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Amusette (corps finis)

Posté par
Camélia Correcteur
20-04-07 à 19:21

Bonjour.

Soit K un corps fini.
Soit a dans K. Montrer que parmi a, -a, -1 il y a un carré de K.
En déduire que X4+1 est réductible dans K[X].
Ceci est un résultat très connu, exemple de polynôme irréductible dans Z et réductible dans tous les Z/pZ, mais on le démontre souvent avec des méthodes beaucoup plus élaborées utilisant la théorie de Galois

Posté par
anonyme
re : Amusette (corps finis) 20-04-07 à 20:57

Bonsoir camélia,
Dans Z/4Z ni 2, ni -2 ni -1 ne sont des carrés de Z/4Z !

Posté par
romu
re : Amusette (corps finis) 20-04-07 à 21:02

Z/4Z n est pas un corps, seulement un anneau.

Posté par
romu
re : Amusette (corps finis) 20-04-07 à 21:04

bonsoir à vous deux au fait. Pour l instantde mon coté, je seche!

Posté par
anonyme
re : Amusette (corps finis) 20-04-07 à 21:12

Ah oui désolé, tout élément n'est pas forcément inversible . par contre pour p premier c'est le  cas !

Posté par
romu
re : Amusette (corps finis) 20-04-07 à 21:15

oui, donc apparemment l'inversibilité joue un rôle pour que cette propriété tient debout, elle doit surement servir pour la démo.

Posté par
perroquet
re : Amusette (corps finis) 20-04-07 à 22:01

Merci pour ton exercice, Camélia.
Je ne le connaissais pas.

Posté par
frenicle
re : Amusette (corps finis) 20-04-07 à 22:14

Bonjour Camélia

On peut supposer que le cardinal de K est impair car si K est de caractéristique 2, -1 = 1 est un carré dans K.

Soit q = card(K) et x dans K*

3$ x^{\frac{q-1}{2}} = \pm 1
car
3$ x^{q-1} = 1

Si x est un carré dans K*, il existe y dans K* tel que
3$x = y^2
et donc
3$ x^{\frac{q-1}{2}} = (y^2)^{\frac{q-1}{2}}=y^{q-1}=1

Si x n'est pas un carré dans K*, soit y une racine carrée de x dans 3$K[\sqrt{x}]

Alors
3$ x^{\frac{q-1}{2}} = y^{q-1} = -1
car
y \notin K

En résumé, x est un carré dans K* si et seulement si 3$ x^{\frac{q-1}{2}} = 1

Supposons maintenant que ni -1 ni a ne soient des carrés dans K.

On a 3$ (-a)^{\frac{q-1}{2}} = (-1)^{\frac{q-1}{2}} \time (a)^{\frac{q-1}{2}} = (-1)\time(-1) = 1
donc -a est un carré, ce qui montre la première proposition.


Maintenant, si -1 est un carré  (avec z² = -1)

X4 + 1 = X4 - z2 = (X2 - z)(X2 + z)

Si -1 n'est pas un carré, 2 ou -2 est un carré et on peut écrire

soit,  si 2 est un carré (avec t²= 2)
X4 + 1 = X4 + 1 + 2X² - t²X² = (X² + 1 - tX)(X² + 1 + tX)

soit, si -2 est un carré (avec w² = -2)
X4 + 1 = X4 + 1 - 2X² - w²X² = (X² - 1 - wX)(X² - 1 + wX)

Dans tous les cas, X4 + 1 est réductible.

Cordialement
Frenicle

Posté par
romu
re : Amusette (corps finis) 21-04-07 à 00:12

qu'est-ce que K[\sqrt x] ?

Posté par
Cauchy
re : Amusette (corps finis) 21-04-07 à 00:36

C'est le plus petit corps contenant K et une racine de x,c'est à dire une racine du polynome P(X)=X²-x .

Posté par
romu
re : Amusette (corps finis) 21-04-07 à 09:01

d'accord, mais je vois pas pourquoi
y n est pas dans K => x^{\frac{q-1}{2}} = y^{q-1} = -1.

Posté par
romu
re : Amusette (corps finis) 21-04-07 à 09:04

si x^{\frac{q-1}{2}} = y^{q-1} = 1
alors y est dans K?

