td suite de récurrence

Posté par tiss tiss

bonjour à tous
j'ai de grandes difficultés en ce qui concerne les suites je sollicite donc votre aide

Soit (Un) la suite définie par le réel u0=5 et la relation de récurrence Un+1=2/Un+1
on note f la fonction définie sur )0;+l'infini par f(x)=2/x +1, C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal et D la droite d'équation y=x

1_ Tracer la courbe C et la droite D en prenant 2cm pour unité graphique
je l'ai déjà fait j'obbtient comme points d'intersection(-1;-1) et (2;2)
je dois trouver les coordonnées des points d'intersection par le calcul j'ai donc pensé à utiliser l'équation 2/x+1=0 mais je ne suis pa sûr

j'ai représenté les premiers termes de la suite sur mon graphique et je trouve que la suite converge entre 1 et 3 c'est une conjecture

2_ je dois démontrer que si 7/5x5 alors 7/5f(x)5
je dois en déduire que la suite (Un) est définie, pour tout entier n, et qu'elle est bornée par 7/5 et 5.Est-elle monotone ?justifier

je me suis arrêter là je réfléchis encore sur la suite du TD
MERCI d'avance pour votre aide

Posté par bapader bapader

Bonjour,

D'abord une précision sur la définition de la suite : c'est U(n+1) = 2/(U(n)+1) ? (Sans les parenthèses on ne peut pas savoir si n+1 est l'indice ou bien si on additionne 1 à Un).

Et la fonction c'est 2/(x+1) ?

Pour la question 1, tu veux les points d'intersection de la courbe et de la droite ; tu veux donc savoir quand la courbe et la droite se rencontrent, c'est à dire quand 2/(x+1) = x. Arrives-tu à résoudre ça ?

Pour la conjecture sur la convergence de la suite, peux-tu donner la valeur précise vers laquelle tu as l'impression que la suite converge ?

BA

Posté par tiss tiss

la suite semble converger vers 2
pour la suite C'est Un+1=(2/Un)+1

Posté par jamo jamo

Bonjour,

un petit dessin ...

Posté par tiss tiss

merci c'est bien ce que je trouve sur mon graphique
pour les points d'intersection je pense que l'équation est (2/x)+1=x
mais je n'arrive pas à la résoudre

Posté par bapader bapader

Merci pour les précisions.

Alors pour l'équation, écris 2/x = x-1 ; à partir de là y arrives-tu ?

Posté par jamo jamo

Met au même dénominateur :

(2/x)+1 = x

<==> (2+x)/x = x

<==> 2+x = x²

<==> ...

Posté par tiss tiss

ok merci beaucoup ensuite je dois trouvé les solution du polynôme x²+x+2=0

Posté par bapader bapader

Oui !

Posté par jamo jamo

x²-x-2, ce sera mieux

Posté par jamo jamo

Bonjour bapader

Posté par tiss tiss

c'est donc laquelle des équations vous n'avez pas l'air d'accord??

Posté par jamo jamo

A ton avis ??

Tu dois le savoir ...

Posté par tiss tiss

Pour moi c'est x²+x+2 pasque lorsque je résoud je trouve comme solution -1 et 2 et cela correspond aux abscisses des points d'intersections que j'ai trouvé sur mon graphique

Posté par jamo jamo

Peux tu me détailler la résolution de x²+x+2 = 0 ??

Posté par bapader bapader

Oups j'ai lu trop vite, c'est bien x^2-x-2...

Posté par tiss tiss

le polynôme est -x²+x+2 désolé je calcule le discriminant 1²-(4*(-1)*2) il est donc égale à 9
la premiere racine est égale à 2 et l'autre à -1

Posté par bapader bapader

OK ta résolution est bonne, tu as le polynôme opposé au nôtre !

Posté par tiss tiss

ah d'accord

Posté par tiss tiss

merci à vous deux

Posté par jamo jamo

De rien ...

Posté par tiss tiss

pour la question 2 je pense que je vais utiliser la dérivée de F(x) qui est égale à -2/x² ainsi je prouve qu'elle est négative et que la fonction f est donc décroissante
pour démontrer l'encadrement je ne sais pas trop

Posté par bapader bapader

L'encadrement tu peux le trouver directement. Pars de , puis encadre 2/x, puis f(x).

En disant que la fonction est décroissante, tu penses déduire que la suite est monotone ? Attention, regarde bien la figure de Jamo...

Posté par bapader bapader

Il faut lire :

Pars de

Posté par tiss tiss

je trouve 17/7f(x)7/5

Posté par tiss tiss

je devrais trouvé le sens inverse

Posté par tiss tiss

désolé je comprend mon erreur

Posté par jamo jamo

7/5 <= x <= 5

1/5 <= 1/x <= 5/7 (car la fonction 1/x est décroissante)

2/5 <= 2/x <= 10/7

2/5 + 1 <= 2/x + 1 <= 10/7 + 1

7/5 <= f(x) <= 17/7

7/5 <= f(x) <= 5

Posté par tiss tiss

je dois ensuite prouver que vn=(valeur absolue de un-2)/(5/7)exposant n; est strictement décroissante
j'ai établis le raisonnement suivant
valeur absolue de un-2 est tourjours positif
5/7 est superieur à 0 donc positif (5/7)exposant n est tourjours positif également car n est supérieur à 0
on sait que 5/7 est compris entre 0 et 1 donc 5/7exposant n est alors décroissant si on considère 5/7exposant n comme une suite
je ne suis pas du tout sûr

Posté par jamo jamo

Non, ton explication ne prouve rien ...

