Intersection d'une sphère et d'un plan

Posté par sophie65 (invité)

Bonjour à tous,

J'ai un petit exercice de maths que j'ai presque terminé, mais avant d'aller plus loin, j'aimerais avoir des avis quant aux réponses que j'ai fourni...

L'espace est muni d'un repère orthonormé (o; vecti; vectj; vectk)

1/
a]Déterminer une équation du cylindre G d'axe de révolution (Oy) et de rayon 3
Soit G le cylindre d'axe de révolution (Oy) et de rayon 3.
Donc G a pour équation x^2+z^2= R^2
R=3, d'où l'équation est x^2+z^2=9

b]Déterminer une équation de la sphère S de centre O e t passant par le point A (3;0;4)
S est la sphère de centre 0 et passant par A (3;0;4).
Donc S a pour équation, x^2+y^2+z^2=R^2
A € S donc R^2= Xa^2+Ya^2+Za^2
R^2=9+16=25
D'où R=5; l'équation est x^2+y^2+z^2=5^2

c]Montrer que l'intersection de G et S est la réunion de deux cercles dont on précisera pour chacun d'eux le plan auquel il appartient, son centre et son rayon.
Soit G : x^2+z^2=9 et S : x^2+y^2+z^2=25

G inter S <=>
(système) - x^2+z^2=9                
          - x^2+y^2+z^2=25

<=>
          - x^2+z^2=9
          - 9+y^2=25

<=>
          - x^2+z^2=9
          - y^2=16

<=>
          - x^2+z^2=9
          - y = 4    ou   y = -4

Donc l'intersection est la réunion des deux cercles :
   - C : x^2 + z ^2 = 9, dans le plan y=4
et - C' : x^2 + z^2 = 9 dans le plan y=-4

Avant de le terminer donc, j'aimerais savoir si j'ai tout faux... ou un peu juste ^^

merci d'avance !

sophie

Posté par Coll Coll

Bonjour Sophie,



Ce n'est pas "un peu juste"... (encore moins "tout faux") c'est tout bon !

Tu connais les plans des deux cercles d'intersection de la sphère et du cylindre. Tu n'auras aucun mal à trouver les coordonnées des centres de ces cercles ainsi que leurs rayons...

Bravo !

Posté par sophie65 (invité)

Bonjour Coll,

Je te remercie pour ta réponse... étonnante, mais néanmoins très sympathique !

La formule d'un cercle est de la forme : (x-a)^2+(y-b)^2=R^2

Je connais le rayon, qui est de 2, mais je ne vois pas comment faire pour en calculer le centre...

Quelqu'un aurait-il une idée pour m'aider à traverser ce périple ^^ ?

Merci d'avance !

Posté par Coll Coll

Ça se gâte...

Les points d'intersection sont communs à la sphère et au cylindre, donc... ce sont des points du cylindre !

Quel est le rayon d'un cercle d'intersection d'un plan parallèle à xOz (perpendiculaire à Oy, axe du cylindre) et du cylindre de rayon 3 ?

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection du plan y = 4 (par exemple) avec l'axe Oy ?

Posté par sophie65 (invité)



Les "points sont ceux du cylindre", le rayon serait-il de 3 ?

Posté par sophie65 (invité)

Bon je passe cette question, je ne vois vraiment pas...

J'en ai une dernière à laquelle je n'arrive pas à répondre : il faut faire un cas général.

Soit S la sphère de centre 0 et de rayon R (avec R > 0), et G le cylindre d'axe de révolution (Oy), et de rayon r (avec r>0).
Etudier l'intersection de G et S, trois cas sont à envisager.

Pour ce faire, je pense qu'il faille faire un tableau de variations, G inter S... mais je ne sais pas comment m'y prendre pour démarrer... help !!

Merci d'avance !

