Exercice sur les limites ( 1ère ES )

Posté par pascha (invité)

Bonjour j'ai un petit exercice à rendre après les vacances mais je n'arrive pas à le résoudre... Pourriez vous m'aider? Merci d'avance.

Exercice:
Soit f la fonction définie sur R -{-1} = ]- ; -1[ ]-1;+[ par : f(x) = 2x²+6 / x+1.
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal du plan d'unités : 1 cm sur l'axe des abscisses et 0.5 cm sur l'axe des ordonnées.

1.a. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition (c'est-à-dire en : -, +, -1^- et -1⁺).
b. Que peut-on en conclure graphiquement?
2.a. Vérifier que, pour tout réel x-1, on a : f(x) = 2x-2+(8/x+1).
b. En déduire que la courbe C admet une asymptote oblique D en + et en -, dont on précisera une équation.
3.a. Calculer f'(x) pour tout réel x-1.
b. Dresser le tableau de variation complet de f sur R -{-1}. Justifier.
4. Tracer C_f(on fera figurer ses asympototes ainsi que ses tangentes horizontales).

Posté par sarriette sarriette

bonjour pascha,

tu n'as vraiment aucune piste?

1a- limites en l'infini = limite des termes de plus haut degré
= limite 2x²/x
= limite 2x
quand x--> +inf, f(x) --> +inf
x--> -inf, f(x) --> -inf

limites en -1 , le numerateur tend vers une valeur fixe positive, le denominateur vers 0+ ou 0-
donc x--> -1⁺, f(x) --> +inf
x--> -1^-, f(x) --> -inf

b- on en deduit qu'il y a une asymptote verticale d' equation x=-1

je continue...

Posté par sarriette sarriette

2a- tu peux partir de la formule donnée f(x) = 2x-2+(8/x+1), tu mets tout au meme denominateur et tu retrouves la formule de départ:f(x) = 2x²+6 / x+1.

b- d'après le cours tu as écris f(x) sous la forme
f(x) = ax+b + une fonction et cette fonction tend vers 0 quand x--> inf , donc la droite d'équation y= ax+b est asymptote oblique à la droite.
ici on a f(x) = 2x-2 + 8/(x+1) donc l'asymptote est y= 2x-2

Posté par pascha (invité)

Merci car je n'avais vraiment aucune piste mon prof de maths ne nous a pas fait de cours et je dois rendre ce DM aprè les vacances sans avoir de leçon pour m'aider.
Merci beaucoup

Posté par sarriette sarriette

3a- le calcul de la derivee est une application directe du cours.
tu dois trouver:
f'(x) = 2x²+4x-6 / (x+1)²


4- pour le tableau de variation tu dois etudier le signe de f'(x).
Ici seulement le numerateur puique le denominateur est toujours positif.
2x²+x-6 = 2(x-1)(x+3)
le numerateur s'annule en 1 et -3 . Il est negatif entre ces deux valeurs.

d'où le tableau:

x -inf -3 -1 1 +inf
f' + 0 - || - 0 +
f croiss decrois || decroiss crois


je te laisse faire la courbe...

Posté par pascha (invité)

Ok! Merci beaucoup pour ton aide

Posté par sarriette sarriette

ah je n'avais pas vu ton message entre les miens!

J'espere que tu comprendras ce que j'ai fait si tu n'as pas de cours.
sinon n'hesite pas , je fais un tour sur le forum entre deux allers-retours, je surveillerai ton sujet...
bon courage!