Posté par tiss tiss

merci ok je vais chercher encore

Posté par jamo jamo

POur montrer qu'une suite Un est croissante ou décroissante :

1) On étudie Un+1 - Un et on compare à 0

2) On étudie Un+1/Un et on compare à 1 (valable si les termes de la suite sont positifs, ce qui est le cas ici)

Posté par tiss tiss

merci

Posté par tiss tiss

auparavant j'ai dû prouvé que un+1-2=(2-un)/un ensuite que valeur absolue de (un+1-2) était inferieur à 5/7de valeur absolue de un-2
en appliquant ton raisonnement j'ai fait vn+1/vn j'ai établis un calcul que je n'arrive pas du tout a résoudre
vn+1/vn= un+1-2/(5/7)exposant n * (5/7)exposant n / valeur absolue de un-2 je trouve un résultat qu'on ne peut pas comparer à 1

Posté par tiss tiss

je trouve 1/un *1exposant n

Posté par jamo jamo

Il aurait été mieux que tu donnes ton énoncé complet, sinon je ne peux pas trop t'expliquer comme ça ...

Car la question où tu as prouvé que Un+1-2=(2-Un)/Un me semble trés interessante ...

Posté par tiss tiss

la suite de l'énoncé est
3_ démontrer que pour tout entier n, Un+1-2=(2-un)/un, puis que valeur absolue de un+1-25/7de valeur absolue de un-2

en déduire que la suite (vn) définie, pour tout entier par vn=(valeur absolue un-2)/(5/7)exposant n est décroissante
en comparant vn et vo,établir que valeur absolue de un-23*(5/7)exposant n
démontrer que la suite (un) est convergente et préciser sa limite

démontrer que la suite (wn) définie pour tout entier n par wn=(un-2)/(un+1) est une suite géométrique dont on précisera le terme initial

exprimer un en fonction de wn puis établir que un=4+((-1/2)exposant n)/2-((-1/2)exposant n)
pour tout entier n

utiliser le résultat précédent pour retrouver le fait que la suite (un)converge vers 2

Posté par jamo jamo

Ok.

Qu'as tu démontré dans tout ça ??

Posté par tiss tiss

pratiquement tout à part exprimer un en fonction de wn
auparavant pour prouver que vn est décroissante j'ai fini par trouvé vn+1/vn égale à 1/valeur absolue de un j'ai donc dis que c'est inferieur à 1 et que vn est donc décroissante .

Posté par jamo jamo

wn = (un - 2)/(un + 1) avec un+1 = 2/un + 1

wn+1 = (un+1 - 2)/(un+1 + 1)

wn+1 = (2/un + 1 - 2)/(2/un + 1 + 1)

wn+1 = (2/un -1)/(2/un + 2)

wn+1 = (2-un)/(2+2un)

wn+1 = -(un - 2)/[2*(un + 1)]

wn+1 = -wn/2

et voilà !

Posté par tiss tiss

si je dois exprimer un en fonction de wn pourquoi dans la solution final il n'y a pas Un?

Posté par jamo jamo

On vient de démontrer que Wn est une suite géométrique, donc tu peux exprimer Wn en fonction de n.

Ensuite, tu connais Wn en fonction de Un, donc tu peux exprimer Un en fonction de Wn.

Et tu auras finalement Un en fonction de n ...

Posté par tiss tiss

d'après ma logique je trouve Un=(wn+1)/(wn-2)

Posté par jamo jamo

wn = (un - 2)/(un + 1)

wn*(un + 1) = (un - 2)

wn*un + wn - un = -2

un*(wn - 1) = -2 - wn

un = (-2 - wn)/(wn - 1)

un = (2 + wn)/(1 - wn)

Qu'appelles tu "ta logique" ?

Posté par tiss tiss

Désolé je me suis mal exprimé
mon professeur ne developpe pas tout comme tu viens de le faire il dit tout simplement que si wn=un-2/un+1 alors on peut trouvé un=wn+2/wn-1
j'ai vu qu'il avait fais cela dans quelques exercices il inverse les signes et le nom des suites

Posté par jamo jamo

Ben c'est pas main de sa part ...

Jamais je ne me permettrai de donner ça à mes élèves sans leur expliquer un peu pourquoi...

Posté par tiss tiss

comme nous sommes en première S d'après lui nous sommes capable de trouvé le raisonnement tout seul
il ne prend pas en compte le niveau plus faible de certain élèves dont je fais partis biensûr

Posté par jamo jamo

Pardon, je voulais dire que c'est pas malin de sa part

Ben tu vois, je suis prof, et je la connais même pas cette règle !!

Je refais le calcul que je viens de te faire à chaque fois ...

Chacun sa manière de voir les choses.

Posté par tiss tiss

peut tu me donner la méthode pour exprimer un en fonction de n
j'aimerai trouvé seul mais j'ai du mal

Posté par jamo jamo

On a trouve :

wn+1 = -wn/2

donc, que peux tu dire de wn ?

Nature de wn ? (c'est une suite ... de raison ...)

Donc wn en fonction de n : wn = ...