenir en unité 6€, on remarque qu'il faut obligatoirement =3
Il nous reste à déterminer le partage entre   restant pour obtenir 41590.
De même, la seule façon d'obtenir 90 € est d'avoir =4.
Il nous reste à déterminer le partage entre restant pour obtenir 41550.
1 <5
<2 est obligatoire pour ne pas dépasser la somme des gains.
Donc, =1
Il nous reste à déterminer le partage entre restant pour obtenir 9900.
Comme pour , =1.
Il nous reste à déterminer le partage entre restant pour obtenir 3650.
Si =3, on dépasse la somme des gains à obtenir.
Si =1, on ne peut pas atteindre la somme recherchée même avec = =4
Donc =2.
Il nous reste à déterminer le partage entre et pour obtenir 1150.
On a donc 50*+250*=( +5*)*50=1150
Soit =(23-)/5
Seul =3 donne un résultat possible (entier) pour , qui vaut donc 4.

On a donc
n 0 1 2 3 4 5 6
3 4 3 4 2 1 1
On a alors le nombre de victoire de James qui vaut la somme des , soit 18 victoires.

Quelle belle énigme!
je pose a : nb de victoires de James. B le jour 1
        b : nb de victoires de James. B le jour 2
        c : ...jour 3
        d : ...4        
        e : 5
        f : 6
        g : dernier jour (7)
On peut calculer pour le jour "x" un profit de (3x/5 - 1)5^x   * ^ : exposant
Je pose donc l'équation suivante:

(3a/5-1)5 + (3b/5-1)5^2 + (3c/5-1)5^3 + (3d/5-1)5^4 + (3e/5-1)5^5 +
(3f/5-1)5^6 + (3g/5-1)5^7 = 22066

alors

3a-5 + […] = 22066
3a + […] = 22071
a = 2 afin que le résultat soit divisible par 5
on réécrit donc l'équation :
3b/5-1)5 + (3c/5-1)5^2 + (3d/5-1)5^3 + (3e/5-1)5^4 +
(3f/5-1)5^5 + (3g/5-1)5^6 = 4413

on continu ainsi pour trouver
a=2
b=1
c=1
d=4
e=3
f=2
g=2

Merci pour l'énigme!

Bonjour,

James B a gagné 17 fois

Il a gagné 15 fois pendant la semaine.

Daniel Craig a eu la chance de tourner avec la sublime Eva Green

Allez, je répondrais probleme impossible.

En effet: vu l'énoncé, il peut gagner en 1 jour: -1 fois sa mise (s'il ne gagne qu'une partie) 3 fois sa mise, 7 fois sa mise ou 11 fois sa mise.
En effet s'il gagne 4 fois, et perd une fois, il fini avec  4*3 fois sa mise -1 fois sa mise=11 fois sa mise

Pour les 6 derniers jours, le chiffre final de la journée est 5, car c'est 5^n multiplié par un nombre impair, donc la somme du pécule des 6 jours se termine par un zero. Donc le dernier chiffre du pécule est le dernier chiffre de la somme récoltée le premier jour, c'est à dire 6. Or le premier jour, on peut soit perdre 1, soit gagner 3, soit gagner 7 soit gagner 11.

Donc, terminer avec cette somme n'est pas possible.

Un programme informatique me conforte dans cette idée, car les sommes obtenues pour les 4^7 résultats ne se terminent que par des 9,3,1 ou 7.

J'ai pourtant regardé plusieurs fois la définition de pécule, qui est donc la différence entre la somme d'arrivée et la somme de départ, qui correspond bien à ma justification, si tanté qu'il ait suffisamment au départ.

Bref, erreur de frappe vue trop tard, incomprehension partielle de l'énoncé, on verra

il a gagné 10 fois

1fois le 1er jour 1€

1 fois le 2e 5 €

2 fois le 3e 10€

2 fois le 4e 50€

1 le 5e 125 €

2 le 6 6250

1 le 7e  15625

au total on 22066 €

Bonsoir,

James Bond a gagné pendant la semaine :
2 fois le jour1
1 fois le jour2
1 fois le jour3
4 fois le jour4
3 fois le jour5
2 fois le jour6
2 fois le jour7

Daniel Craig joue le rôle de James Bond, malgré son physique plus slave que british...

Merci Minkus. A bientôt, KiKo21.

Bonjour,

Certes, il y avait une petite ambiguïté sur le mot « pécule » qui faisait penser à la somme totale alors qu'il s'agissait en fait du bénéfice. Cela a mis certains sur la mauvaise piste mais même en considérant ceci je crois que leur réponse est fausse ou alors c'est moi qui ne l'ai pas comprise. (Voir les remarques individuelles plus bas.)

Voici quelle était la réponse attendue :

En appelant g₁, g₂ … g₇ les gains respectifs de chaque jour, la somme des gains de la semaine est alors (3g₁-5) + 5(3g₂-5) + 5² (3g₃-5) + ….. + 5⁶ (3g₇-5).

En développant et en reduisant 22066, on obtient : g₁ +5g₂+ 5²g₃ + ….+ 5⁶g₇ = 39907.

En utilisant l'écriture en base 5 du nombre 39907 on obtient alors 2234112 et donc James a gagné 15 fois dans la semaine.

>savoie : J'ai fait les calculs avec ta solution et je trouve cela :

4 : il gagne donc 7 euros le premier jour (3*4 - 5)
4 : il gagne donc 35 euros le deuxieme jour (3*4 - 5)*5
1 : il perd donc 50 euros le troisieme jour (3*1 - 5)*25
4 : il gagne donc 875 euros le 4e jour (3*4 - 5)*125
2 : il gagne donc 625 euros le 5e jour (3*2 - 5)*625
4 : il gagne donc 21875 euros le 6e jour (3*4 - 5)*3125
4 : il perd donc 31250 euros le 7e jour (3*1 - 5)*15625

Le bilan est de -7883 ! Qu'est ce que je n'ai pas compris ?

>Chaudrak : En vérifiant tes calculs je trouve qu'il gagne déjà 3*3*15625 soit 140625 euros le 7e jour. Ou alors je n'ai pas compris tes explications.

>Iker :

citation :
James a parié sur toute la semaine, soit 19530 €..

Pour moi il a parié 19531*5 puisqu'il joue 5 fois par jour.

>Eric1 :

citation :
En effet s'il gagne 4 fois, et perd une fois, il fini avec  4*3 fois sa mise -1 fois sa mise=11 fois sa mise.

Non c'est 4*3-5 car meme s'il récupère sa mise il ne faut pas oublié qu'il l'a misé avant.

Quant à la question subsidiaire, il ne s'agissait pas de Daniel Craig car le Casino Royale de l'image date de 1967. James Bond y était interprété par David Niven et aussi Peter Sellers. Un petit bijou de parodie…

minkus

Bonjour,

je vois des démos très sophistiquées, mais ça pouvait se faire à la main par simple élimination.