Posté par Coll Coll

Ton message de 12 h 43 :

Oui, le rayon du cercle est celui du cylindre, donc 3
Quelles sont les coordonnées des centres des deux cercles, intersections de la sphère et du cylindre ?

Posté par sophie65 (invité)

J'ai déjà appris à calculer le centre d'un cercle, via la formule.

Mais la, je n'ai pas a ou b, je ne comprend pas ce que je dois faire... Un système, peut être ?

Je ne sais pas.

Posté par Coll Coll

Je suis surpris par ta difficulté :

Tu as très bien trouvé que les cercles C et C' sont dans les plans y = 4 et y = -4

Le centre d'un cercle... est dans le même plan que le cercle !

De plus ces cercles sont l'intersection du cylindre et du plan y = 4 pour l'un et y = -4 pour l'autre. Ce qui signifie que les centres des cercles sont sur l'axe Oy...
Alors, les coordonnées...

Posté par sophie65 (invité)

oui, j'ai du mal :s

Serait-ce les points I(0;4;0) et I'(0;-4;0) ?

Posté par Coll Coll



Je sais bien qu'une figure dans l'espace n'est pas facile à faire, mais si tu peux t'en faire une, elle t'aiderait beaucoup à mieux comprendre. La lecture des seules équations est difficile ; il y faut beaucoup d'habitude.

Posté par sophie65 (invité)

Je te remercie vraiment, Coll, c'était tout bête ^^

Par contre, est-ce aussi simple pour la derniere question ?!

Posté par Coll Coll

Avant de te lancer dans des calculs : imagine !

Tu as un tube (comme celui d'un rouleau de papier essuie-tout...)
Tu as une sphère :
. une petite bille qui rentre facilement dans le tube,
. une balle de ping-pong qui rentre tout juste en frottant dans le tube,
. une balle de tennis, qui ne rentre pas dans le tube.

Voilà trois cas.

Comprends-tu ce qu'on te demande ?

Posté par sophie65 (invité)

Oui, je comprend désormais ce que l'on me demande.

Donc il faut 3 cercles, de diamètre :
- 1 strictement inférieur à 6
- 1 égal à 6
- 1 strictement supérieur 6

Car 6 est le diamètre du tube.

J'ai juste ? ^^ Quelle est la suite, d'après toi ?

Posté par Coll Coll

Il me semble que pour cette dernière question tu peux utiliser seulement R et r (tu n'as plus de valeurs)

. si R < r alors...
. si R = r alors...
. si R > r alors...

Le troisième cas est celui que tu as traité dans le début du problème.

Que dis-tu ?

Posté par sophie65 (invité)

Soit R le rayon de la sphère et r celui du tube.
- si R < r, alors il n'y a pas d'intersection entre la sphère et le tube
- si R = r, il y a deux intersections : deux cercles parrallèles à (xOy)
- si R > r, il y a deux intersections : deux cercles parralèles à (xOz)

Qu'en dis tu ?


Merci encore pour ton aide

Posté par Coll Coll

. si R = r il y a un seul cercle d'intersection (cercle tangent à la sphère) et ce cercle est dans le plan perpendiculaire à l'axe du cylindre, qui est toujours le plan xOz

Posté par sophie65 (invité)

ah bon.. pourtant il me semblait que lorsque R=r, ca coupe en haut et en bas.

bizarre ^^ je vais revoir cela.

Posté par Coll Coll

Si R = r ça ne coupe nulle part mais c'est tangent partout.

Imagine la balle de ping-pong qui aurait exactement le diamètre interne d'un tube...

Posté par sophie65 (invité)

oui exact, je viens de comprendre

merci pour tout, c'est vraiment sympa !

Aujourd'hui, c'est journée maths... j'ai déjà posté une question, pour un autre exercice, sur ce forum http://www.ilemaths.net/forum-sujet-133711.html

si tu as une idée pour m'aider ^^

merci encore et bonne journée !

Posté par Coll Coll

Je t'en prie
A une prochaine fois !