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histoire de rectangles (ts)

   
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terminalehistoire de rectangles (ts)

#msg1061088 Posté le 17-04-07 à 08:01
Posté par terrienne (invité)

Bonjour , j'ai cet exercice à résoudre , j'ai réussi les trois premières questions mais j'ai beaucoup de mal pour la suite, vous pourriez m'aider svp .
On considère la fonction ln sur ]0,\infty [ dans le plan muni d'un repère orthonormal .

1) pour tout naturel non nul p , on désigne par  le point de coordonnées (p , 0)
Tracer les rectangles de bases [A_1 A_2 ],[A_2 A_3 ],......,[A_{n-1}  A_n ]
et de hauteurs respectives ln 2 , ln 3 , ln n .

2)Montrer que la somme des aires de ces rectangles est :
Sn=ln (n!)=ln 1 +ln 2 +....+ln n

On trace maintenant des rectangles de même base que précedemment mais ds hauteurs respectives ln 1 , ln 2 , ....., ln (n-1)

3)exprimer la somme des aires de ces rectangls en fonction de n .

4) donner une interprétation géométrique de
I_n= \int_1^{n} ln x dx   pour n\ge 2

Justifier que S_{n-1}\le I_n \le S_n

en déduire que I_n \le S_n \le I_n+ln (n)
Calculer I_n pour n\ge 2

5) déterminer un encadrement de l'entier p tel que :

10^p \le 1000! \le 10^{p+1}
re : histoire de rectangles (ts)#msg1061089 Posté le 17-04-07 à 08:02
Posté par terrienne (invité)

merci d'avance
histoire de rectangles (ts)#msg1061121 Posté le 17-04-07 à 09:32
Posté par ProfiljeroM jeroM

Bonjour
j'imagine que c'est le point A_p a pour coordonnées (p;0), cela ne semble pas être sorti dans ton message initial.

4) Le nombre I_n=\int_{1}^{n}\ ln\ x\ dx est l'aire du domaine délimité parl'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction ln , la droite d'équation x=1 et la droite d'équation x=n.

Si tu traces la courbe de ln et les rectangles des questions 1) et 2) , en rouge ceux de la question 1) et en vert ceux de la question 2) par exemple, tu vas voir que les rectangles rouges délimitent un domaine plus grand que le domaine d'aire I_n et les rectangles verts délimitent un domaine plus petit que le domaine d'aire I_n.
On peut montrer que l'aire du domaine formé par les rectangles verts est égal à S_{n-1}.
Donc on montre par considérations géométriques que:
S_{n-1}\leq I_n \leq S_n
histoire de rectangles (ts)#msg1061132 Posté le 17-04-07 à 09:46
Posté par ProfiljeroM jeroM

On a bien sûr I_n \leq S_n directement.
De plus de S_{n-1}\leq I_n ,on tire que S_n\leq I_{n+1}.
Or I_{n+1}=\int_{1}^{n}\ ln\ x\ dx+\int_{n}^{n+1}\ ln\ x\ dx par relation de Chasles.
donc I_{n+1}=I_n +\int_{n}^{n+1}\ ln\ x\ dx.
Là j'ai plutôt l'impression que \int_{n}^{n+1}\ ln\ x\ dx\leq ln(n+1). Si on regarde la courbe de ln sur l'intervalle [n;n+1], l'intégrale \int_{n}^{n+1}\ ln\ x\ dx est l'aire d'un domaine plus petit que le rectanle de base \[A_n ; A_{n+1}\] et de hauteur ln(n+1). Ce rectangle a pour aire ln(n+1).
re : histoire de rectangles (ts)#msg1061366 Posté le 17-04-07 à 11:54
Posté par terrienne (invité)

merci pour cet aide et est-ce que tu aurais une idée pour la question 5 stp .
re : histoire de rectangles (ts)#msg1061435 Posté le 17-04-07 à 12:33
Posté par ProfiljeroM jeroM

As-tu vu que je contestais un peu ton énoncé ?
il me semble que \displaystyle I_n \leq S_n \leq I_{n}+ln(n+1).
Peux-tui confirmer ?

Pour 5), on a :
ln(1000!)=ln(1)+ln(2)+ \cdots +ln(1000)=S_{1000}.
Comme I_{1000}\leq S_{1000} \leq I_{1000}+ln(1001) , on calcul I_{1000} ce qui donne ensuite un encadrement de I_{1000}.
Pour trouver l'encadrement de p, personnellement je le ferai avec l'ordre de grandeur de l'encadrement de \S_{1000} trouvé précédemment, mais je dis ça sans trop y avoir réfléchi.
re : histoire de rectangles (ts)#msg1062224 Posté le 17-04-07 à 17:53
Posté par terrienne (invité)

nan je ne me suis pas trompée dans l'énoncé .
encadrement de 1000!#msg1078597 Posté le 23-04-07 à 16:50
Posté par didier978 (invité)

slt a tous
j'ai un petit probleme
je n'arrive pas a faire la derniere question de ce probleme si quelqu'un pouvait m'aider ca m'arrangerai !
merci d'avance !

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-133267.html

*** message déplacé ***
re : encadrement de 1000!#msg1078610 Posté le 23-04-07 à 16:55
Posté par didier978 (invité)

il faut aller sur le lien pour voir l'ensemble du sujet!

*** message déplacé ***
re : encadrement de 1000!#msg1078623 Posté le 23-04-07 à 17:04
Posté par Profillafol lafol Correcteur

alors tu aurais dû poster ta question à la suite de ce topic !

*** message déplacé ***
re : encadrement de 1000!#msg1078705 Posté le 23-04-07 à 17:43
Posté par didier978 (invité)

ok merci

*** message déplacé ***
encadrement de 1000!#msg1078720 Posté le 23-04-07 à 17:47
Posté par didier978 (invité)

bonjour j'arrive pas a faire la derniere dquestion de ce probleme si quelqu'un pouvait m'aider ca m'arrangerait!
merci d'avance!
re : histoire de rectangles (ts)#msg1079189 Posté le 23-04-07 à 19:45
Posté par didier978 (invité)

personne pour m'aider
?

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