Posté par
frenicle
re : Amusette (corps finis) 21-04-07 à 10:46

Le polynôme f(X) = Xq-1- 1 est de degré q-1 et il a q-1 racines dans K. Donc si y est racine de f, y est dans K et sinon, y n'est pas dans K.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Amusette (corps finis) 21-04-07 à 14:12

Bonjour à tous!
Bravo à frenicle qui a une solution complète (pas tout à fait la mienne).
Juste pour mention: si K est de caractéristique 2, X4+1=(X+1)4 donc il est aussi réductible.

Ma solution pour le début, en caractéristique impaire: Soit f:K*[/supK[sup]* défini par f(x)=x2. C'est un morphisme de groupes dont le noyau a deux éléments et dont l'image a (q-1)/2 éléments. Alors le quotient K/im f est un groupe à deux éléments, isomorphe à Z/2Z. ceci signifie que le produit de deux non carrés en est un. Alors, comme a(-1)=-a, (-1)(-a)=a et a(-a)-1=-1, l'un de ces éléments est toujours un carré!

C'est peut-être un tout petit peu plus élémentaire que la solution de frenicle qui embrayait un peu plus loin en utilisant une caractérisation de l'image.

Question subsidiaire: Quand le polynôme X4+1 admet-il des racines dans K?

Posté par
frenicle
re : Amusette (corps finis) 21-04-07 à 15:25

En effet, Camélia, ta solution est nettement plus directe et élémentaire que la mienne. Merci.
J'ai l'impression que le polynôme a des racines quand le cardinal du corps est congru à 1 modulo 8. Je cherche une preuve...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Amusette (corps finis) 21-04-07 à 15:27

Bonne idée, frenicle.

Posté par
frenicle
re : Amusette (corps finis) 21-04-07 à 18:06

Laissons de côté le cas de la caractéristique 2 qui est trivial.

Si q est congru à 1 mod 8, -1 et 2 sont des carrés dans K.

En posant t² = -1 et w² = 2, on a [(1+t)w]² = (1+t²+2t)w² = 4t

donc [(1+t)w]4 = -16

et [(1+t)w/2]4 = -1

donc X4+1 a une racine dans K.

Pour la réciproque, je me restreins au cas où q est un nombre premier.

Si x est une racine de X4+1, (x²)² = -1 donc -1 est un carré dans K donc q est congru à 1 mod 4. De plus
3$(\frac{2x}{1+x^2})^2 = \frac{4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{4x^2}{(1+x^4 + 2x^2)} = \frac{4x^2}{2x^2} = 2

Donc 2 est un carré dans K donc q est congru à 1 ou -1 mod 8.
Comme on sait déjà que q est congru à 1 mod 4, il est congru à 1 mod 8.

Dans le cas où q n'est pas premier, je ne sais pas faire.

Cordialement
Frenicle

Posté par
frenicle
re : Amusette (corps finis) 21-04-07 à 20:40

A vrai dire, même la partie directe n'est valable que si q est la caractéristique de K.

Posté par
perroquet
re : Amusette (corps finis) 21-04-07 à 22:35

Bonsoir.

Citation :
Dans le cas où q n'est pas premier, je ne sais pas faire.


La caractéristique d'un corps est toujours un nombre premier.

Posté par
frenicle
re : Amusette (corps finis) 21-04-07 à 22:37

Oui, je sais, mais j'avais appelé q le cardinal de K, qui est une puissance de sa caractéristique.

Posté par
perroquet
re : Amusette (corps finis) 22-04-07 à 02:35

Désolé. Ma remarque précédente ne sert en effet strictement à rien. Je vais essayer d'être un peu plus constructif.

Tu as établi que x^4+1 admet une racine dans K si et seulement si -1 et 2 sont des carrés dans K.

Or a est un carré dans K si et seulement si  a^((q-1)/2)=1  (ceci aussi, tu l'as établi).

Donc, -1 est un carré dans K si et seulement si q=4p+1.

Il va falloir être un peu plus fin pour étudier à quelle condition 2 est un carré dans K, lorsque K est de cardinal p^n, avec p premier. Comme tu l'as rappelé, dans Z/pZ:
2^((p-1)/2)=1  si p est congru à 1 ou -1 modulo 8
2^((p-1)/2)=-1  autrement.

q-1=p^n-1=(p-1)(p^(n-1)+...+1)
Donc, (q-1)/2 est un multiple pair de p-1, si n est pair.
      (q-1)/2 est un multiple impair de p-1,si n est impair.

En faisant une étude soignée de tous les cas possibles, on en déduira que 2 est un carré dans K si et seulement si q est congru à 1 ou -1 modulo 8.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Amusette (corps finis) 22-04-07 à 10:50

Rebonjour
Cette fois vous avez compliqué pour rien...
En caractéristique 2, 1 est racine.
Soit q=pn le cardinal de K de caractéristique p (impair premier).
Dire que a est racine de X4+1 c'est dire que a4=-11 et que a8=1. Bien sur a est non nul. Le groupe cyclique K* admet donc un élément d'ordre 8 ce qui équivaut à 8 divise son ordre qui est q-1.

(Ceci suppose connus le fait que le groupe multiplicatif d'un corps est cyclique et le fait que dans un groupe cyclique pour chaque diviseur m de l'ordre il existe des éléments d'ordre m; c'est pourquoi je ne l'avais pas mis dans l'énoncé initial)

Posté par
frenicle
re : Amusette (corps finis) 22-04-07 à 11:22

Ah oui, c'était tout simple !

Merci pour cette amusette.

Cordialement
Frenicle

Posté par
romu
re : Amusette (corps finis) 23-04-07 à 12:58

Bonjour, merci frenicle, pour ton aide, je crois qu il va falloir que je travaille un peu plus ces corps.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Amusette (corps finis) 02-03-08 à 15:17

Je le remonte, vu qu'il est dans l'air du temps, et même que quelqu'un pose la question!

Posté par
kaiser Moderateur
re : Amusette (corps finis) 02-03-08 à 15:19

Salut Camélia

ça c'est ce que j'appelle de la transmission de pensée !
J'étais justement en train de le chercher pour H_aldnoer.

Kaiser

Posté par
Camélia Correcteur
re : Amusette (corps finis) 02-03-08 à 15:21

Ca nous rajeunit, hein?

Posté par
kaiser Moderateur
re : Amusette (corps finis) 02-03-08 à 15:22

toutafé ! un bon d'une année dans le passé !

Kaiser

Posté par
Camélia Correcteur
re : Amusette (corps finis) 02-03-08 à 15:26

Faut dire que l'année dernière j'avais cherché un public pour des corps finis, alors que maintenant, depuis une semaine on n'a pas arrêté. Je commence à avoir très envie de géométrie différentielle ! Tout va bien pour toi?

Posté par
H_aldnoer
re : Amusette (corps finis) 02-03-08 à 15:28

Ok je vois le sujet.
Voici un conseil de mon prof

Citation :
Ce polynôme se décompose dans Z[X] car c'est un facteur de X^8-1. Décomposez ce dernier en facteurs irréductibles et vous aurez une décomposition de X^4+1.


Je cherche le rapport!

Camélia, à propos des corps finis, c'est spécial!
Si tu as le temps et l'envie de rédiger un petit exercice basique, je suis preneur!
Merci pour ton aide en tout cas, depuis plus d'une semaine ...

Posté par
kaiser Moderateur
re : Amusette (corps finis) 02-03-08 à 15:31

OK !

Citation :
! Tout va bien pour toi?


ça va, mais comme je le disais à Cauchy hier via un message subliminal : "il reste un mois" (le stress monte un peu )

Et toi comment ça va ?

Kaiser

Posté par
Camélia Correcteur
re : Amusette (corps finis) 02-03-08 à 15:49

>H_aldnoer Je ne comprends pas le conseil de ton prof! X4+1 est irréductible dans Z[X]. En revanche, le fait que les éventuelles racines de X4+1 sont des éléments d'ordre 8, joue un rôle dans toutes les démonstrations.

Dans la discussion ci-dessus ma solution, vraiment très basique est dans le post du 21/04/2007 14:12 avec fin de raisonnement dans la fin du post de frenicle du 20/04 22:14.

>kaiser Tout va bien, c'est quand même beau de ne faire que ce dont on a envie...

Posté par
kaiser Moderateur
re : Amusette (corps finis) 02-03-08 à 16:31

C'est clair !

Kaiser



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